Динамические процессы в ЖРД, страница 13

Нагрев и испарение отдельных капельПрогрев капли за счет теплопроводности от облака может бытьописан известным уравнением теплопроводности, которое в сферических координатах принимает следующий вид [35]:из компонентов в любойшениеКраевые условия записываются так:времени справедливосоотно(1.331)где тт — текущее значение массы жидкости в капле;т 0 б — масса продуктов испарения в облаке;mD — масса продуктов испарения, диффундировавших из облака в окружающую среду. 'Масса капли(1.332)где г — характерный размер — радиус для капель, форма которыхблизка к шаровой.Производная этого выражения имеет, следующий вид:(1.333)Масса продуктов испарения в облаке(1.334)гдеJR — характерный размер облака;Q 0 6 — плотность облака.Производная(1.335)По закону Фика производная от диффундировавшей массы равна:(1.330)где а — коэффициент температуропроводности, причеммомент(1.336)или(1.337)где FD — поверхность облака;D.

— коэффициент диффузии;С — концентрация диффундировавшей массы.Подставляя (1.333), (1.335) и (1.337) в (1.331), после преобразования будем иметь:(1.338)Поскольку в уравнение введена новая переменная — концентрация,появляется необходимость привлечь уравнение диффузии [32]:(1.339)Решение и анализ уравнения (1.330) хорошо известны [35].При изучении массообмена через облако привлекается уравнение закона сохранения массы испаряющейся капли.

Для одного98Испарение и дальнейший подогрев капель может быть описанс помощью уравнений закона сохранения энергии. Будем ориентироваться на принятую условную схему конвективного нагрева.7*99Элементарноеравно:тепло,переданноекаплепродуктами сгорания,(1.340В тех случаях, когда определяющим фактором являетсяне испарение, а диффузия, уравнением (1.349) пользоватьсянельзя. Время полного испарения каплиПоверхность нагрева для шаровой капли(1.341)(1.350)В условиях сложного турбулентного потока, характерного длясовременных камер сгорания, формы капель разнообразны.

Иногдаони имеют чечевицеобразную форму, движутся широкой сторонойвперед, деформируются, меняют форму, делятся.Для определения условного коэффициента теплопередачиот продуктов сгорания к капле пользуются обычной формулой:(1.342)Если теплообмен не зависит от числа Re, то я = 0; при этомГ==( Г 2_^)0,5(1.351)При наличии вынужденной конвекции, если принять рекомендуемое некоторыми авторами [12, 13] значение « = 0,5, получим:(1.352)При этомТеперь выражение (1.340) запишется так:(1.353)(1.343)где(1.344)Некоторые авторы [3] вместо (1.342) рекомендуют формулугде параметр В характеризует теплообмен, не зависящий от разности скоростей ( С — W ) ,Тепло, расходуемое на подогрев элементарной массы от некоторого начального значения температуры Т0 до температуры Ts, составит [35]:(1.345)На испарение элементарной массы с поверхности капли будет израсходовано тепло(1.346)При определении теплового тютока от продуктов сгорания в каплебыло принято, что относительная скорость С-—W=const.

В действительности она изменяется во времени, т. е. ( С — W ) = f ( t ) .По второму закону Ньютона(1.354)где Pw — баллистическая сила, причем, [13]:(1.355)Коэффициент сопротивления(1.356)и определяется экспериментально.Ориентируясь на усредненное значение сх, получимгде г* — скрытая теплота испарения.Используя закон сохранения энергии, находим:(1.357)(1.347)Вынося усредненные значения параметров за знак интеграла, после интегрирования приходим к уравнению, характеризующемуиспарение единичной капли жидкого компонента:(1.348)(1.358)(1.349)Уравнение (1.358) показывает, что С = С0, если ^0 = 0.

Чем больше t, тем ближе С к W. Однако для определения конечного значения С необходимо решить систему рассмотренных уравнений.где100Если на участке испарения капли W= const, то1012. Уравнения, характеризующие выгорание компонентов топливаХарактеристикой выгорания топлива является функцияВ любой момент времени(1.366)или(1.359)где т0 — начальная масса капли;,т,к-—текущее значение массы капли;п0 — относительное (секундное) количество капель, обладающих массой т0;пд — текущее значение капель с. массой т ж , подсчитанное с учетом эффекта их дробления.Очевидно, что(1.360)(1.367)Уравнение кривой выгорания для унитарного топлива запишетсятак:(1.368)Для двухкомпонентного топливабудемиметь:Уравнение кривой выгорания унитарного топлива при условии,что массы всех капель в начальный момент времени равны междусобой, и без учета дробления запишется так:(1.361)Для двухкомпонентного топлива при тех же допущениях получим:зз(1.362)Соотношение компонентов, находящихся в газообразной фазе,может изменяться во времени, следовательно,(1.369)Выражение для определения текущего значениякомпонентов примет следующий вид:6ж2соотношения(1.370)Если размер капель жидкого компонента изменяется OT.m min до/"max.

то количество капель(1.371)(1.363)При любом непрерывном спектре распределения, даже при отсутствии капель, обладающие массой 0<^m0<mmin и m max <m<oo,количество капель может быть определено интеграломили(1. 364)(1.372)В результате исследования распыла компонентов топлива удается выявить несколько характерных размеров капель. Если относительное количество капель, обладающих массой т{, обозначитьсимволом HI, то секундный расход в начальный момент временибудет равен:(1.365)102Количество компонента, находящегося в произвольный моментвремени в жидком состоянии, составит:(1.373)103Ориентируясь на принятый выше закон испарения, получим:звуковое давление р, плотность Q или потенциал скорости i|i, из которого путем дифференцирования находят составляющие скорости:(1.374)(1.378)Для унитарного топлива уравнение кривой выгорания приметследующий вид:(1.379)(1.380)(1.375)В отличие от принятой ранее цилиндрической системы волновоеуравнение запишем в декартовой системе координат.

Для определения пяти переменных: р, Q, Wx, Wr и W? используют пять уравнений: уравнение состояния, три уравнения второго закона Ньютонаи уравнение неразрывности.Уравнение состояния часто используется в следующем виде[27, 34]:Для двухкомпонентного топлива:(1.381)Уравнение второго закона Ньютона записывается без учета жидкой фазы, действия внешних сил и сил вязкого трения. В этом случае получим:др .(1.382)Выражение для определения текущего значения соотношениякомпонентов запишется следующим образом:(1.383)(1/384)(1.377)Далее, оговаривая наличие только малых амплитуд, заменяют Qвеличиной QO = const.

Уравнение второго закона Ньютона содержитлокальные ускоренияСледует отметить, что при построении q>(£) и K(t) необходимо,используя хорошо разработанные и широко опубликованные методы, учитывать распределение компонентов топлива по сечению камеры сгорания. .(1.385)§ 9. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕНе всегда удается решить систему, состоящую из несколькихсложных уравнений.

Поэтому приходится ориентироваться на упрощенные уравнения. В качестве примера рассмотрим волновое уравнение. Это уравнение обычно связывает следующие переменные:104и ускорения переноса(1.386)Локальное ускорение создается переменным во времени внешним полем сил, а ускорение переноса обусловлено тем, что элементгаза за промежуток времени dt изменяет свое положение в пространстве и попадает в область, где поле скоростей характеризуется105иначе. Дальше будем считать, что ускорением переноса можно пренебречь.

Теперь, будем иметь [47"]:(1.387)Умножим правые и левые части уравнений системы (1.392) на операторы следующим образом: первое уравнение — на операторд/дх, .второе — на оператор д/ду, третье — на оператор dldz, четвертое— на оператор dldt. Теперь получаем систему:(1.388)(1.389)(1.393)•Следует особо обратить внимание на то, что в выражениях (1.387),(1.388) и (1.389) не учитывается ряд важнейших факторов, могущих в условиях эксплуатации ЖРД принципиально изменить характер колебательных процессов.Уравнение неразрывности записывается так:(1.390)Таким образом, как это совершенно ясно, уравнение (1.390) представляет собой уравнение закона сохранения массы (уравнениенеразрывности), записанное в самом упрощенном виде.

Системарасчетных уравнений имеет следующий вид:Складывая почленно первыемощью четвертого члентри уравнения и исключая с по-(1.394)приходим к волновому уравнению для плотности:(1.395)(1.391)где(1.396)Заменяя в трех уравнениях Ньютона давление плотностью с помощью первого уравнения системы (1.391), получаем новую систему:Волновое уравнение для звукового давления примет следующийвид:(1.397)Волновое уравнение для потенциала скорости:(1.398)(1.392)В цилиндрических координатах волновое уравнение для потенциала скорости записывается так:(1.399)107Наличие большого количества литературы, посвященной анализу и решению волновых уравнений, освобождает автора от необходимости изложения общеизвестных методов.

В данном параграфе рассмотрено два крайних случая: система из девяти уравненийи волновое уравнение, полученное путем элементарных преобразований пяти уравнений, написанных в упрощенном виде.Практика предъявляет к исследователю самые разнообразныетребования, с учетом которых и следует писать рабочую системууравнений. Дифференциальные уравнения системы описываютсвязь между временными и пространственными изменениями параметров внутрикамерного процесса.Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, т.

е. найти поле параметров в любой момент времени, надо знать краевыеусловия. Они представляют собой совокупность начальных и граничных условий. Начальными условиями называют распределениепараметров внутри тела в начальный момент времени. Для рассматриваемого примера условия распределения параметров в общем виде записываются так:(1.400)Условия (1.400) задаются по результатам обработки опытныхданных, на основании предварительных расчетов или по другимсоображениям. Необходимо отметить, что определение начальныхусловий связано порой со значительными трудностями. Наибольшеераспространение получили два способа задания начальных условий. В тех случаях, когда это возможно, задают равномерноераспределение параметров в начальный момент времени, например:(1.401)Если имеется решение статической задачи, то начальные условия задают, используя условия статики. Допустим, что рассматривается выключение двигателя.