Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды, страница 6

å.k − 1 + 2kB,k+1ρ1 = ρ2 )1ρ1=γ2 = 1,(1.3.36)ÿâëÿåòñÿ íåôèçè÷åñêèì. Ñëåäîâàòåëüíî,k−1 12kp2+.k + 1 ρ2k + 1 ρ22 u22Ïîäñòàâëÿÿ (1.3.36) â (1.3.31) è (1.3.29), íàõîäèìµ(1.3.37)p1èu1 :¶k−12kp2p1 = p2 + ρ2 u 1 −−=k+1k + 1 ρ2 u22³´2k2k2k−1= p2 1 −+ρ u2 =ρ u2 −p ,k+1k+1 2 2k+1 2 2k+1 222k−12kp2.u +k+1 2k + 1 ρ2 u2u1 =(1.3.38)(1.3.39)Èòàê, äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 1.3.4.Ñîîòíîøåíèÿ Ãþãîíèî (1.2.20) äëÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðî-öåññîâ â ñîâåðøåííîì ãàçå ñ ïîñòîÿííûìè òåïëîåìêîñòÿìè è ïðè îòñóòñòâèè ïîâåðõíîñòíûõ ýôôåêòîâ íà ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà ìîãóò áûòüðàçðåøåíû â ÿâíîì âèäå îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ ïî îäíó èç ñòîðîíïîâåðõíîñòè ðàçðûâà:12kk−1 1p2 ρ1 = k + 1 ρ2 + k + 1 ρ2 u2 ,2 22k−12p1 =ρ u −p ,k+1 2 2k+1 2k−12kp2u1 =.u2 +k+1(1.3.40)k + 1 ρ2 u 21.3.7. Ñëó÷àé ãàçà, ïîêîÿùåãîñÿ ïî îäíó ñòîðîíóîò ïîâåðõíîñòè ðàçðûâàÏóñòü ñ îäíîé ñòîðîíû îò ðàçðûâà ãàç ïîêîèòñÿ, òîãäàu1 = v1 − D:³v1 = u1 + D = Dèëèv1 =2k+11−k−1k+1D−´2kk+1−v2 = 02kp2,k + 1 ρ2 Dp2.ρ2 Dèu2 = −D,(1.3.41)(1.3.42)38Ãëàâà 1.

Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÒîãäà ñîîòíîøåíèÿ (1.3.40) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåk−1 12kp21=+,2ρk+1ρk+1ρ2 D 22 12k−1p1 =ρ2 D2 −p ,k+1k+1 2p2v1 = 2 D − 2k.k+1(1.3.43)k + 1 ρ2 DÅñëè äîïîëíèòü ýòè ñîîòíîøåíèÿ àäèàáàòîé Ïóàññîíàp1 = A ρk1 ,(1.3.44)òî ÷åòûðå ñîîòíîøåíèÿ (1.3.43), (1.3.44) ïîçâîëÿþò íàéòèçàäàíû çíà÷åíèÿρ2èp2p1 , ρ1 , v1èD,åñëèïî äðóãóþ ñòîðîíó îò ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà.Âåðíåìñÿ ñíîâà ê ñèñòåìå (1.3.28) è ðàññìîòðèì åå äëÿ ñëó÷àÿρ1 (D − v1 ) = ρ2 D,ρ1 (D − v1 )2 + p1 = ρ2 D2 + p2 ,22cp θ1 + (v1 − D) = cp θ2 + D .2v2 = 0:(1.3.45)2Çäåñü èñïîëüçîâàíû ñîîòíîøåíèÿkp1= k(e1 − ee01 ) = kcv θ1 = cp θ1 ,k − 1 ρ1kp2= cp θ2 .k − 1 ρ2(1.3.46)Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1.3.45) íàõîäèìD=ρ1 v 1ρ1 − ρ2èD − v1 = −ρ2 v1,ρ1 − ρ2(1.3.47)èç âòîðîãîp1 = p2 + ρ2ρ21 v12ρ22 v12ρ ρ−ρ= p2 + 1 2 v12 ,122ρ1 − ρ2(ρ1 − ρ2 )(ρ1 − ρ2 )(1.3.48)èç òðåòüåãîcp (θ1 − θ2 ) =D22−(v1 − D)22112(ρ1 − ρ2 )2= (ρ21 v12 − ρ22 v12 ).(1.3.49) èòîãå ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèåcp (θ1 − θ2 ) =³ ρ + ρ ´ v2121ρ1 − ρ22.(1.3.50)Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå (1.3.50) â (1.3.48), òîãäà ñ ó÷åòîì òîãî,÷òîp1,2 = ρ1,2 cv (k − 1)θ1,2 ,èìååìcv (k − 1)(θ1 ρ1 − θ2 ρ2 ) =2ρ1 ρ2 cpρ1 − ρ2(θ1 − θ2 )³ρ − ρ ´12ρ1 + ρ2.(1.3.51)39Ÿ 1.3.

Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõÎòñþäà íàõîäèì(k − 1)(θ1 ρ1 − θ2 ρ2 )(ρ1 + ρ2 ) − 2ρ1 ρ2 k(θ1 − θ2 ) = 0.(1.3.52)Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíîρ1 :¡ρ21 (k − 1)θ1 − (k − 1)ρ2 θ2 + 2k(θ1 − θ2 )ρ2 )−¢− (k − 1)θ1 ρ2 − (k − 1)θ2 ρ22 = 0,(1.3.53)èëèρ21 (k − 1)θ1 − (k + 1)ρ2 (θ1 − θ2 )ρ1 − (k − 1)θ2 ρ22 = 0.(1.3.54)Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèäρ1 =³(k + 1)ρ2 (θ1 − θ2 )±2(k − 1)θ1q´± (k + 1)2 ρ22 (θ1 − θ2 )2 + 4(k − 1)2 θ1 θ2 ρ22 .1(1.3.55)Òîëüêî îäèí èç êîðíåé ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêè äîïóñòèìûì ýòî³ρ k+1θρ1 = 2(1 − 2 +2k−1θ1r¡ k + 1 ¢2 ¡k−11−θ2 ¢2θ+4 2θ1θ1´.(1.3.56)Ñîîòíîøåíèÿ (1.3.56), (1.3.50) è (1.3.47) ïîçâîëÿþò íàéòè ïëîòíîñòüñêîðîñòüv1 èρ2 èïëîòíîñòüñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïîâåðõíîñòè ðàçðûâàîòíîøåíèå òåìïåðàòóðD,ρ1 ,åñëè èçâåñòíûθ2 /θ1 .Ýòè ñîîòíîøåíèÿ, òàêæå êàê è (1.3.43), íàõîäÿò øèðîêîå ïðèìåíåíèå ïðèðåøåíèè ðàçëè÷íûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷.1.3.8.

Àäèàáàòà ÃþãîíèîÍàïîìíèì, ÷òî ñîãëàñíî ââåäåííîé â ï. 1.1.2 êëàññèôèêàöèè, åñëè ãàç ïîîáå ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè ðàçðûâàS(t)èìååò îäíè è òå æå îïðåäåëÿþùèåñîîòíîøåíèÿ â îáëàñòÿõ 1 è 2, è ìàòåðèàëüíûå òî÷êè ïåðåõîäÿò ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ðàçðûâà, ò.

å.M 6= 0,èS(t)íàçûâàþò ïîâåðõíîñòüþ óäàðíîé âîëíû.Ðàññìîòðèì ñîîòíîøåíèÿ Ãþãîíèî (1.2.27) íà ïîâåðõíîñòè óäàðíîé âîëíûäëÿ ñëó÷àÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Êàê è ðàíåå, ïîëàãàåìCnΣ = 0, C3Σ == 0.Ââåäåì óäåëüíûå îáúåìûV1 = 1/ρ1èV2 = 1/ρ2 ,(1.3.57)40Ãëàâà 1.

Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûòîãäà ñîîòíîøåíèÿ (1.2.27) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåu /V = u2 /V2 , 1 1(u21 /V1 ) − (u21 /V2 ) = p2 − p1 ,22e − e = u2 − u1 + p V − p V .1 112 22(1.3.58)(1.3.59)(1.3.60)2Âûðàçèìu1èç (1.3.58) è ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â (1.3.59),òîãäà èìååìu22V1u22−= p2 − p1V2V22rèëèu2 = ±V2p2 − p1.V1 − V2(1.3.61)Àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå ïîëó÷èì äëÿ âòîðîé ñêîðîñòèru1 = ±V1p1 − p2.V1 − V2(1.3.62)Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ôîðìóë íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ ñêà÷êà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè:12(u21 − u22 ) =(p2 − p1 )(V12 − V22 )=2(V1 − V2 )12(p2 − p1 )(V1 + V2 ).(1.3.63)Ïîäñòàâëÿÿ (1.3.63) â (1.3.60), ïîëó÷àåì1e2 − e1 = p1 V1 − p2 V2 − (p2 − p1 )(V1 + V2 ) =2= p1èëèV1 − V22+ p2V1 − V22=p1 + p22(V1 − V2 )1e2 (p2 , V2 ) − e1 (p1 , V1 ) = (p1 + p2 )(V1 − V2 ).(1.3.64)2Ýòî ñîîòíîøåíèå íàçûâàþò àäèàáàòîé Ãþãîíèî (èëè óäàðíîé àäèàáàòîé).Åñëèèçâåñòíûôóíêöèèei (pi , Vi ),òîýòîóðàâíåíèå ñâÿçûâàåò äàâëåíèå è îáúåì ñ îäíîéè äðóãîé ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà. Íàïðèìåð, åñëè çàôèêñèðîâàòü çíà÷åíèÿâûáèðàÿ êàêîå-ëèáî çíà÷åíèåàäèàáàòå Ãþãîíèî çíà÷åíèåp2V2 ,p1èV1 ,òî,íàõîäèì ïî(ðèñ.

1.3.1).Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå (1.3.64) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîíîòîííî óáûâàþùóþ ôóíêöèþÐèñ. 1.3.1. Àäèàáàòà Ãþãîíèîâ êîîðäèíàòàõ(p, V ).e2 (V2 )Ïîñêîëüêó âñÿêàÿ òî÷êà(p2 , V2 ) íà àäèàáàòå Ãþãîíèî ïðè ôèêñèðîâàííîì41Ÿ 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ(p1 , V1 ) óäîâëåòâîðÿåò òàêæå óðàâíåíèÿì (1.3.61)(p2 , V2 ) è (p1 , V1 ) èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèåçíà÷åíèèè (1.3.62), òî äëÿýòèõ òî÷åêp2 − p1u2= 12 > 0.V1 − V2V1Èç (1.3.65) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîìñåêóùàÿ ëèíèÿ ê êðèâîép2 (V2 ),(1.3.65)(p1 , V1 )è ëþáîì çíà÷åíèèV2îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåìp2 − p1 = tg α(V1 − V2 ),tgα ≡ u21 /V12 > 0,(1.3.66)âñåãäà èìååò îòðèöàòåëüíûé íàêëîí (ðèñ.

1.3.2).Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿp2 (V2 ),äåéñòâèòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáû-âàþùåé, òàê êàê åñëè áû ñóùåñòâîâàëà òî÷êà íåìîíîòîííîñòè, òî äëÿ íååáûëî áû âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî tgα60(ðèñ. 1.3.3) ÷åãî íå ìîæåò áûòüñîãëàñíî (1.3.66).Ðèñ.

1.3.2. Ïîëîæåíèå ñåêóùåép2 (V2 )ê àäèàáàòå ÃþãîíèîÐèñ. 1.3.3.Ñõåìà äëÿ äîêàçàòåëü-ñòâà ìîíîòîííîñòè ôóíêöèèÏðÿìóþ ëèíèþ, îïèñûâàåìóþ óðàâíåíèåì (1.3.61) (p2 èàp1èV1V2p2 (V2 ) ïåðåìåííûå, ôèêñèðîâàííûå), íàçûâàþò ïðÿìîé Ìèõåëüñîíà. Ïîñêîëüêó ýòàïðÿìàÿ íå ìîæåò âûõîäèòü â îáëàñòüp<0, òî åå èíîãäà íàçûâàþò òàêæåëó÷îì Ðýëåÿ, ïðèíèìàÿ çà òî÷êó íà÷àëà ëó÷à òî÷êó íà îñè àáñöèññ.Ïðÿìàÿ Ìèõåëüñîíà ñîåäèíÿåò äâå òî÷êè(pi , Vi ) (i =1, 2) íà óäàðíîéàäèàáàòå.1.3.9. Èçìåíåíèå ýíòðîïèè âäîëü àäèàáàòû ÃþãîíèîÏîñêîëüêó àäèàáàòà Ãþãîíèî ñâÿçûâàåò òî÷êè, íàõîäÿùèåñÿ ïî ðàçíûåñòîðîíû ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà, òî ýíòðîïèÿâ òî÷êó(p, V ),ηïðè ïåðåõîäå èç òî÷êè(p1 , V1 )âîîáùå ãîâîðÿ, ìåíÿåòñÿ. Íàéäåì ñîîòíîøåíèå äëÿ ýòîãîèçìåíåíèÿ ýíòðîïèè.Íàïîìíèì, ÷òî ïðè íåïðåðûâíîì äâèæåíèè èäåàëüíîãî ãàçà èìååò ìåñòîñîîòíîøåíèå (1.3.7).42Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÂâåäåì îáîçíà÷åíèå äëÿ àäèàáàòû Ãþãîíèî (1.3.64):1H(p, V , p1 , V1 ) ≡ e(p, V ) − e(p1 , V1 ) + (p1 + p)(V − V1 ) = 0.(1.3.67)2Ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò ôóíêöèåé Ãþãîíèî, ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõp1 , V1îíà äàåò óðàâíåíèå àäèàáàòû Ãþãîíèî.Âû÷èñëèì äèôôåðåíöèàë ïðè ôèêñèðîâàííûõp1V1 :è11dH = de + (V − V1 ) dp + (p1 + p) dV = 0.22(1.3.68)Ýòîò äèôôåðåíöèàë ñâÿçûâàåò òî÷êó (p, V ) íààäèàáàòå Ãþãîíèî ñ íåêîòîðîé áëèçêîé ê íåé òî÷êîé(ep, Ve )(ðèñ.

1.3.4), ëåæàùåé òàêæå íà àäèà-áàòå è ïîëó÷åííîé íåïðåðûâíûì äâèæåíèåì. Íà-Ðèñ. 1.3.4. Ôóíêöèÿ Ãþãîíèîïîìíèì, ÷òî ïåðåõîä èç(p1 , V1 )â(p, V )îñóùåñòâ-ëÿåòñÿ ðàçðûâíûì äâèæåíèåì.Òîãäà äëÿde ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó íåïðåðûâíîãî äâèæåíèÿ (1.3.7)è èç (1.3.68) èìååì1122θ dη − p dV + (V − V1 ) dp + (p1 + p) dV = 0,èëè2dH= 2θ dη + (V − V1 ) dp + (p1 − p) dV = 0.(1.3.69)(1.3.70)Îòñþäà ïîëó÷àåì2dHdηdp= 2θ− (V1 − V )− (p − p1 ) =dVdVdVèëè2θdηdp= (V1 − V )+ (p − p1 ).dVdVÈñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (1.3.65)2θ0,(p2 = p, V2 = V ),(1.3.72)íàõîäèìdηd(p − p1 )= −(V1 − V )+ tg α(V1 − V ) =dVdVd tg α(V1 − V )2 + tg α(V1 − V2 ),= −(V1 − V )tg α +dVèëè2θdηd= (V1 − V )2dVdVtg(1.3.71)α.(1.3.73)(1.3.74)Ýòî óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå ýíòðîïèè ïðè äâèæåíèè âäîëü àäèàáàòûÃþãîíèî èç òî÷êè(p, V )â òî÷êó(ep, Ve ).1.3.10.

Èçìåíåíèå ýíòðîïèè âäîëü àäèàáàòû Ãþãîíèîïðè ìàëîì ñêà÷êå óäåëüíîãî îáúåìà43Ÿ 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõÂåðíåìñÿ ê ñîîòíîøåíèþ (1.3.72). Åñëè óñòðåìèòü òî÷êó(p, V )ê(p1 , V1 )(ò. å. ðàññìîòðåòü òå ïðîöåññû, äëÿ êîòîðûõ èìåþò ìåñòî òàêèå óñëîâèÿ), òî¯ïîëó÷èìdη ¯¯ =dV V0¯dη (p(V ), V )¯V =V = 0.èëè(1.3.75)11Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå ýíòðîïèè ðàâíî íóëþ âäîëü àäèàáàòû Ãþãîíèî ïðèìàëûõ ñêà÷êàõ∆V ,Âû÷èñëèì âòîðóþèñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1.3.70):d ηdθ dηdpd Hd pdp= 2θ 2 + 2− (V1 − V ) 2 +−= 0.2dηdVdVdVdVdVdV22∆V /V1 ¿ 1.22ïðîèçâîäíóþ d H/dV ,ò. å. êîãäà22(1.3.76)Îòñþäà íàõîäèìθdθ (V − 1 − V ) dpdθd2 pd2 η=−−(p − p1 ) + (V1 − V ) 2 .2dVθdVdVdVdVV → V1 ñèëó íåïðåðûâíîñòè àäèàáàòû Ãþãîíèî, ïðèp → p1 .(1.3.77)ïîëó÷àåì, ÷òîÈç (1.3.77) ñëåäóåò, ÷òî¯d2 η ¯¯ = 0.dV 2 V(1.3.78)1Âû÷èñëÿÿ òðåòüþ ïðîèçâîäíóþ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, íàõîäèì2d3 Hdθ d2 ηd3 ηd2 θ=2+2θ+2dV dV 2dV 3dV 3dV 2dθ+2dVòîãäàdη+dVd3 pd2 pd2 η−(V−V)+=1dV 2dV 3dV 2¯(1.3.79)¯d3 η ¯d2 p ¯¯ = − 2¯3dV VdV V2θ0,1,1ò.

å. òîëüêî òðåòüÿ ïðîèçâîäíàÿ îòëè÷íà îò íóëÿ.Ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä.Òåîðåìà 1.3.5.òî÷êóïèÿη(p, V )Ïðè ïåðåõîäå èç òî÷êèñ ïðèðàùåíèåìâ òî÷êå(p, V )∆V = V − V1â íåêîòîðóþ áëèçêóþ åéâäîëü àäèàáàòû Ãþãîíèî ýíòðî-ìåíÿåòñÿ, íî åå èçìåíåíèåìàëîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñH(p1 , V1 )∆ηèìååò òðåòèé ïîðÿäîê∆V .Äåéñòâèòåëüíî, âû÷èñëÿÿ∆η = η(p(V ), V ) − η1ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîð-ìóëû ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà, ïîëó÷àåì2θ∆η= 2θ(η − η1 ) = 2θ¯³ dη ¯21 d η ¯¯¯ ∆V +¯ (∆V )2 +dV V2 dV 2 V¯¯´3d2 p ¯1 d η ¯3(∆V)+... = −+¯¯ (∆V )3 ,3216dV1dVV1V1(1.3.80)¯ò. å.2θ∆η=−d2 p ¯¯ (∆V )3dV 2 V1(1.3.81)44Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûïðè∆V /V1 ¿ 1. N1.3.11.