РМГ_43_2001 (Раздаточные материалы от преподавателя), страница 2

, m) ивозможные коэффициенты корреляции r ( x i , x j ) оценок i-й и j-й входных величин (j = 1, . . . , m).4.7 Различают два типа вычисления стандартной неопределенности:вычисление по типу А – путем статистического анализа результатов многократных измерений;вычисление по типу В – с использованием других способов.4.8 Вычисление стандартной неопределенности u4.8.1 Вычисление стандартной неопределенности по типу А - uA4.8.1.1 Исходными данными для вычисления uA являются результаты многократных измерений:xi1, ..., xin (где i = 1, .

. . , m; ni – число измерений i-й входной величины).i4.8.1.2 Стандартную неопределенность единичного измерения i-й входной величины uA,i вычисляют по формулеu A, i =гдеxi =ni2 ,1x iq − x i∑ni − 1 q =1()(4)1 ni- среднее арифметическое результатов измерений i-й входной величины.x iq∑ni q =14.8.1.3 Стандартную неопределенность uA(xi) измерений i-й входной величины, при которых результат определяют как среднее арифметическое, вычисляют по формулеu A ( xi ) =ni2 .1x iq − x i∑n i ( n i − 1) q =1()(5)4.8.2 Вычисление стандартной неопределенности по типу В - uB4.8.2.1 В качестве исходных данных для вычисления uB используют:- данные предшествовавших измерений величин, входящих в уравнение измерения; сведения овиде распределения вероятностей;- данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих приборов и материалов;- неопределенности констант и справочных данных;- данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе и т.п.4.8.2.2 Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значения величины от ее оценки.

Наиболее распространенный способ формализации неполного знания означении величины заключается в постулировании равномерного закона распределения возможныхзначений этой величины в указанных (нижней и верхней) границах [(bi− , bi+) для i-й входной величины]. При этом стандартную неопределенность, вычисляемую по типу В - uB(xi), определяют по формулеu B ( xi ) =bi + − bi − ,2 3(6)3РМГ 43-2001а для симметричных границ (±bi) - по формулеb(7)u B (xi ) = i .34.8.2.3 В случае других законов распределения формулы для вычисления неопределенности потипу В будут иными.4.8.3 Для вычисления коэффициента корреляции r(xi, xj) используют согласованные пары измерений (xil, xjl) (где l = 1, .

. . , nij; nij – число согласованных пар результатов измерений)n ij∑r ( xi , x j ) =l =1n ij∑l =1( x il − x i )( x jl − x j )( x il − x i )2n ij∑l =1.(8)( x jl − x j ) 24.9 Вычисление суммарной стандартной неопределенности uc4.9.1 В случае некоррелированных оценок x1 ,..., x m суммарную стандартную неопределенность uc(y) вычисляют по формуле2 ∂f (9) u 2 ( x i ) .u c ( y ) = ∑ x∂i i=1 4.9.2 В случае коррелированных оценок x 1 ,..., x m суммарную стандартную неопределенностьвычисляют по формулеm2m m ∂f ∂f ∂f(10) u 2 ( x i ) + ∑ ∑u c ( y ) = ∑ r(xi , x j ) u(xi ) u(x j ) ,i=1  ∂x i i=1 j =1∂x i ∂ x jгде r ( x i , x j ) - коэффициент корреляции; u ( xi ) - стандартная неопределенность i-й входной велиmчины, вычисленная по типу А или по типу В.4.10 Выбор коэффициента охвата k при вычислении расширенной неопределенности4.10.1 В общем случае коэффициент охвата k выбирают в соответствии с формулойk=tp(νeff),(11)где tp(νeff) - квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степеней свободы νeff идоверительной вероятностью (уровнем доверия) p.

Значения коэффициента tp(νeff) приведены в приложении Г.4.10.2 Эффективное число степеней свободы определяют по формулеνeff=u c4u 4 ( x i )  ∂f∑ν i  ∂xii =1m4,(12)где νi - число степеней свободы при определении оценки i-й входной величины, при этом:νi = ni−1 — для вычисления неопределенностей по типу А;νi = ∞ — для вычисления неопределенностей по типу В.4.10.3 Во многих практических случаях при вычислении неопределенностей результатов измерений делают предположение о нормальности закона распределения возможных значений измеряемой величины и полагаютk=2приp ≈ 0,95иk = 3 приp ≈ 0,99.При предположении о равномерности закона распределения полагаютk = 1,65 приp ≈ 0,95и k = 1,71приp ≈ 0,99.4.11 При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации для возможности проанализировать или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей измерений, а именно:4РМГ 43-2001- алгоритм получения результата измерений;- алгоритм расчета всех поправок и их неопределенностей;- неопределенности всех используемых данных и способы их получения;- алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей (включая значение коэффициента k).5 Соответствие между формами представления результатов измерений,используемыми в НД ГСИ по метрологии, и формой, используемойв Руководстве5.1 При проведении совместных работ с зарубежными странами, в работах, проводимых подэгидой МКМВ и его Консультативных комитетов, при подготовке публикаций в зарубежной печати,при публикациях работ по определению физических констант и в других случаях, связанных с выполнением международных метрологических работ, целесообразно руководствоваться нижеприведенными схемами.5.1.1 При вычислении неопределенности измерений следует придерживаться последовательности, показанной на рисунке 1.Запись уравнения измеренийY = f ( X1,..., X m )Внесение поправок.Вычисление оценок( x1 ,..., x m )Определение результата измеренийy = f ( x1 ,..., x m )Вычисление стандартной неопределенности и числа степенейсвободы i-й входной величины: u(xi) (см.

4.8)и νi (см. 4.10.2)Вычисление коэффициентов корреляцииr ( x i , x j ) (см. 4.8.3)Вычисление суммарной стандартной неопределенностиизмерений uc(y) (см. 4.9)Вычисление расширенной неопределенностиизмерений U (см. п. 4.3 и 4.10)Рисунок 15.2 Сопоставление способов оценивания доверительных границ погрешности ∆p и вычислениярасширенной неопределенности Up измерений приведено в таблице 1.5РМГ 43-2001Таблица 1θ ( p)S< 0,80,8 ≤НД ГСИ по метрологии∆ p = t p ( f эф ) S ,∆p =S= ∂f i =1  i m2∑  ∂xm  ∂f  2 2θ i2θ( p )≤ 8 ,0S ∂fS 2 + ∑ i =1  ∂x im,22 S ( xi ) ; θ ( p ) = k ∑  ∂x  θ i , здесь k = 1,1 при p = 0,95i =1 i iи k = 1,4 при p = 0,99 и m > 4f эф = m  ∂f  ∑  ∂x i =1  i22 22 m  ∂f S ( x i ) −∑m + 1 i =1  ∂x i1 m  ∂f∑m + 1 i =1  ∂xiРуководствоU p = t p (ν eff )где νeff=4 4 S ( x i )m  ∂f  2 2∑  ∂x u ( xi ) ,ii =1uc44m u ( xi )  ∂f 4∑ νii =14 4 S ( xi ), ∂xi причем νi = ni−1 – для неопределенностей, вычисленных по типу А;νi = ∞ – для неопределенностей, вычисленных по типу В-6Для большинства практических случаев в предположении:нормального закона распределения U0,95 = 2uc ,U0,99 = 3uc;равномерного закона распределения U0,95 = 1,65uc , U0,99 = 1,71uc> 8,0∆p =θ(p)2 θ i2 33m  ∂f ∑  ∂xi =1St p ( f эф ) S + θ ( p )S+гдеθ ( p)РМГ 43-20015.3 При сопоставлении оценок характеристик погрешности и неопределенностей результатовизмерений рекомендуется использовать следующую схему (с учетом пояснений А.5 и А.6 приложения А):СКО, характеризующееслучайную погрешностьСтандартная неопределенность,вычисленная по типу АСКО, характеризующеенеисключенную систематическую погрешностьСтандартная неопределенность,вычисленная по типу BСКО, характеризующее суммарную погрешностьСуммарная стандартнаянеопределенностьДоверительные границыпогрешностиРасширенная неопределенность5.4 Если отсутствует достаточная информация для вычисления неопределенности u в соответствии с Руководством (раздел 4 настоящей рекомендации), то ее оценка û может быть получена наосновании оценок характеристик погрешности по приведенным ниже схемам.

Схемы 1 и 2соответствуют двум различным способам представления результатов измерений, принятым в НДГСИ по метрологии. Необходимо отметить, что оценки неопределенностей, полученные такимобразом, в ряде случаев не совпадают со значениями неопределенностей, полученными в соответствии с Руководством (см. приложение В).Схема 1у- результат измерений;S- СКО случайной погрешностирезультата измерений;θ (р) - доверительные границы неисключенной систематическойпогрешности результата измерений;m- число входных величин;fэф- оценка эффективного числастепеней свободы,fэф = n - 1 - при прямых измерениях,(где n - число измерений)уuˆ A = Suˆ B =θ( p )- результат измерений;- оценка стандартной неопределенности, вычисленной по типу А;- оценка стандартной неопределенности, вычисленной по типу B,при этом:k = 1,1 - при p = 0,95 иk = 1 ,4 - при p = 0,99 и m > 4 ;k 3uˆ c = uˆ 2A + uˆ B2νˆ effuˆ 2= f эф ⋅  1 + Buˆ 2AUˆ p = t p (νˆ eff ) uˆ c- оценка суммарнойстандартной неопределенности;2- оценка эффективного числа степеней свободы;- оценка расширеннойнеопределенности7РМГ 43-2001Схема 2у∆p- результат измерений;pу - результат измерений;- доверительные границы погрешности измерений;Uˆ- доверительная вероятностьp=∆uˆ c =zp∆pzpp- оценка расширенной неопределенности;-оценка суммарной стандартной неопределенно--квантиль нормального распределенияОценить неопределенности uA и uB по отдельности, зная только ∆p, невозможно.ПРИЛОЖЕНИЕ А(Справочное)Сравнительный анализ двух подходов к выражению характеристик точности измеренийА.1 Целью измерений является получение оценки истинного значения измеряемой величины.Понятие погрешности измерений как разности между результатом измерений и истинным (действительным) значением измеряемой величины используется для описания точности измерений в НДГСИ по метрологии.

Говоря об оценивании погрешности, в метрологической практике государств –участников Соглашения подразумевают оценивание ее характеристик.ПогрешностьХарактеристикапогрешностиАлгоритмоцениванияОценка характеристикипогрешностиА.2 В Руководстве для выражения точности измерений вводят понятие неопределенности измерений. Неопределенность измерений понимают как неполное знание значения измеряемой величины и для количественного выражения этой неполноты вводят распределение вероятностей возможных (обоснованно приписанных) значений измеряемой величины. Таким образом, параметр этогораспределения (также называемый - неопределенность) количественно характеризует точность результата измерений.А.3 Сходными для обоих подходов являются последовательности действий при оценивании характеристик погрешности и вычислении неопределенности измерений:анализ уравнения измерений;выявление всех источников погрешности (неопределенности) измерений и их количественное оценивание;введение поправок на систематические погрешности (эффекты), которые можно исключить.А.4 Методы вычисления неопределенности, также как и методы оценивания характеристик погрешности, заимствованы из математической статистики, однако при этом используются различные ин-8РМГ 43-2001терпретации закона распределения вероятностей случайных величин.