РМГ_43_2001 (Раздаточные материалы от преподавателя), страница 3

Кроме изложенных в Руководствеи НД ГСИ по метрологии методов вычисления неопределенности и оценивания характеристик погрешности на практике используют и другие методы.Возможные различия между оценками характеристик погрешности (в соответствии с НД ГСИ пометрологии) и неопределенностями (в соответствии с Руководством) показаны в примерах, приведенныхв приложениях Б и В.Различие двух подходов проявляется также в трактовке неопределенности и характеристик погрешности, основанной на разных интерпретациях вероятности: частотной и субъективной. В частности,доверительные границы погрешности (отложенные от результата измерений) накрывают истинное значение измеряемой величины с заданной доверительной вероятностью (частотная интерпретация вероятности).

В то же время аналогичный интервал ( y − U p , y + U p ) трактуется в Руководстве как интервал, содержащий заданную долю распределения значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине (субъективная интерпретация вероятности).А.5 В общем случае не существует однозначного соответствия между случайными погрешностямии неопределенностями, вычисленными по типу А (а также неисключенными систематическими погрешностями и неопределенностями, вычисленными по типу В). Деление на систематические и случайныепогрешности обусловлено природой их возникновения и проявления в ходе измерительного эксперимента, а деление на неопределенности, вычисляемые по типу А и по типу В, − методами их расчета.А.6 Результаты сравнительного анализа процедур оценивания характеристик погрешности ивычисления неопределенности измерений приведены в таблицах А.1 и А.2.Таблица А.1 - Процедура оценивания характеристик погрешности результата измеренийξ = y -yист ⇔ y = yист + ξПогрешностьМодельпогрешностиХарактеристикигрешностиξ - случайная величина с плотностью распределения вероятностей p(х; E, σ2,...), где E математическое ожидание, σ2- дисперсияпоS - СКО θ - границы неисключенной систематиче- ∆p - доверительные границыИсходные данные дляоценивания характеристикпогрешностиской погрешности1 Модель объекта исследования.2 Экспериментальные данные xiq , где3 Информация о законах распределения.4 Сведения об источниках погрешностей, их природе и характеристикахсоставляющих (S(xi), θi), структурная модель погрешности.5 Стандартные справочные данные и другие справочные материалы.Методы оценивания характеристик:1 случайныхпогрешностейni2 ;1x iq − x iS ( xi ) =∑ni − 1 q =1(S ( x il ) =2 неисключенных систематических погрешностейm ∂f∑  ∂ xii =1∆p=tpS +( fp = 0,95эф2()S 2 ( xi )∂f∑  ∂ xii =12 θ i2 ,и k = 1,4 при p = 0,99 и m > 4)S + θ ( p) ∂fi=1  ∂ x im∑m θ ( p) = kгде k = 1,1 приni2 ;1x iq − x i∑n i ( n i − 1) q =1)S =3 суммарнойпогрешностиq = 1,..., ni ; i = 1,..., m .2θ2iS2+ ∂fi=1  ∂ x im∑2θ2i339РМГ 43-2001Окончание таблицы А.1Формапредставления∆pхарактеристик погрешноθ(p), S, n, fэфстиИнтерпретацияполу- Интервал (− ∆ ,+ ∆ ) с вероятностью p содержит погрешность измерений, что равppченных результатовносильно тому, что интервал ( y − ∆ , y + ∆ ) с вероятностью p содержит истинноеppзначение измеряемой величины.Таблица А.2 - Процедура вычисления неопределенности измеренийМодель неопределенности (представление знания означении измеряемой величины)Неопределенность(количественнаямера)Исходные данныедля вычислениянеопределенностиη - случайная величина с плотностью распределения вероятностей p (х; y, u2,...), где у математическое ожидание,u2- дисперсияСтандартная uРасширенная Up=k⋅ucСуммарнаяmu c = ∑ u i2i =11 Модель объекта исследования.2 Экспериментальные данные xiq, где q = 1,…,ni; i = 1,…,m.3 Информация о законах распределения.4 Сведения об источниках неопределенности и информация о значениях неопределенности.5 Стандартные справочные данные и другие справочные материалыМетоды вычисления неопределенности:1 по типу Аni∑u A ,i =ni( x iq − x i ) 2∑ ( x iqq =1, u (x ) =A ini − 12 по типу Вu B ( xi ) =3 расширеннойнеопределенностиq =1− xi ) 2n i ( n i − 1)bi3U p = t p (ν eff ) ⋅ u c ,гдеν effu c4=m∑i=1 ∂fu ( x i )  ∂ xi4;uc =m ∂f∑ i =1 ∂ x iu ( x i ) 2;ν iU0,95 = 2uc,U0,99 = 3uc– для нормального закона;U0,95 = 1,65uc, U0,99 = 1,71uc – для равномерного законаПредставлениенеопределенностиИнтерпретацияполученныхрезультатов10u c , U p , k , u i ,ν iИнтервал ( y − U p , y + U p ) содержит большую долю (р) распределения значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величинеРМГ 43-2001ПРИЛОЖЕНИЕ Б(справочное)Пример оценивания характеристик погрешности и вычисления неопределенности измерений.Измерения силы электрического тока с помощью вольтметра и токового шунтаБ.1 Уравнение измеренийI = f (V , R ) =гдеV ,R(Б.1)I - сила тока;V – напряжение;R - сопротивление шунта.Б.2 Нахождение результата измеренийБ.2.1 В результате измерений напряжения при температуре t = (23,00 ± 0,05) °C получают рядзначений Vi в милливольтах (где i = 1,..., n; n = 10 ):100,68; 100,83; 100,79; 100,64; 100,63; 100,94; 100,60; 100,68; 100,76; 100,65.Б.2.2 На основе полученных значений вычисляют среднее арифметическое значение напряжения V , мВ, по формуле1 n(Б.2)V =∑ V i = 100 , 72 .n i =1Б.2.3 Значение сопротивления шунта R0, Ом, установлено при его калибровке для I = 10 А иt = 23 ,00 °C и равно:R0 = 0,010 088 .Б.2.4 Результат измерений силы тока I, A, получают по формулеV(Б.3)I == 9,984 .R0Б.3 Анализ источников погрешности результата измеренийБ.3.1 СКО, характеризующее случайную составляющую погрешности при измерениях напряжения S (V ) , мВ, вычисляют по формулеn∑S (V ) =i=1(V i− Vn ( n − 1))2= 3 , 4 ⋅ 10 − 2,(Б.4)~∗)S (V ) = 0 , 034 % .Б.3.2 Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра в милливольтах определены при его калибровке в виде следующего выражения**) :(Б.5)θ V = 3 ⋅ 10 − 4 ⋅ V + 0 , 02 .Тогда при V=Vполучаютθ V = 5, 0 ⋅ 10 − 2 мВ,~θ V = 0 , 05 0 %.Б.3.3 Границы неисключенной систематической погрешности значения сопротивления шунта,определенные при его калибровке, равны~θ R = 0 , 07 0 % .∗)Здесь и далее по тексту знак тильды над буквой, обозначающей характеристику погрешности (неопределенности), означает, что данная характеристика приведена в относительном виде.**)В выражениях для границ погрешностей при равных значениях отклонений от нуля знак ± здесь и далееопущен.11РМГ 43-2001Тогда при R = R 0 получаютθ R = 7 ⋅ 10 − 4 ⋅ R 0 = 7 ,1 ⋅ 10 − 6 Ом.(Б.6)Б.3.4 Границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта, обусловленной погрешностью измерений температуры, находят из формулы, определяющей зависимость сопротивления от температуры(Б.7)R = R 0 ⋅ [1 + α ⋅ ( t − t 0 ) ] ,где R 0 - значение сопротивления при t = t 0 ( t 0 = 23 ,00 °С; R 0 = 0,010α - температурный коэффициент ( α = 6 ⋅ 10 − 6 K − 1 ).088 Ом );В случае, когда границы погрешности измерения температуры равны ∆t, границы соответствующей составляющей погрешности значения сопротивления равны(Б.8)θ R ,t = α ⋅ ∆ t ⋅ R ,Таким образом, при ∆ t = 0 , 05 °С получают:θ R , t = 3 , 0 ⋅ 10 − 9 Ом,~θ R , t = 3 , 0 ⋅ 10 − 5 %.В дальнейшем эту составляющую погрешности (ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими) можно не учитывать.Б.4 Вычисление характеристик погрешности результата измеренийБ.4.1 Делают предположение о равномерном распределении неисключенных систематических составляющих погрешности результата измерений внутри их границθVиθ R .

Тогда СКО суммарной неисключеннойсистематической составляющей погрешности результата измерений силы тока Sθ , А определяют по формулеSθ = ∂f  ∂V 2⋅θ V23 ∂f +  ∂R 2⋅θ R2 ,(Б.9)3где ∂ f = 1 , ∂ f- коэффициенты влияния.V= −2∂VR ∂RRТаким образом, получают22Sθ = 1  θ V2  V  θ R2 ⋅+  2  ⋅= 5 , 0 ⋅ 10 − 3 A ,33R R0  0 ~S θ = 0 , 050 %.Б.4.2 Доверительные границы суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока θ (р) при доверительной вероятности p = 0 , 95 оценивают по формулеθ ( 0 , 95 ) = 1 ,1 1  R 2 V θ V2 +  R 2 2⋅ θ R2 = 9 , 5 ⋅ 10 − 3A,(Б.10)~θ 0 , 95 = 0 , 095 % .Б.4.3 СКО случайной составляющей погрешности результата измерений силы тока S определяют по формуле∂f(Б.11)S =⋅ S (V ) = 3 , 4 ⋅ 10 − 3 А ,∂V~S = 0 , 034 %.Б.4.4 СКО суммарной погрешности результата измерений силы тока S Σ вычисляют по формулеSΣ =S 2 + S θ2 = 6 , 0 ⋅ 10 − 3 A ,~S Σ = 0 , 060 %.(Б.12)Б.4.5 Доверительные границы погрешности результата измерений силы тока ∆ 0 , 95 при p = 0 , 95 и эффективном числе степеней свободы f эфф = n − 1 = 9 вычисляют по формуле12РМГ 43-2001∆ 0,95 =t 0,95 (9) ⋅ S + θ (0,95)⋅ S Σ = 0,012 A ,S + Sθ~∆ 0 , 95 = 0 ,12 %.(Б.13)Б.5 Вычисление неопределенности измеренийБ.5.1 По типу А вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер.Б.5.1.1 Стандартную неопределенность напряжения, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер, u A (V ) определяют по формулеn∑u A (V ) =i =1(V i)2− V,(Б.14)n ( n − 1)− 2 мВ,u A (V ) = 3 , 4 ⋅ 10u~ A (V ) = 0 , 034 %.Б.5.1.2 Стандартную неопределенность силы тока, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер, определяют по формуле∂f− 3 А,(Б.15)uA =⋅ u A (V ) = 3 , 4 ⋅ 10∂Vu~ A = 0 , 034 %.Б.5.2 По типу В вычисляют стандартные неопределенности, обусловленные источниками неопределенности, имеющими систематический характер.

Закон распределения величин внутри границсчитают равномерным.Б.5.2.1 Границы систематического смещения при измерениях напряжения, определенные при калибровкевольтметра, равны 3 ⋅ 10 − 4 ⋅ V + 0 , 02 . Тогда соответствующую стандартную неопределенность u B ,V вычисляют по формулеu B ,V=3 ⋅ 10 − 4 ⋅ V + 0 , 02 = 2 , 9 ⋅ 10 − 2 мВ,3~u= 0 , 029 %.(Б.16)B ,VБ.5.2.2 Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны 7 ⋅ 10 − 4 ⋅ R .

Тогда при R = R 0 соответствующую стандартную неопределенность u B , R вычисляют по формулеu B ,R =7 ⋅ 10 − 4 ⋅ R 0 = 4 , 0 ⋅ 10 − 6 Ом,3u~ B , R = 0 , 040(Б.17)%.Б.5.2.3 Границы изменения значения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны α ⋅ ∆ t ⋅ R 0 . Соответствующую стандартную неопределенность u B ,t получают в соответствии с формулойu B ,t =α ⋅ ∆ t ⋅ R 0 = 1, 7 ⋅ 10 − 9 Ом,(Б.18)3u~ B , t = 1 , 7 ⋅ 10 − 5 %.В дальнейшем этой составляющей неопределенности (ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими) можно пренебречь.Б.5.2.4 Суммарную стандартную неопределенность uB, вычисленную по типу В, определяют поформуле22(Б.19)= 5 , 0 ⋅ 10 − 3 A , ∂f  ∂f 22u B= ∂V u B ,V+  ∂R ⋅ u B ,Ru~ B = 0 , 050 %.13РМГ 43-2001Б.5.3 Суммарную стандартную неопределенность uC вычисляют по формуле−3A ,uc =u 2 + u 2 = 6 , 0 ⋅ 10u~ c = 0 , 060%.Б.5.4 Эффективное число степеней свободы veff рассчитывают по формулеν effu c4= 1⋅uA  Rn − 14(Б.20)BA 1⋅ u B ,V R+∞4 V⋅ u B ,R 2+  R∞.(Б.21)= 874Б.5.5 Коэффициент охвата k получают по формулеk = t 0 , 95 (ν eff ) = 1 , 99 .(Б.22)Б.5.6 Расширенную неопределенность U0.95 определяют следующим образомU 0 , 95 = k ⋅ u c = 0 , 012 A ,(Б.23)~U 0 , 95 = 0 ,12 %.Б.6.

Переход от характеристик погрешности к неопределенности измеренийБ.6.1. Используя оценки характеристик погрешности, полученные в Б.3 и Б.4 настоящего приложения, можно продемонстрировать получение оценок неопределенностей в соответствии с 5.4 настоящихрекомендаций.Схема 1I = 9 , 984 AI = 9 ,984 A , uˆ A = S = 3, 4 ⋅ 10 − 3 A,,S = 3 , 4 ⋅ 10 − 3 А ,θ ( 0 , 95 ) = 9 , 5 ⋅ 10m = 2,n = 10−3A,uB =θ (0,95)k ⋅3= 5,0 ⋅ 10 − 3 A,где k = 1,1 при p = 0,95 ,uˆ c =νeffuˆ 2A + uˆ B2 = 6 ,0 ⋅ 10 − 3 A,uˆ 2 = ( n − 1 ) ⋅ 1 + Buˆ 2 A 2= 87 ,Uˆ 0,95 = t 0,95 (ν eff ) ⋅ uˆ c = 0,012 AВ данном примере неопределенности измерений, вычисленные в Б.5 настоящего приложения всоответствии с Руководством, совпадают с их оценками, полученными по схеме 1.Схема 2I = 9 , 984 A∆ 0,95 = 0,012 AP= 0,95,I = 9 , 984 AÛz0,95 =0,012 A0,95 =1,96û c ⋅=,∆ 0,95z 0,95=0,0121,960,006 AВ данном примере разность неопределенностей измерений, вычисленных в Б.5 настоящегоприложения в соответствии с Руководством, и их оценок, полученных по схеме 2, меньше погрешности округления при вычислениях.14РМГ 43-2001ПРИЛОЖЕНИЕ В(справочное)Пример оценивания характеристик погрешности и вычисления неопределенности измерений.Измерения длины штриховой мерыИзмерение длины штриховой меры проводят на государственном первичном эталоне единицыдлины интерференционным методом.В.1 Уравнение измерений,(В.1)λL = A ⋅2nв+ α L 0 ⋅ ( 20 − t ) + ∆ l Sгде L - длина штриховой меры;А - число импульсов;λ - длина волны излучения (λ = 0,632 991 398 2 мкм);nв - показатель преломления воздуха ( nв = 1,000 275 236);α - коэффициент линейного расширения ( α = 1 ,15 ⋅ 10−5K − 1 );L 0 - опорное значение длины штриховой меры (L0 = 1,000 м);t - температура штриховой меры (t = 20,125 °С);∆ l S - поправка на размер коллиматорной щели ( ∆ l S = 0 , 031 мкм).В.2 Нахождение результата измеренийВ.2.1 В результате измерений числа импульсов и внесения поправок на известные систематические погрешности в соответствии с уравнением измерения (В.1) получают ряд значений длины штриховой меры Li в метрах, (где i = 1 ,..., n; n = 10 ):1,000 001 356; 1,000 001 584; 1,000 001 383; 1,000 001 469; 1,000 001 491; 1,000 001 466; 1,000 001 575;1,000 001 397; 1,000 001 405; 1,000 001 334.В.2.2 Оценку значения длины штриховой мерыопределяют по формулеL =1 n∑ Lin i=1= 1,000L , каксреднее арифметическое значений Li,001 474 .(В.2)В.3 Анализ источников погрешности результата измеренийВ.3.1 СКО случайной составляющей погрешности S, м, определяют по формуле*)n∑S =i =1(L i− L)2= 2 ,5 ⋅ 10 − 8 ,(В.3)n ( n − 1)S = 0 , 025 мкм.В.3.2 Границы неисключенных систематических погрешностей:- определения показателя преломления воздуха θ в = 2 , 0 ⋅ 10 − 8 ;- значения длины волны θ λ = 6 , 2 ⋅ 10 − 9 мкм;- определения температуры меры θ t = 0 , 003 °С;- определения поправки на размер коллиматорной щели θ ∆ l = 0 , 002 мкм.Составляющие погрешности результата измерений, обусловленные погрешностями значенийL 0 и α, пренебрежимо малы.В.4 Вычисление характеристик погрешности результата измеренийВ.4.1 В предположении о равномерном распределении неисключенных систематических составляющихсуммарной погрешности внутри границθ в , θ λ , θt иθ ∆lСКО неисключенной систематической состав-ляющей погрешности результата измерений Sθ вычисляют по формуле*)Для более компактной записи значений характеристик погрешности (неопределенности) далее будут выражены в микрометрах (мкм).15РМГ 43-2001Sθ ∂f ∂nв=2θ в2⋅ ∂f +  ∂λ 32⋅θ λ23 ∂f +  ∂t 2⋅θ t23∂f+ (∆ l)∂2⋅θ ∆2 l ,(В.4)3где ∂ f = − A ⋅ λ ; ∂ f = A ⋅ 1 ; ∂ f = α ⋅ L 0 ; ∂ f= 1 - коэффициенты влияния.∂t2nв∂ (∆ l)∂т в2 n в2 ∂λТаким образом, получаютS θλ A ⋅2 n2в=2⋅θ в21+  A ⋅2 n в3Для упрощения расчетов можно принять:A ⋅Тогда получаютλ2nв≈ 12⋅θ λ23+(α⋅ L 0)2θ t2⋅3+(1 )2⋅θ ∆2 l.