Егоров А.И. - Основы теории управления, страница 63

.,wr(t)}—тп-мерный—за-предполагаютсяслучайнымигауссовымизначениями.ИхM[w{t)v*{s)\=6»,корреля-видевs),--. .,vm(t)}исредниминулевымиR(t)S(t=B(t){wi(t),={vi(t),=предполагаютсяQ(t)S(t=сv(t)записатьM[w(t)w*(s)]матрица—ишумаможноматрицыv(t)A(t),процесс,w(t)w(t)вектор,Матрицыпроцесс.белоготипапроцессамитп-мерныйслучайныйнепрерывными,икорреляционныеzуравнениемC(t)x(t)+v(t).B.14)=—болееРассмотримB(t)w(t),B.13)+x(t)свектор,Винера.уравнениемуравнениемA(t)x=z(t)—называетсяописываетсяпроцессвекторs)0=Каллмана—Бьюси.фильтрыкогдазадачу,хаa(t,a)M[z(s)z*(a)]daматрицыОптимальные2.3.общуюpts),lo)Rwv(t.s)=q(t)иR(t)—заданныематрицы,Прогноз2.фильтрацияислучайныхПредполагаетсяслучайныйсвекторначальныйчтотакже,гауссовыйкорреляционнойтакже—М[ж(?о)]значением463системахx(to)векторсреднимнулевымлинейныхвпроцессовО—ислу-матрицейM[x(to)x*(to)]=Ko,B.16)Kqгдеw(t),заданная—v(t)x(to)иТакнеотрицательнаяw(t)какМ[х(?)]0,=Кромематрица.того,чтопредполагается,независимы.случайный—x(t)е.т.спроцесстакжесреднимнулевымслучайнымявляетсятозначением,спроцессомсреднимнулевымзначением.(фильтрфильтрискатьБудемдифференциальнымвекторнымpвыходКаллмана-Бьюмси),описываемыйвектор-уравнениемp(t)которогоF(t)p=G(t)z(t),+быявлялсяp(to)=O,B.17)оптимальнойx(t)оценкойсостояниясисте-x(t):системыx{t)Ошибкуоценкиe(t)ошибкойназываютИзB.17)чтонаходим,p(t)Отсюда,W(t,s)G(s),=вaчастности,Критерием/=W(t,s)а(?,матрицаоптимальнаяs)уравненияуудовлетворяетберетсяфункционалопределениивF(t)матрицG(t),ипоказанопредыдущемоптимальныйвошибкаПоэтомуa°(t,s)a°(t,s)e(t)системыфильтр,задачасводитсяF(t)определитьудовлетворяетфункцияудовлетворяеткиусловиюG(t).интегральномучтобытому,ПризаданнойпоэтомB.21),т.(см.чтотакова,е.B.17))обозначениеK(t)=M[e(t)e*(t)]B.23)иучитываясоотношенияB.16)иB.22),находим,чтоК(to)=матчтоизвестно,e(to)=x(to)-p(to)=x(to).B.22)Вводяминими-параграфа,настоящегопунктеa°(t,t)=G(t),аF(t)y.=условиюфункционал.этотВинера.функциифункцияматричнойможноM[e(t),e(t)]=M[e*(t)e(t)],=состоитопределяющаяуравнениюфильтравыходеG(t).B.21)=фильтразадачаследовательно,a°(t,s),наКошиматрица—чтоследует,JКакp(t)a(t,s)z(s)ds,B.20)Jt0оптимальностиминимизирующихp(t)B.19)сигналa(t,t)и,-видевa(t,s)x(t)=фильтра.соотношенийпредставитьгдеp{t).B.18)=Kq.опти-464Гл.Стохастические8.Определение2.4.сначалапроанализируемпродифференцируемматрицыF(?).структурурешенияt обепочастиМ[,(а),'(,)]*»Длядальнейшего«"(«,B.12).«)M[,W,-(.)задачирешенияСВинера.уравнениятождества+системыВэтойрезультате«^M+цельюполучимо,=B.24)t0где<sТакt.<x(t)какрешение—dM.[x{t)z*(s)}УчитываяB.14),W(t)x(t)Решениенезначит,B.13)M.[w(t)w*(s)]x(to)иб1 приB.25)формулепоКошине<sобразом:следующимM[^(t)^*(ce)]E*E)^*E,ce)dceC*E),<t0коррелированы,B.18)формуламсогласноиt.<5Поэтомуt.M.[w(t)z*(s)]а0.формулепопредставитьпреобразоватьможноJt0w(t)можно==Ф(МоB.27)=M[w(t)v*(t)]ПоэтомууравненияравенствоСигналыM[w(t)v*(s)].+коррелированы.x(t)и,чтоM[w(t)x*(s)]C*(s)=v(t)иB(t)M[w(t)z*{s)].B.25)+находим,M[w(t)z*(s)]тоA{t)M[x{t)z*{s)]=соотношенияСигналыB.13),уравнения=в<t0приt,<sполучаемЭ»Я^(.)М|х№-DB.26)ПреобразуемтеперьB.14),соотношениеM[z(t)z*(s)]ТакC(t)M[x(t)z*E)]какv(t)сигналыимеемсw(t)~M.[v(t)v*s(s)][A(t)-Заменяясоотноше-/Jtob(t,s)M[z(s)z*(r)]dTв приtoB.27)^sзначением<0,=асогласноПоэтомуt.to^s<t,B.27)B.24)тождество[to^s<t.~M.[x(t)v*(t)]C(t)M[x(t)z*(s)},и=егоM[v(t)v*(s)],то=a°(t,t)C(t)]M[x(t)z*(s)}~M.[x(t)z*(s)]+независимы,=B.26)соотношенийучетомM[v(t)x*E)]C*E)иM[z(t)z*(s)]аИспользуя=+B.15)формуламB.24).тождестваC(t)M[x(t)z*(s)]+M[v(t)z*(s)]==частьлевуючтонаходим,дп^°^иззаписатьM[z(a)z*(s)]da,тождества=можноO,вto^s<t.B.12),отсюдаполучаемвидеПрогноз2.фильтрацияислучайныхлинейныхвпроцессов465системахгдеb(t,Складываяs)почленноЭточтоПустьb(t,s)s)a°(?,помощьюдваможноэI/==a1^,^)иСогласноa°(t,s)-\-=сопределениюСдругой[ a°(t,s)z(s)ds)z*(s)\стороны,Винера,уравненияJполученный=6»,<t0мож:норезультатt,<Sпредставитьa1^,^)матрицатакжеопределяетe(t)Полагаяx1^)=—x(t),соответствииM[(x(t)с-/Jt0=решениеурав-x(t)сигналаb(t,s)z(s)ds.B.32)Jt0B.30),=6»,какх1^)a\t,s)z(s)ds.B.31)I=соотношениемж1^))*"»]ftb(t,s),+оценкучтонаходим,e(t)Вa°(t,s)=оптимальнуюx\t)получаемM[(x(t)to^s<t,-x(t))z*(s)]=6»,to^s<t,следовательно,СогласноM[e(t)z*(s)]B.29)формулам=6»,B.31)и/JtoM[e(t)x*(t)]=M[x(t)xu(t)}=ссле-вto^s<t.B.30)формулеи,по-формулеповидевM[e(t)z*(s)]=9,можноb(t, s)b(t,s)++a°(t,s)z(s)ds.B.29)Jt0переписатьB.11)s)форме:следующейиматрицаa°(?,s)B.28).x(t)Jt0/формулесогласноa°(t,a°(?,s)томатрица.p(t)сигналx(t)ие.ВинераформулойM\(x(tLV)-Винера,уравнения,уравнениянайтиB.12)to^s<t.т.нулевая—определяетсяТождествоM[x(x)z*(s)],J{i).s)решенияможноимеемуравненияжеb(t,чтоданыгдерешение—функционалутеперь,5),s)тогоминимумПокажемB.28),и=решениемдоставляет+b(t,B.12)a°(t,еслиявляетсяs)j^-.B.28)t)C(t)]a°(t,b(t,a)]M[z(a)z*(s)]da+означает,такжеa°(t,-тождества[a°(t,a)Jtn[A(t)=B.29)соотношенияучетомзаписатьввиде(см./Jtoftftto^sM[e(t)z*(s)]a°*(t,s)ds,M[e(t)z*(s)][a°*(t,s)oравенствополучимравенство<t.имеемМ[е(?)е*(?)]=B.32))\ [ b(t,a)M[z(s)x*(a)}b*(t,a)da]ds=e.B.33)0,котороепо466Гл.ИспользуяB.14),соотношениеM[z(s)z*(a)]M[z(s)z*(a)]матрицуC(s)M[x(s)x*(a)]C*(a)=x(?)Сигналыг>(?)инепреобразоватьможноПоэтомукоррелированы,B.15)M[z(s)z*(a)]rtможноC(s)M[x(s)v*(s)]+M[i;(s)i;*(a)].+значит,M[i;(s)x*(a)]0.=получаемC(s)M[x(s)x*(a)]C*(a)=B.33)равенствоM[v(s)x*(a)]C*(a)0,=формуламсогласно++аM[x(s)i;*(a)]i?(s)<J(s+представитьсе),-видевptb(t,Такs)M[y(s)y*(a)]b*(t,a)dads+как/ cp(t)S(t-r)dr<р(т),=Jtoлюбойдлясистемыобразом:следующимиСтохастические8.(f(t),функциинепрерывнойto<r<t,топоследнееравенствоприводитсяквидуM[A(t)A*(t)]X(t)Изслучайномx(t)X(t).ЭтимЗначит,выполнениячтоэтонеособеннаяПоэтому,полагаяпо^sслучайномслучайнымобладают<t, являетсяw(t)процессеиспроцессомслучайныеслучайнулевымy(t)процессыдостаточнымвы-длянеобходимо.положительнапредположениювещественнаяL(t,s)Ьцэлементы0, to=такжеR(t)L(t,исвойствомжеусловиематрицасуществуетявляетсяB.34).Покажем,какx(t)b(t,s)условиеравенстваТакочтоследует,значением.средним/ b(t,s)y(s)ds.=предположенийвышевведенныхвектореи0,B.34)=обозначениеиспользованогде/ 6(t,5)i?EN*(t,5)d5+b(t,s)R(t)b*(t,s),=s)=U(t,главнойS(t)матрица5),диагоналиU(t,гдеLматрицы(см.R{t)B.15)),наглавной=тосу-S{t)S*{t).чтонаходим,s)U*(t,чтотакая,s)имеют=b(t,s)S(s),видтГц\=U\(t,5),г=1, 2,т.k=lСледовательно,диагоналидлятогочтобыэлементы,матрицыntI(t,s)=/b(t,a)R(a)b*(t,a)da,расположенныедиа-2.ПрогнозфильтрацияибылиравныТакслучайныхнеобходимонеособенная,нулю,какS{s)матрицавыполнениеМ[А?ЭлементыПоэтому(t)]отсюда467системахU(t,s)b(t,s)S(s)=0.=чтоследует,to^s<t.B.35)главнойдиагоналиB.35)условиелинейныхусловиятоb(t,s)=9,неотрицательны.впроцессовМ[А(?)А*(?)]матрицычтобынеобходимо,неотрицательглавнойэлементыдиагоналиматрицыM[A(t)A*(*)]былиравнызаписатьвыполнениядляB.35),равенствоследуетУчитывая,B.34),необходи-являетсяе.т.изB.34)равенстваB.28),обозначениюсогласнокоторое,^[A(t)=otможнозапи-Такимобразом,Винера[A(t)решениеанализомединственноерешениеs),<t0немытолькоa°(t,s).<вt.B.36)чтопоказали,Мыуравчтотакже,установилиB.36)уравнениюдополни-иB.21).условиюПолученныйДлянайтипозволяетрезультатB.17).получаемдифференциальномуудовлетворяетдополнительномуокончательноокончателG(t)c(t)}a°(t,-приведеннымимеетto^s<t.B.21),=уравнениеa°(t,t)C(t)]a°(t,s),-соотношение тношениенаконец,dtфильтреB.35)условиеравенствавидевд°^эточтопоказывает,результатдостаточнымиbit,s)Ris)b*it,s)dsнулю.Полученныйнеобходимым/=фильтра,такого/»(*)F(t)B.18)матрицуформуламсогласновфиль-оптимальномиB.22),имеем=Следовательно,f)n°(t/'*Ч>¦®t-oОтсюдасB.21)учетомчтотожесамое,p{t)СопоставляяматрицаF(t)этовполучаем/ [A(t)-G(t)C(t)}a°(t,s)z(s)dsp(t)=или,B.36)и[Ait)=соотношениесфильтреоптимальномзаключениепостроенияизмыпоB.12)).быхотелосьF(t).матрицытребованиячтоустанавливаем,B.20),формулеЗатемпоказываем,уравнениемобратитьвниманиеJа°(?,должнанаразбитьможноматрицаs),навместематри-(критерийматрицейспособСначалаэтапов.фильтра)оптимальностифильтроптимальный(см.Винерауравнениюснеобычныйвесьманесколькоопределяющаяудовлетворятьчточтонаходим,видфункционаламинимумаB.17),изA(t)-G(t)C(t).B.37)=ЕгоGit)zit).+имеетF(t)ВGit)Cit)]pit)-a°(t,s)решениемтождествоуравнения468Гл.Стохастические8.Винераявляетсяa°(t,s)матрицаB.28).формулеНаэтапеследующемКстати,a°(t,s)решениетакфильтраСопределениявовсехэтихв,=иэтотлишьфильтре.использовалимыспособрезультатоптимальномврассужденияхОднакоВинера.G(t).матрицыB.17)формевG(t).s)F(t)форму-поопределяетсяэтойпостроенияматрицыприведен.Построение2.5.оптимальногоматрицычтоуравнениябылнеиb(t,чтодляотметить,следуетb(t,s)гдепоказывается,непосредственноиспользуетсяb(t,s),+системыэтойзаймемсяцельюДлязавершениянеобходимоуказатьB.12),тождествомоптималь-построенияспособпостроенияматривыполнимкоторомврядпреобразований:несложныхM[x(t)z*(s)]такM[x(t)x*(s)]C*(s)=какx(t)сигналыM[z(s)z*(a)]v(s)инеУчитываякоррелированы.M[z(s)x*(a)]C*(a)B.15),будемM[z(s)z*(a)]ПоэтомуIможнотожеВa°(t,a)R(a)S(a-s)da,перейтипределуftпеременнойпокG(t)R(t)/JtoM[x(t)x*(s)]C*(s)-непрерывностисилуТакsпри=M[x(t)x*(t)]C*(t)a°(t,s)какформулобеихst.—>/Jt0-определяетB.18)иftВтак-следуетx(t)сигналаx(t))x*(t)]C*(t).B.38)получаемx(t))x*(t)]=изB.21))=оценку-M[e(t)(e*(t)тождества+=0.B.39)B.12).немвI a°(t,s)z(s)ds\x*(t)\c*(t).какB.39)(см.получимравенстваa°(tJs)M[z(s)x*(t)]C*(t)dsM[e(t)x*(t)]РавенствоэтогозаписатьM[(x(t)=B.19),обозначениеM[(x(t)можноda.частейитогеоптимальнуюB.20)G(t)R(t)Используяto^s<t,a°(t,a)M[z(a)x*(s)]C*(s)*)-учетомвидесамое,=можнопереписатьв=ftчтоa).-a°(t,a)M[z(a)x*(s)]C*(s)daJt0=или,R(s)S(s+B.12)тождествоM[x(t)x*E)]C*E)-M[vE)v*(ce)].+иметьM[z(s)x*(a)]C*(a)=интегральное=C(s)M[x(s)v*(a)]+чтонаходим,M[z(s)v*(a)}+условияM[x(t)x*(s)]C*(s),=Аналогично=M[z(s)x*(a)]C*(a)=M[x(t)v*(s)]+x*(t))]=M[e(t)e*(t)],x(t),тосПрогноз2.ВфильтрацияисамомслучайныхB.12)записываяделе,Г Г[1ЛM\<x(t)L-=6»,^t0st,<чтонаходим,to^s<t.B.40)M[e(t)z*(s)]=0,С469системахвидевo!)(t,a)z(a)da\z*(s)lЛоJ.линейныхвпроцессовдругойпостороны,определениюx(t)/Jt0=rta°(t,a)z(a)da,поэтомуиfte(t)x*(t)=[ m[e(t)z*(a)}oP*(t,a)da.M[e(t)x*(t)]=Отсюда,B.39).равенстваe(t)z*(a)a°*(t,a)da,используяформулуУчитываяобозначениеB.40),B.23),убеждаемсясправедливостивB.39)равенстворавенст-можнозаписатьвидевM[e(t)x*(t)]=K(t),аB.38)равенствопринимаетвидG(t)Такимобразом,Покажем,вконструированииПопредыдущейB.17),Учитываяотсюдаe(t)-A(t)x(t)=Риккати,обзадачиопределяетсяG(t)C(t)]p+кото-аналитическомуравнениемG(t)z.получаемx(t)=[A{t)-K(t).определитьуравнениярешенииприфильтр=необходиморешениемглаверG{t)z(t)являетсярегуляторов.оптимальныйдоказанномуG(t)матрицыK(t)матрицаиспользовалоськотороепостроениядлячтоK{t)C*{t)R-\t).B.41)=+p(t)A(t)x(t)=B(t)w(t)B(t)w(t)[A(t)G(t)C(t)]p(t),+[A{t)--G(t)C{t)]p(t)-G(t)C(t)x(t)-G(t)v(t).Отсюдачтоследует,e(t)случайныйобладаютпричемсвойствомРешение=Посколькуw(t)можносигналыe(t)v(t).иB.25)нулевоефункцииКошиматрицувIJt0иv(t)G(t)v(t),B.42)-среднееF(t),W(?,такзначение,B.20),ивидевтогдаэтимa(t,s)гдеполученной5),какрешение=B.37),уравне-видеW(t,to)e(to)+w(t)B(t)w(t)формулойопределяетсяоптимальнойзаписать=+имеетсоответствиевe(t)G(t)C(t)]e((t)-процессПоэтомуставитьB.42)[A(t)задачиW(t,s)G(s).можноуравнения=неW(t,s)[B(s)w(s)коррелированы-междуG(s)v(s))ds.собойисе(?о),то470Гл.Стохастические8.K{t)=M[e(t)e*(t)]W(t,to)M[e(to)e*(to)]W*(t,to)=tft/JtotoB.15),условия+nt/W(t,s)G(s)M[v(s)v*(a)]G*(a)W*(t.a)dsda.JtotoотсюдаполучаемW(t,to)K(to)W*(t,to)=+W(t,s)B(s)M[w(s)w*(a)]B*(a)W*(t,a)dsdatУчитываясистемы+tW(t,s)[B(s)Q(s)B*(s)G(s)R(s)G*(s)]W*(t,+s)B.43)ds.toТаккакявляетсяG(t)матрицапредставимаинтегральнымбудемего,ДифференцируяK{to)W4t,to)atat+W(t,s)[B(s)Q(s)B*(s)определения^M.=F(t)W(t,s),/* [Г BW(t[B(s)Q(s)B*(s)эуу=s)+s)[B(s)W(t,fF(t)Jto-s)f)W*(t+B.44)G(t)R(t)G*(t).чтоследует,=W*(t,s)F*(t),B.37).формулойопределяется+Дифферен-G(s)R(s)G*(s)}W*(t,B(t)Q(t)B*(t)9W2'S)atat*W(t,КошиматрицыF(t)K(t).+G(s)R(s)G*(s)]±++гдеB.43)соотношениеW(t,t0)K(t0)^+[B(s)Q(s)B*(s)Изтоматрицыиметь=+B.41),видевотносительноуравнениемW(t,t)=E,B.45)ПоэтомуG(s)R(s)G*(s)]W*(t,Q(s)B*(s)s)r)W(tG(s)R(s)G*(s)]++Лч\^'idsW(t,s)[B(s)Q(s)B*(s)+G(s)R(s)G*(s)}W*(t,s)ds=+W(t,s)[B(s)Q(s)B*(s)+G(s)R(s)G*(s)]W*(t,s)F*(t)ds=toF(t)[K(t)=ПоследнееравенствоB.43).соотношенияW(t,to)K(to)W*(t,to)]-вСледовательно,=™Шatat+F(t)[K(t)-этойцепочкеизK(to)w4t,to)W(t,to)K(to)W*(t,to)][K(t)+W(t,to)K(to)W*(t,to)]F*(t).-равенствB.44)+наполученоосновесоотноше-чтонаходим,д-^^1w(t,to)K(to)+\K{t)W(t,to)K(to)W*(t,to)]F*(t)R(t)Q(t)B*{t)++-++G(t)R(t)G*(t).Прогноз2.Такk{t)фильтрацияикакслучайныхB.45),тождествасправедливыРассматриваяK(t),B.47)условиинаходим,образом,Винера,[A{t)K(t)B.15)условиикоторойикорреляционнымиw(t)поведениюобрешенияурав-Каллмана—Бьюси.НарядууправляемостивэтиуточнитькоторойэтойсВы-наблюдаемостиипотребуетсянамB.14),-A*(t)xw(t)сигналысистемойv(t)иC*(t)w(t),+депонятияv(t)итакрассмотримz(t)случайные—=спроцессыQ^fySit=W(?,s)иZ(t,Ихсоответственно.s)можноW(t,v(t)n(t)и—справедливыB*(t)x(t)дляподчиненыназываемуюv(t),B.49)+значениямисредниминулевыми—единичная==s)=M[w(t)w*(s)]Коптиматрицы—A(t)x,вv(t)v-\t),=фундаментальныеR^fySit-s).-A*(t)xB.50)видеZ(t,произвольные=уравненийxпредставитьs) =\этихматрицысистем,т.тождестваматричныеu(t)5),-xЕваж-доказательстваматрицамиПустьгдеB.14)систему=M[v(t)v*(s)]гдебезасимптотическомуЗдесьB.15).хвB.13),приведемвопросB.13),условиямейвB.14).Каллмана-БьюсифильтрарассмотренсистемысопряженнуюB.48)оо,систем.прежнимв,=фигурирующаяматрица,—B.13),фильтраэтогок—>былдетерминированныхстохастическойR(t)aоптимального5)гл.p(t0)системойфильтрУстойчивость2.6.(см.ВышефильтравидB.47),относящеесяtприрешатьB.48).анализаB.48)B.41).формулетребуетсяK{t)C*{t)R-\t)z{t),заданногоуравнениемутверждение,уравненияB.46),неоптимальногоимеет+процесса,оптимальныйдляСледовательно,определяетсяДлязавершенияважноеB.41))ипонамуравнениеB.37)задачирешение—Q(t)матрицыK{t)C*{t)R-\t)C{t)]p-G(t)матрицудифференциальноеаB.23))M[x(to)x*(to)].определяемпостроенииB.17),с(см.ВРиккати.уравнениемформулой=B.47),присоответствииизвестнымМ[е(*о)е*(*о)]неизвестнойотносительноуравнениеявляетсяопределяется=B.46),задачуТакимкаконоКоматрицаРешивуравнениегдечтоследует,Ко,B.47)=B.46)чтоКо=отсюдаB.46)соотношениематрицырто471системахA{t)K{t)+K{t)A*{t)-K{t)C*{t)R1{t)C{t)K{t)+B{t)Q{t)B*{t),=K(t0)(влинейныхвпроцессовA(t)u(t),fi(t)матрица.=-A*(t)n(t),W(t,t)=Z(t,t)=E,е.472Гл.Стохастические8.Отсюдапоследовательносистемытождестваполучаем( dW(t,t)_!!dt^(t)ПоследнееизфундаментальнойZ(t,s)видевB.50),z/*-1(t)z/*E),=z/*-1(t)чтоозначает,уравненийизвторого-u-\t)A(t),=тождествполученныхматрицейпредставить-v-l{t)A{t)v(t)v-\t)=е.т.Z(t,s)афундамен-являетсяZ(t,s)поэтомуможнопред-формуласправедливаW*(s,t).=обозначенияВведемтэ,Т)f=W(T,t)B(t)Q(t)B*(t)W*(T,t)dt,toТ=toибудемпользоватьсяпостоянныесистемааа,Ттакие,существуетположительной.Этаположительныеозначает,обкоторойдаютсяB.14),удаетсяtoto)являетсяесли<т.наблюдаемой,вполнеФ(Т,tвсехаматрица,положительположи-существуют>t0+сг.соотношениеопределенияB.4)Атипауправляемостиудобны,фильтрауправляемостичерезЧтоусловия.наблюдаемостииполучаетсяотносительноТ=наz(t),выходерезультат.A(t)x,zизB.13),матрицсчитаетсяфиксированным.=B.14)A(t)C(t)x(t)прииv(t),+C(t)B(t)и<t0=случайноговиt <T,B.51)прежнихприсигналажесистемысигналахарактеристикиследующийКаллмана-Бьюси,достаточныепроверяемыесфор-позволяютсистемухВ^наблю-ичтопотомуоптимальногосвойствустановитьназываетсяпринулеваяустойчивостивыраженныхприпостоян-+положительна.практическиРассмотримвремени/3<приведенныенепосредственновсехнаблюдаема,матрицтеоремукасаетсякотораячтоиспользованием(ЗЕположитель-существуютt ^чтоa,t—А—i)a,B.14)такие,—вВотметить,ссформулироватьпредположенияхФ(г<матрицаСледуетнаблюдаемостиCиопределенияхчтоB.13),аявляетсяесли^управляемой,вполнеФ(^о,Т)матрицавполнеа,этих+чтотакое,равномерноаФ{Ь^B.13),to,>постоянныеВаЕназываетсяматрицауправляемая,Система2.2.0 <вв <Т,ТсистемаB.14)чтотакое,вполнечтоОпределениееслиB.13),to,>равномерноCиопределениями.Система2.1.Т,существуетположительной.