Глава 3 (Синтез и анализ оптических систем с асферическими поверхностями и градиентными средами)

ЛУЧЕВЫЕ ЛИФФЕРЕНБИАЛЫ ПЕРВОГО, ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯЛКОВ В ГРЗДИЕНТНОИ ОПТИЧЕСКОИ СИОТЕМЕ 3.1. Лучевой дифференциал первого порядка Рассмотрим векторную Функцию Н=Н(Н,,Т,,1), описывающую траекторию опорного луча в оптической среде, и ее производную йНlй$= Т(Н ,Т ,Ф) — вектор оптических направляющих косинусов луча. Функции Н=Н(Н ,Т , Ц и Т=Т(Н ,Т ,1) зависят от начальных условий Н,=Н(Н,,Т ,О), Т,=Т(Н ,Т,,О) и параметра луча ~. Рассмотрим новый луч, у которого в начальной точке траектории (при 1=0) векторы линейных координат и оптических направляющих косинусов луча отличаются от Н и Т на бН и бТ соответствино. Траектория луча с такими начальными условиями списывается Функций Н=Н(Н,+бН,,Т,+бТ,,~).

При сесконечно малых бН,, бТ, , ограничиваясь линейными членами в разложении Функции Н в ряд Тейлора, получаем: Н(Н ~бН,Т ~бТ,1) = Н(Н,Т,1)+ дН (Н,Т, 1) дН (Н„, Т„~) — бВ . + — — 62 <'.<<< > д Т Ос<> ~=1 0«~ О<<.) Введем векторную Функцию, описывающую лучевой диКеренциал первого порядка (ЛД1П) линейных координат: б,Н(Н ,бН ,Т ,бТ ,1)=Н(Н +бН ,Т +бТ ,1)-Н(Н ,Т ,$)= бн(н.,т., ц бн(н.,т., с) — — — — бн + — — бт *о(" б т о('' о(( > о(() (3.1) а б,н(н,,бн.,т.,бт,, ц б,т(н,бн., т.,бт.,цс11 =Т(Но+бНО(то+бтоУ~)-т(НО(то(С)= бт(н ,т.„ц о(( > о((~ бт(н.,т., ц + — — бт д Т о("~ о((.> (3.2) В однородной среде траектория луча описывается выражениями (1.4).

Подстановка зтих выражений в (3.1)-(3.2) дает: б,Н= бН + бт 1; б,Т= бт = сопз1 (3.3) Расчет траектории луча в среде с произвольным распределением показателя преломления возможен только численными методами. Поэтому и расчет ЛД1П в таких средах может вестись только численными методами. ПродиФФеренцируем равенства (3.2) по 1 и воспользуемся Формулой (1.10): 6 б т(н ,бн ,т ,бт ,1) 6 б н(н ,бн ,т ,бт ,с) = О( Н(Но+бНО(то+бто($)) — П( Н(НО(тою~)) При бесконечно малых в разложении Функции бН, бТ,, о раничиваясь линейными членами Б(Н) в ряд Тейлора, получаем: 1)(Н(Но+бНо,то+бто,~))=1)(Н(Но,то,~)) + бВ(Н(~),б,Н) где ДиФФеренцируя Функцию (3.1), получим выражение для ЛД1 П оптических направлянщих косинусов луча: 62...

6Э„, 6П, Подстановка функции (3.4) в формулу (3.2) дает." ~ 6,Т~ И =Я(В(Ц,6,Н) среде. Пусть при 1=1 опорный луч (В =В(В,,Т ,1 ); Т =Т(Н,,Т,,1 )) пересекает поверхность Ф(Н)=О. Бесконечно близкий к нему луч встречает ту же поверхность при 1=1 ~б~ Тогда вектор линейньп координат бесконечно близкого луча в точке пересечения им поверхности Ф(Н)=О имеет вид: Н(В,+6В ,Т,+6Т,,Ф +61 ). Введем функции 6В и 6Т: бН(Н,бН,Т,6Т,1,М) = = 6,В(В,бВ,Т,бТ,1) + Т(В,Т,С)61 (З.~) 6Т(В ,6Н ,Т ,6Т ,1,61)= = б,Т(В,бВ,Т,бТ,1) + П( В(В,Т,Ф) )6$ Ограничиваясь линейными членами в разложении К(В +6В,Т +6Т»$ +61 ), Н(Н +6В,Т +6Т,1 +61 ) Тейлора, получаем: Н(Н +6Н ,Т 16Т ,$ +61 )= = В(Н,Т,1 ) + 6Н(Н,бН,Т,бТ,1,61 ) Т(Н +6Н,Т +6Т,1 161 )= = Т(В,Т,1 ) + 6Т(Н,бВ,Т,бТ,1,61 ) функций в ряд » (3.

6) Дифференциальное уравнение (3.5) описывает ЛД1П в градиентной где бН = бЕ(Н ,бН ,Т,,бТ ,1 ,61 ) и бТ"= =бТ(Н,,бН,,Т ,бТ,,1 ,б1 ) являются ЛД1П линейлх координат и ЛД1П оптических направляющих косинусов, принадлежащих поверхности Ф(Н)=О. ЛД1П ~б,Е; б„Т) можно рассматривать в любой точке траектории луча как ЛД1П, принадлежащий поверхности равных значений 1, а ЛД1П (бН; бТ) можно рассматривать как принедлежащий произвольной поверхности. Для определения б1 , при котором ЛД1П принадлежит поверхности Ф(Н)=О, подставим в условие (1.32) выражение ~3.7). После преобразований получим: дФ „б Н...

(Е,бН,Т,бТ,1 ) Е=Н „ Т...(Н ,Т ,1 ) Е=Н Формулу, описывающую преломление ЛД1 П на гран~ще двух сред, можно получить, раскладывая выражение (1.21) в ряд: бТ'= бТ + бИ и + И бп (3.1О) где бТ , бТ' — ЛД1П оптических направляющих косинусов до и после преломления на поверхности Ф~Н)=О; диФФеренщал вектора нормали бИ определяется по Формуле ~1.34).

Раскладывая в ряд выражение ~1.17), получи тождество для ЛД1П оптических направляющих косинусов луча, справедливое для любой среды оптической системы : 6Н... Н=Н(~) д Н... д(п') д Н д(п") д Н, (3.13) Подставляя формулу (3.1Э) в (3.13) с учетом (3.12), получим: д(п' ) д Н, (3.14) 2 ~ [Е,.,7,'., ) Выражения (3.4)-(3.14) позволяют вести расчет ЛД1П в градиентной оптической системе. 3.2. Свойства лучевого ди$ференциала первого порядка Свойство 1. Согласно выражениям (3.1 )-(3.8), можно записать: АбН, + ВбН, = АбН (Н,бН„О, Т,бТ,~, 1,61„)+ +ВбН(Н,бН,О,Т,бТ~~,Ф,61 )= = 6Н (Н,А6Н„~+ВбН~~, Т,АбТ„О+ВбТ~~, 1,А6$„+В6$ ) АбТд + ВбТв —— А бТ(Но,бН о,То,бТ„о,~,б~~)+ В соответствии с тождеством (3.11) в точке преломления луча на границе раздела двух сред имеем: +В 6Т(Н,бН,О,Т,бТ~~,1,61 )= =6Т (Н.,АбН„.+ВбВ...Т.,АбТ,.+Вбт...

~,А6~,+ВЫ,), где А, — произвольные константы. Если ЛД1П (бН,;6Т„) и ЛД1П (6Н,;6Т,) принадлежат поверхности Ф(Н)=0, та, в соответствии с условием (1.32), ЛД1П (АбВ„+ВбН,;АбТ,+ВбТ,) принадлежит поверхности Ф(Н)=О. Преломление ЛД1П (бН,;6Т,) и ЛД1П (бК,;бТ,) описывается формулами: бТ'=6Т„+6И(В ,6В„)ц + И бц~ ; бТ'=6Т +6И(Н ,бН )ц + И бц Из выражения (1.34) следует, что АбИ(В ,бВ„)+ВбИ(Н ,бН )= бИ(В ,(АбН„+В6К )) Тогда АбТ„'+ВбТ'=АбТ„+ВбТ,+6И(В ,(АбВ„+ВбН, ))и+И(Абц +Вбц ) В краткой форме данное тождество будет иметь вид: АбГ(В,,бН„,,Т,„бТ„,)+ВбГ(В,„бВ„,Т,,бТ„ )= =6Г(Н,,АбН ,+ВбН ,,Т ,АбТ ,+ВбТ ,) (3.15) где 6Г(Н,,6Н,,Т,,бТ,)= (6В,;6Т,)'- векторная функция, описывающая преобразование ЛД1П между произвольными поверхностями Ф,(Н)=0 и Ф,(В)=0; (бК,;6Т,) -ЛД1П, принадлежащий поверхности Ф,(В)=0; (бН,;6Т,)- ЛД1П, принадлежащий поверхности Ф,(Н)=0, "Н,,Т, — векторы коорущнат и оптических направляндих косинусов апарнога луча на поверхности Ф,(Н)=0.

Поверхности Ф,(К)=О и Ф, (В)=0 произвольные и могут как совпадать, так и не совпадать с поверхностями раздела оптических сред„ могут находиться в одной или разных средах оптической системы. Таким образом, линейная комбинация двух ЛД1П также является ЛД1П. Коли ЛД1П (бВ„;бТ„ ) является нулевым (6Н„=О;бТ„=О), то Формулу (3.15) можно переписать в виде АбГ(В,„бВ„ „Т,,бТ„,,1,61„)= = бГ(В,,АбВ„,,Т,,АбТ ,,1,АМ„) (3.15) Соотношение (3.16) дает вазможность использовать при расчетах не только бесконечно малые, но и пропорционально увеличенные ЛД1П. Переход от бесконечно малых к пропорционально увеличенньм ЛД1П аналогичен переходу ат параксиальных лучей, бесконечно б~жзких к оптической аси, к нулевым лучам, углы и высоты которых пропорционально увеличены.

Замена бесконечно малых ЛД1П пропорционально увеличенными возможна ва всех случаях использования ЛД1П ~51~. Свойство 2. Рассмотрим ЛД1П (6Н,;6Т,) и ЛД1П (бН,;бТ,) одного и того же опорного луча (Н;Т). Введем Функцию 3 Ь(1~=~ (а,в„„,а,т„„- Ь,В„„Ь,Г.„, ~ ~. =1 ПродиФФеренцируем Функцию Ь(ц па 1. после преобразований получим: с1 1(~) с1 б Н . с1~6  — — * — ' — бЕ '' бЕ Й с1~и ~ и ( "> с1~г А (с> 1=1 бБ. с. (Н(1),б Н )б Н ...— 62...

(В(1),б,В ) б,В „,, = О. св1 Из последней Формулы следует, что Функция Т(1) не зависит от параметра 1: Ь = сопз1 . Из выражений (3.7)-(3.8) следует: э (Юв„...ж..с.— ИН„,,И..с. ~= =) (аР„,„,а,г.,„,- а,в.,„,б,т„„,) = ь = сапа~ . ~з.1т а=1 Преломление ЛД1П на поверхности также не изменяет значения Ь, так как на основании выражения (3.1О) можно записать: (н.",„,ат,,„.,- ав."„,я,,„, )= = ) (ьв„"...и,"...- ан,"...и"„,,)= 1 = сопя~ .

в=1 Таким образом, 1 является инвариантом в оптической системе. Свойство 3. Если ЛД1П принадлежит плоскости з=з(В ,Т,,1) перпендикулярной оси ОЕ, то, согласно выражениям (1.32),(3.7) и (3.8), имеем: бз(В,бВ,Т,бТ,1,61) = О; — б,я(В,бВ,Т,бТ,1) / 1(В,Т,1) = 61 = б 1 Ооозначим 6В(В, юбВ, 1Т ебТ ю~ьб ~) — 6 В(В ебВ, еТ ~6Т, вх(~)) ю бТ (Во ~ 6ВО ~ То ебТО ь ~ ~ б ~ ) б Т (Во ебВО е То 16Т > 1з (~ ) ) Если опорным лучом ЛД1П (б В;б Т) является меридиональный луч осесимметричной оптической системы, то ЛД1П (б В;б Т) удовлетворяет системе диФ$еренциальных уравнений (1.37)-(1.40). Свойство 4. Покажем связь между ЛД1П оптических направляющих косинусов бТ и ЛД1П направляющих косинусов бе. Варьирование соотношения Т=пе приводит к выражению дп бТ = и бе + е 7 6В . дВ.

а=1 Съ) Если среда однородная (п(В)=сопз1), то Формула (3.17) переходит в соотношение (1.30). 3.3. Лучевой диЩеренциал второго порядка Функция В(В,Т,1) описывает траекторию луча в оптической среде, а функция 6,Н (Н,,бН„,Т,,6Т„,, ~) — ЛД1 П линейных координат етого луча. Пусть бесконечно олиэкий луч при 1=0 имеет начальные условия: К~~ 0 =Н,+6Н„; Т~~ 0 =Т,+6Т„ где 6В, и 6Т„ — бесконечно малые первого порядка малости.

ЛД1П, построенный на луче Н(Н +6В„,Т,+бТ„,1), при 1=0 имеет следующие начальные Условия: бВ~~ 0=6В„ +б'В ; бТ~~ 0 =(б'р,;б'ц ;б'1 )' — бесконечно малые второго порядка малости. На основании Формул (3.1)-(3.2) можно представить траекторию луча Н(Н +6В„,Т,+бТ, „1) в виде: Н (Н +бН, Т +бТв(„( 1) =Н (Н, Т, С )+б В (Н > 6Нво, Т, бТв,>, 1), где 6,Н(В,,бН„,Т,,бТ,,Ц вЂ” ЛД1П линейных координат. Введем векторную Функцию, описывающую лучевой дифреренциал второго порядка (ЛД2П) линейных координат луча: б,'В(В,бН,,бН,,б'В,Т,бТ,,бТ„,б'Т, Ф)= о' о' — — — 6В + о(1 > о(1> дВ(В,Т,1), — — '-' —" — О'1 О(1> о((> д В(Н,Т,1) 7 бН , 6Н . + во(1> во(>> (=1 1=1 о(1> о(,>> д'Н(Н.,Т.,~) + дН., „.,дт„,, < < во(<> во()> во(<> Ао(,» д Н(Н,Т,Ф) — — — бТ .