Егоров А.И. - Основы теории управления, страница 62

.,=процесса(математическоеКоши,t(p(t)сигнал\ K(t)\ dt<oo.A.3)оо—W(s)ip(t+s)ds,виде(X)(X)x(t)=K(t-s)ip(s)ds=—Таккакпотоограничена,+каждаяA.3)условияслучайногореализацияK(s)cp(tИмеяматематическимэто(p(t)в—виду,оо.статистическиереализацияМожиданиемхарактеристикислучайногостационарного[</?(?)]=гдет^,т^постоянный—ооооM[x(t)]=М\_ jjогра-оорассмотримнекотораяпроцессаполучаем—Пустьs)ds.A.4)(X)—(X)предположениюсилувK(s)cp(y/ K(s)<p(t+s)ds\=j/ K(s)dsmlf.x(t).сигналапроцессавектор.сТогдама-Преобразование1.случайныхВычислимчто(f(t)длявекторногоимееттеперькорреляционнуюнулевоесреднеематрицей1).Согласно1^2)Поэтомуявляется¦/ *itD-~Г)Фт.cp(t)как\~Г)Ф4-\Х\^12)D-4-\Ъ\Гь—Rip(ti1t2)е.x(t)ислучайные\ТЭФi2)14-4-[Z2-ft—Rx(t\1t2)иRX(r)=J/теперь^1)•>-^4-\^l?^2j\~DXD-4--^—Полагаячетными.г\^1гt\=\~DX^2)—\^2\^1)—будем?2,—D-4--^—иметьгK(s)Rip(TJa-s)K*(a)dads.A.5)+—00плотностьспектральнуюx(t).сигналаSплотностьспектральнаясвязаныD-оо—00Вычислимтопроцессы,\~DX—являютсяооопределением—оостационарные—получаемоооо—ТакA.1)процессаоо—функцииэрмитовойопределеннойположительнорассматриваемогодляпредположении,этойBопределениюимеемпроцессаR^(tRlf(ti,t2)функциюзначение.случайногоСледовательно,системами453линейнымисигналовВсоответствиисRфункциякорреляционнаяисвя-соотношениямиооооS(u)I=R(t)e~lu;tdt,R(t)=I——00—00ПоэтомувсоответствииA.4)формуламисA.5)иS{uj)eluJtduj.A.6)чтонаходим,(X)[[[=ВводяCпеременныхзаменуг=+аполучим5,—(X)(X)(X)5х(ш)/=Согласно( RPtfy-WdpK(s)e^sdsjK*{a)e-iu>ada.(X)—(X)—(X)—определению(см.K(t)матрицыA.2))формулуможнозаписать,что—Ф(р)где—оофункцияпередаточнаяSx(uu)Рассмотримслучайныестационарные=A.1).системыПоэтомуокончательнонахо-чтонаходим,силы.{ui(?),.

.,ur(?)},этомслучай,Однатеперьаописываетсядругая)Напомним,накогдадвеv(t)=стационар-u(t)воздействиеуправляющеепомеху—действуютсистемухарактеризует{vi(t),. .,vm(t)}.Процесс=приуравнениемхсопряженной.Ф(-го;M^(о;)Ф*(га;).A.7)=чтоматрица=называетсяAx+Bu+эрмитовой,Cv,A.8)еслионасовпадаетсосвей454Гл.Стохастические8.А,гдеВСипостоянные—Тогдаматрицы.описываетсяпредположенияхпрежнихсистемыустановившийсяпроцесспреж-присоотношениемооооx(t)I=K(t)которомотносительноL(t)исигналовзаписатьх(р)формеХ(р)/=функцииЭтосоответственно.vиоператорнойвL(a)v(t-a)da,A.9)переходныеимпульсные—и/K(s)u(t-s)ds+оо—оо—вГГХ(р)п(р)=//»»ОО/ОО/»С»ООKx{t)e~o4t,JoJoY(p)еслиY(p)v(p),+A.8)системычтоозначает,отно-A.8)системуто/=где,Ji^i(t).tпри1 0приA.9)ИзjLi(t)0,.^0,1t <^0,t <0.tпри0причтонаходим,ooM[x(ti)x*(t2)]Rx(tut2)=I=K(s)Ru(t1-a)K*(a)dads-s,t2+oo—oooo/+fK(s)Ruv(t1-s.t2-a)L*(a)dads+L(s)Rvu(t1-s,t2-a)K%a)dads-oo—oo—ooг/ L(s)Rv(t1-+jТаккакпопредположениюRx(h,t2)itПолагаягt\=jRx{t)=4-^tl,—Rx{h=14-T)Vl2)t2,ip(t)процессы\—itTDVt2),-14-4-\t\—^2I-Кs,t2-a)L*(a)dads.oo—x(t)иRu{tXjt2)\TDUVRu(h=14-4-v^l?t2)\тостационарны,it—t2),-14-4-TDUV[Vi—i2J.\получимK(s)Ru(Ta-s)K*(a)dads++OO—OOOO/+—K(s)Ruv(r+fa-s)L*(a)dads+L(s)Rvu(r+a-s)K*(a)dads+oo—oooof+—ОтсюдаSx(u)в=соответствиисX(-ico)Su(io)X*(iio)формулойA.6)L(s)Rv(rY(-iu)Svu(u)X*(iu)a-s)L*(a)ddads.ooбудемиметь+X(-iu)Suv(co)Y*(iu)++++Y(-iu)Sv(u)Y*(iu).A.10)Преобразование1.ВслучайныхчастномпринимаетикромеиA.10)формулакоррелированы,X(-iu)Su(uj)X*(iuj)=величинытого,Y(-iu)Sv(u)Y*(iu).A.11)+х,и(р,vитоскалярны,A.7)формулизиA.11)чтоследует,Sx(u)Sx(u)Всоответствииспроцессас|Ф(ш)|25^(а;),A.12)=\X(iLu)\2Su(u;)=векторногоглавнойдиагоналиможноматрицы=Rx@),A.13)оо—Вx(t)когдачастности,будемсвойствами,вышеявляетсяформулепоопределитьпро-D(x)дисперсиячтонаходим,M[x(t)x*(t)]Rx@)случайногостационарногозначениемэлементов\Y(iLu)\2Sv(u;).+определениемсреднимнулевымвекторомaнеvивидSx(u)Если,сигналыкогдаслучае,упрощаетсясистемами455линейнымисигналовскалярный—случайныйспроцессуказаннымииметьооD(x)±=—формулыПолученные(т.используемслучайногохарактеристикие.хислучайныйF5(t),=выводадлянас—ТогдабелоготипаДирака,Fa—шума.интенсивность[F=—Всоответствиис8{s)e~lujsdsFconst.=ооA.12)формулой=имеемооD(x)=Rx(Q)=^ j—Сдругойпостороны,A.13)формуле\Ф(гш)\2<1ш.ООнаходим,чтоооооD(x)=(IK(s)K(aM(a-s)dadsM[x2(t)]=F—Отсюдаследует,=оо—оочтоооооD(x)=FI\K(s)\2ds=? I\Ф{ш)\*<Ь>.FТогдашума.ооS^iu)A.1)типастационарныйподаетсязначениемдельта-функцияхарак-системыфункциями)среднимнулевым5(т)гдеважнойоднойещескалярнойвходскалярнымисигнал7?^(т)Sx(co)cko.ооПустьпроцесса.предполагаются(рJf \K(s)\2ds.456Гл.Ф{гио)ФункциюможноможнотогдапредставитьЕсли,обозначитьнаконец,будемпропусканиясистемы.определенияполосысиооВзаимные(^(?2)],функцияспектраль-взаимнуюиx(t)процессовиtp(t).ВимеетA.4)соотношенияучетомлинейнойхарактеристиккорреляционнаясплот-спектральныефункциюслучайныхиистохастическихкорреляционнуювзаимнаяопределениемопределе-дляA.1).функциистационарныхпропуска-использованасистемыосновныхвзаимнуюплотностьполосойназываетсябытьможеткорреляционныеанализнайдемM[x(?i),А/ВеличинамногомернойЗавершая=A(uj)e%UJ',=величинуметодикапропусканиясистемы,спектральнуюFAmaxA/.=Изложенная1.2.А/черезD{x)иметьплотности.Ф{гио)формепоказательнойвсистемызаписать—тоСтохастические8.видсоответствииRX(p(ti,t2)=получаемооsL>*(t2)ds\K(s)tp(tx—Полагаятбудемt\=?2—иf=ОО—ООчтоучитывая,рассматриваемомвK{s)Rip(t1-s,t2)ds.случаеиметьIRxlf(r)=АналогичноK(s)Rp(t-s)ds.чтонаходим,ооfRcpx(r)=ДлятипавычисленияRp(r-s)K*(s)ds.плотностейспектральныхформуламивоспользуемсяA.8)ооооSx4>{u)( Rxtfi(s)e-iujsds,=—Rx*(s)=^-f Sxtfi(to)eiujsduj;оо—ооооооооSX(p(u)П=—ТакимK(s)Rp(tоо—оо—оообразом,Аналогичнополучаем-s)e~luJTdTds=jj/fK(s)e~lujsdsfти-Прогноз2.фильтрацияиS(px(u)П=случайныхR^(T457системахf R(p(rj)e-iWTs)K*(s)e-luJTdsdT=+линейныхвпроцессовfdrK*(s)elujsdsоо—следовательно,и,i?^(Y)ФункцииЕсливместессреднимнулевымS^(cj)иявляютсяx(t)сигналамиcp(t)итозначением,Поэтомучетными.легкоy(t)сигналещерассматриваетсясчтонаходим,(X)(X)Rxv(T)j=K(s)Rv>v(tRvx(t)I=Rvv{t+s)K*(s)влинейныхds,(X)—(X)—Sxy(u)Ф(шM^Н,=Прогноз2.s) ds,-иSyx(uu)фильтрация<Z>Hcj)S^H.=случайныхпроцессовсистемахМногиесвязанызадачиспрогнозомлинейнойодномернойh(t)(впреобразованиичастномв—системаможнопроцесссостоитслучаечтоПрипроцессыспредставить/(?),вчтозначе-среднимипреобразоПредпоh(t).точномполезногосигналаТогдаустойчива.одно-+предполагается,болеевоспроизведении)асимптотическисвя-входh(t)=нулевымивозможновнаtp(t)этоминачеилиПустьсигналпомеха.—случайныесистемытакпроцессов.поступаетf(t)aсигнал,НазначениеПредполагается,случайныхстационарные—системамисистемыполезный—f(t)изначениями.фильтрациейстационарнойh(t)которомстохастическимиуправленияиустановившийсявидев(X)(X)y(t)=K(t-s)ip(s)ds=Задачаприкh(t+наилучшееrj),гдевходноговy(t)(всигналсобойпредставлялсостоитпрогнозакоторыхг]=K(s)ip(t-s)ds.(X)—(X)—наподобратьсистемысмыслевг]параметрымомент0=ошибки)задачейназываетсязадачасистемы,представприближениефильтрацииtвременидисперсииминимумаПриconst.чтобытом,выходесигнала.МатематическизадачафункцииизусловиясводитсяФильтрация2.1.линейнуюкистационарнуюдисперсии.впрогнозсистему,переходнойимпульснойопределениюуказаннойминимумаРассмотримсистемах.стационарныхописываемуюуравнениемB.1)итолькосигналh(t)чтопредположим,имеют=характеристическогоLp{t){/i (t),.

.,={(/?i(?),. .,hn(t)}состоитА),(pn(t)},—вмаксимальнопредставимыйполезныйтом,Начтобыf(t)сконструироватьточно—системывходtp(t)видевaсигнал,болееdet(Aуравнениячасти.вещественныеотрицательныеЗадачаматрицукорни—+/(?),гдепомеха.(подобратьсистемупреобразующуюО=подаетсяh(t)=ХЕ)(вчастномслу-458Гл.чаевоспроизводящую)—выходнойО,>г]полезныйx(t)сигналкогдатог]идетречь0,=Сигналнае.требуется,приближениечтобывы-h(tВгдеслучае,h(t),сигналрежимеrj),+прогноза.аппроксимировалустановившемсявсистемызадачрешаетсяx(t)чтобысистемывыходеЕслинаилучшеет.прогнозе,требуется,фильтрации.е.т.задачейназываетсяоСтохастическиеh(t).сигналсобойпредставлял8.задачапредставимввидеtJXJx(t)аe(t)черезобозначим/=приближенияe(t)e(t)K(s)ip(t-s)ds,jошибкуСледовательно,Гможноx(t)сигналаh(t=h(tк+77):rj)-x(t).+представитьвидевООe(t)h(t=г])+[-K(s)cp(t-s)ds.B.2)—00Будемсистемыбудеттакжеf(t)иТогдазначением.среднимнулевымh(t)чтопредполагать,случайныестационарные—установившийсясобойслучайныйпредставлятьспроцессспроцессыx(t)сигналнанулевымси-выходесреднимзначением.ТочностьфункционаломJМ[е*(?),JSpRгдеx(t)приближения==е(?)],Вычислим77) будем+можноM[e*(t),e(t)}след—h(tккоторыйпредставитьSp{M[e(t),e*(t)]}=функциона-характеризоватьтакжевSpRe(t,t)=видеSpRe@),=R.матрицыJфункционалсB.2):формулыучетомооооJ=Sp|]V[ (/i(i+r?-K{s)v{t+s)ds)(h*(t+Ti)-I—ООItp*(t+s)K*(s)dsООГf1ft(tM/ v*{tr/)+LJJ—+s)K*{s)ds\-(X)(X)-M[—IK{s)ip(t+s)h*{tds+(X)(X)+M[ ИK(s)<p(t—Таккак+s)y*{t+dads\.a)K*(a)OOматрицыооооL2=m\s)K*(s)ds\,—обладаютзаписатьсвойствомОО—ООLI=L2,тоSp{Li+L2}=2SpLi=2SpL2.ПоэтомуможноПрогноз2.фильтрацияислучайныхлинейныхвпроцессов459системахооJSp|м[Л(*=r])h*(t+г])}+\h(t2М-jn)+(p*(tds]s)K*(s)++оо—оочтоили,тоже[ /УМ+K{s)ip{ts)ip*{t+dads] 1,ce)K*(ce)+самое,оооо(ГГJIJJJJБудемB.3).теперьискатьЭтотфункционалдостаточноеиK(t),матрицуегоусловиеSJJ[Kвариация—jN],+гдесматриц7темиs)К*(т)ипоэтомуdrdsB.3)}.можноминимумаJ.числовойпараметр,свойствами,представитьвидевSJвычисленияN(s)aинеобходимое0,B.4)=Длячтофункцио-минимумК,повыпуклымфункционала~~же+доставляеткотораяявляетсяSJгдеК(s)R^(тoo—oo—функционалуГ1/ Rhip(ri+s)K*(s)ds+Sp<Rh@)-2=K(s).рассмотримвыражениепроизвольная—ТогданепрерывнаяB.3)формулыизполучимооJ[K=Sp<Rh@)<yN]+/ Rh(p(ri-2IJs)[K*(s)+'yN*(s)]ds++oo—oooof ff/+K(s)Ripj jj—00—00(r+s)K*(r)drds+f/7jK(s)Rip(r+s)N*(r)drds+0000И7—N(s)RV(Ts)K*(r)dTds+'y2+/N(s)R^(r/7N{s)RpK*{r+s)N*(r)drooМатрицыooIh=—K(s)RV(T+s)N*(T)drds,/2=oo—ooудовлетворяют/JусловиюI2-=Поэтому0000Г /27Таксогласнокак,K(s)Rp(rусловиеB.4)s)JV*(r)определению,5 Jто+нозаписать=limв-виде{.drds-/+s)K*(r)drdsds¦}¦460Гл.Стохастические8.оооо—ПоразмерностиооП ГSp|I—ооK(s)Rv(tхпоэтомуип,K(s)матрицаr)+I=чтоучесть,матрицатогда-oo<r<oo.K(s)матрицаформулепоопределяетсяоо—W(p)гдезаписатьфункцияпередаточная—Rhip(r]ВB.1),системытоВинерауравнениеможновидев[T)=+фильтрациизадачеK1(s)Rp(r]Joг]Ki(s)функцияпереходнаякогдатогда,Винераs)ds,+размерно-толькоиуравнениюK(s)Rp(r0.B.5)=оо—ЕсливыполняетсяследующемуRh(p(r)dAN*(t)непрерывнаяB.5)условиетI+произвольная—удовлетворяетRhipG]s)ds-+N(s)предположениюпсистемы0,=долж:наоптимальнаяпоэтомуиr>0.B.6)s)ds,+удовлетворятьпереход-импульснаяуравнению/»ООRhifЗадача2.2.линейную(Т)Joфильтрациисистемукоторомвходнойр{pi,.

.,pn}G(t)исистемывыходеопределяетсяпо=zm(t)}Значит,вход-—случайныйслучайнымto)p°W(t,Кошир°=+Пусть,Jtox(t)далее,навыходе=x(t)[=процесс.p(t)сигналпроцессоминаопределя-a(t,—z(t),или,вe(t)=x(t)-F(t)y.a(t,ds,e(t)—видевs)векторныйads,B.8)s)G(s)z(s)записатьs)z(s)системы,W(t,уравнения=можноn-мерный—/Jt0однородногоB.8)формулу0p(t)e(t){zi(t),. .,нестационарныйнестационарнымматрица—Прие.=непрерывными.Ут.уравнениемформулеW(t.s)получитьz(t)вектор,предполагаютсяp(t)гдеРассмотримG(t)z(t),B.7)+собойявляется0.процесса.F(t)pпредставляетF(t)Матрицы=>тдифференциальнымфазовый—которыйсигнал,s)ds,+описываемуюpв(rнестационарногоуправления,=(s)^Ki==сигнал,ошибкасоответствиивсIJtns)G(s).которыйвосстановленииформулойa(t,s)z(s)ds.B.9)W(t,желательноэтогоB.10),по-сигнала,Прогноз2.фильтрацияислучайныхПредположим,чтозначением,среднимp(t)Тогдазначением.среднимx(t)сигналы461системахслучайные—спроцессыслучайныйтакжеспроцесскорреляционныесоответствующиеиz(t)и—линейныхвпроцессовнулевымсред-нулевымматрицыопределяютсяформуламиRz(t,r)B.7)Уравнениеz(t)можноp(t),сигналвRxz(t,r)M[z(t)z*(T)},=аЗадачасостоитJ(t)ВкачестванайтисвоегосЛегкочтоудовлетворяют/+Ma*(t,a)z(a)da\.a(tjS)z(s)dsматрицыIx(t)=MLiпризначения.z*(s)a*(t,s)ds\-f\ a(t,s)z(s)dsx*(t)JtoJ[ЛоJt0Jустановить,фильтра,параметрыполучаемM[e(t)e*(t)]=M[x(t)x*(t)]-M\x(t)-MсигналфункционалвозьмемвозможногоB.9)(t)].преобразующийтакиенаименьшегоформулойM[z(t)x*=M[e(t)e*(t)].=чтобытом,достигаетсоответствииэтогоSp{M[e(t),e*(t)}}=вфильтр,фильтракакрассматриватькритериемJ(t)которыхRzx(t,r)M[x(t)z*(T)],=a*(t,s)z*(s)dsL\условиюau(t,LJ,=Sp(Li+L2)поэтомуи=s)z(s)dsx*(t)2Sp/i.Значит,можнозаписатьJ(t)=Sp<^ IJnctM[x(t)x*(t)]-/2+ПосколькуJ(t)величинаисчислениявариационногоJ{t)функционалфункционал,/ Jt/0Jзависитнулюa(t,функциитойнаименьшегоявляется+5),тои5J(t):вариации5J(t,h)j.a°(?,поэтомуB.10)аппаратиспользуемвозможноговыпуклымпервойds^^функцииототысканиясвоегодостигаетs)а(М)М[ф)г*(а)]а*(*,а)Jt0дляочевидно,равенстваусловияM[x(t)z*(s)]a*(t,s),накоторойЭтотзначения.a°(t,s)изнаходится0,B.11)=гдеИлМoJ(t,ri)ИзB.10)формулыJ[a°+jh]=Sv\M[x(t)x*(t)]-2+/ /LJtoнаходим,rlira=.J[t+-yh]-J[t]чтоf M[x(t)z*(s)](a°*(t,s)(ao(t,5)+7/i(t,5))M[zE)z*(ce)](a°*(t,ce)+7/i*(t,ce))dced5+-yh*(t,s))ds+462Гл.Стохастические8.ТаккаксистемыматрицыSi/=pt/Jtopth{t,s)W[z{s)z*{a)\cP*{t,Jtoptdads,a)ptS2=a°*(t,s)M[z(s)z*(a)]h*(t,a)dadsJtoудовлетворяютSiусловиюJ[ao+-yh]/ТакB.11)условиеможнокакэтовидеследовательно,и,представитьJвидевлюбойприусловие0.=to)выполняетсядолжноусловиедостаточноеи2SpSi,=I I a**(t,s)m[z(s)z*(a)\h*(t,a)dads\toнеобходимоеS2)+f Jt0fJ a(t,s)M[z(s)z*(a)]h*(t,a)dads\.+/ M[x(t)z*(s)]hk,s)ds+\JtoJSp(SiтоM[x(t)z*(s)]h*(t,a)daJt0Jt0Следовательно,SpjS|,=J[a°]+72Spj=27+вJt0/i(?,s),функцииJ{t)функционаламинимуматоможнонеоб-записатьтождества:следующегогM[x(t)z*(s)]которое+/ a°*(t,a)M[z(s)z*(a)]daa°(?,функциюопределяетs),to^s<t,B.12)0,=Лофункционал.этотминимизирующуюУравнение/M[x(t)z*(s)]+неизвестнойотносительноa(t,наблюдаемыйсвязанzЗдесьхn-мерныйвекторныйслучайныйr-мерныйвекторныйзаданнымиГ Rw(t,s)[s)\Bi.гдепричемRv(t,0==QсM[v{t)v*{s)\неотрицательна,элементами,нулевымиаRположительна.C(t).