Глава 3 (Синтез и анализ оптических систем с асферическими поверхностями и градиентными средами), страница 3

Значение б 1 , при котором ЛЛЗП принадлежит поверхности Ф(Н)=0, определяется как решение линейного уравнения, полученного при подстановке Формулы (3.37) в равенство (3.39). Преломление ЩЗП на границе двух сред описывается уравнением, полученным на основании Формулы (3.28): ~ бИ(Н ,бН„)б'и, + бИ(Н ,бН,)б'и„ ~ бИ(Н ,бН,)б'и„, + ~ б'И(Н,бН,,бН,,б Н„,)бп + б'И(Н,бН,,бН,б'Н„)бп, + ~ б И(Н,бН,,бН,б Н„)бп,~ Иб и (3.40) где д И бН ...бН, Н=Н дН... бп ,бп ,бп ;б и ;б и ;б и вычисляются при расчете ЛД1П и ЛРП по Формулам (3.14),(3.28),(З.ЗЭ) .

Раскладывая в ряд уравнение (3.30), получим тождество для ЛДЗП оптических направляющих косинусов луча, справедливое для любой среды оптической системы: г~ (>„р'<„,~сс„„,а'г..„,-а>„„с'с„.„,ню.„,а'>.„„) ~(" ) Э д'(и') б'Рс . + Ь'в я . дВ. щ <<> <=1>=1 с<> <>> +б'й.~... бВ„., + б'В.~...

бй„., в в в д'(и') бВ , бй , бН дН . дН . ВН »«> в<>> сс> > <=1>=1]<=1 < с> < >> <>с> Величина б и определяется подстановкой Формулы (3.40) в выражение (3.42). 3.6. Свойства лучевого диф$еренциала третьего порядка Свойство 1. ЛДЗП порядка не изменяется при перестановке ЛД1П и ЛДЯП, на которых он построен. В краткой Форме ато свойство может быть записано в виде: где бт„ б'т...,б'т...,б'т„„,б'т,)= (б'Н,;б'т,)' — векторная Функция, описывающая преобразование ЛДЗП между произвольными поверхностями Ф,(Н)=0 и Ф,(Н)=0; (б'К,;б'Т,)- ЛДЗП на поверхности Ф,(Н)=0; (б Н,;б Т,) — ЛДЗП на поверхности Ф,(Н)=0; Н,,Т, — векторы координат и оптических направляющих косинусов опорного луча на поверхности Ф, (Н)=0; (бН.,;бТ„,), ~в' 1в)' ( с~' с~)' ( ~дв' ~~в)' ( ~яс' ~да)' (б Н„ ;б Т„ ) — ЛД1П и ЛДЯП, на которых построен лучевой диФФеренциал третьего поряд:а (б'Н,;б'Т, ).

Поверхности Ф,(Н)=0 и Ф,(Н)=0 произвольные и могут как совпадать, так и не совпадать с поверхностями раздела оптических сред; могут находится в одной или разных средах оптической системы. 0войство 2. В оптической системе для ЛДЗП (б~Н„,„б~т„,,) и (б Н„ ;б Т, ), построенных на едином опорном луче (Н;Т), выполняется следующее равенство: где У,Š— произвольные константы. Из последней Формулы также следует, что б'Г(Н,,Сбв„,вбН„,МН„,ВСб'Н...,АСб'Н„...ЛВб'Н„,,ВСб'Н,, = ~всб'г (н,, бв...бн„, бн„,, б'н..., б'н...,б'н„„, б'н,, где А,В,С вЂ” произвольные константы. Последняя Формула показывает, что при расчете можно использовать не бесконечно малые ЛДЗП, которые построены на бесконечно малых ЛД1П и ЛДЯП, а ЛДЗП, которые построены на пропорционально увеличенных Лд1П и ЛдгП.

Свойство 3. Рассмотрим Функцию Н Н,+бн +-;б Н,+-,б Н ,Т +бТ +-,б Т,+-,б Т ,1+б$+-,б 1+-,б $ , описывающую траекторию луча, бесконечно близкого к лучу Н(н ,Т ,1). По аналогии со свойством 3 ДДЯП, запишем: н н +бн +;б н +-',б н ,т,+бт +-,'б т +-,'б т ,~+в+ б'~+-,б ~ = н(н,,т.,ц + бн(н,,бн.,т.,бт.,~,бц + + -',б'Н(н.,бн.,бв.,б'Н.,т. бт.,бт.,б*т.,~,б~,б,б'Ц+ + —,'б'н (н., бн., бн., бн., б'н., б'в.,б'в, б'н., т. бт.,бт.,бт., б'т., б'т.,б'т. б'т,, ~,ы,бс „б~, б'~,б'~,б*~,б'ц. Свойство 4.

Формулы, описывающие преобразование ЛДЗП из системы координат О,Х,У,Е, в систему координат О„Х„У„Е„, имеют вид: б Т„=Об Т,; б Н„=Об Н, (3.43) где (б'Н,;б'Т,) — ЛДЗП в системе коорднат О,Х,У,Е,; (б'Н„;б'Т„ ) — ЛДЗП в системе коорджат О„Х„У„Е„; Я матрица поворота. 3.7. Лучевые диФФеренциялы меридионяльного опорного лучя д'и' х=С дудх дп' =О; дх х=О д 6 х=С дудх х=О При подстановке выражений (3.44),(3.45) в Формулы (3.3)-(3.1 4) получаем, что любой ЛД1П, построенный ня меридиональном луче, можно представить в виде: 6Н(В,бН 6Н,Т,бТ 6Т,1,61)- 6В (В,бН,Т,бТ,1,61) «-6В (Н,бН ,Т,бТ ,1,О); 6Т(В,бН +бН,Т,бТ +бТ ~,1,61)= бТ (Н,бВ О,Т,бТ ~,1,61)+ Пусть опорный луч принадлежит меридиональному сечению осесимметричной оптической системы. Траектория такого луча является плоской кривой, в любой точке которой вектор линейных координат В и вектор оптических направляющих косинусов Т можно представить в виде ~36~: Н = (О;у;я)', Т = (О;ц;1)'= и (С;-аш а;соа а)', где с — угол между касательной к траектории и осью ОЕ.

Так кяк меридиональная плоскость является плоскостью симметрии Функций распределений показателя преломления градиентных сред п=п(Н) и уравнений поверхностей Ф(Н)=О, то +6Т (К,бК,Т,бТ,1,О), где 6К =(О;бу;6~ )' 6К =(бх;О;О)' — меридиональный ЛД1П и сагиттальный ЛД1П линейных координат; 6Т =(О;бц „И ) , бТ =(бр ;О;О) — меридиональный ЛД1П и сагиттальный ЛД1П оптических направляющих косинусов. Преломление меридионального и сагиттального ЛД1П на поверхности Ф(К)=О также можно рассматривать независимо друг от друга дИ„ бр' =бр' = бр + †" бх и ; 8 В бх В дИ „ дИ бц' = бц' = бд + †' бу + †' бз и + И бп; Ду у дИ дИ 61' =И' =61" + — *бу' + — 'бк" и+Иби 3п \и б п3 Д и\ и Таким обрезом ЛД1П, построенный на меридиональном луче, можно рассматривать как сумму меридионального ЛД1П и сагиттального ЛД1П.

Инвариант (3.17) для двух меридиональных ЛД1П (бК .;6Т „); (бК ;6Т ) имеет Вид: Т, = бо „бу ,+ И „бя , — бц ,бу „ вЂ” И ,бк , = сопа~, . (3.4а) Инвариант (3.17) для двух сагиттальных ЛД1П (бх ,;бр ,) (бх ,;бр ) имеет вид: Т = бр „бх , — бр ,бх , = сопаФ, (3.47) В неградиентной оптической системе инвариант (3.46) эквивалентен инварианту Штраубеля для меридиональной плоскости, — 81 а инвариант (3.47) эквивалентен инвярианту Штраубеля для сагиттальной плоскости (55~.

3.8. Расчет лучевых диФференциалов в среде с радиальным распределением показателя преломления п=п,(1 -и (х +у )) Траектория действительного луча в среде с функцией распределения квадрата показателя преломления (3.48) где и, — показатель преломления на оси градиентного элемента, и — параметр градиента, описывается Формулами ~75,77,92,93~ х=х соз(ип 1)+р (ип, ) 'зш(ип,1) ; у=у, соя(9~, 1)+ДО (яп, ) з1п(~7~, 1) > з=з,+1,Ф; (3.49) р=р,соз(ип ~)-х ип,з1п(ип ~) Ч=%,соз(Кп„") у„~Р, з~п(яп„~) 1=1, = сопят . бх=бх соз(ип ~)+бр (ип ) 'зьп(ип ~)+р(~)б~ ; бу=бу соз(ип,1)+бо,(ип,) 'зьп(ип,1)+оД)б1; би=би +б1 1+1 бФ бр=бр соз(ип ~)-бх ип,здп(ип ~)-(р~ )'х(~)б~; бц=бс~ созе ~)-бу Кп з1п(Кп 1)-(Кп )'у(1)б~ ; И=И = сопя~ (3.50) В соответствии с выражениями (3.1), (3.2), (3.7), (3.8), (3.49) ,Щ1П порядка в градиентной среде с 4ункцией распределения квадрата показателя преломления (3.48) описывается выражениями б*х=б'х,соз(~п,Ф)+б'р, (яп ) 'з1п(яп ~)+р(1)б'1+ +б,р„бС,+б,р,Ы, — (жп,)'х(С)б~„ы,; б'у=б'у соз(Кп 1)+б'~ (р~ ) 'з1п(р~ 1)+ф1)б'1+ +б,~,б1,+б,ц,б1„— (~п )'у(1)бС,б1, б х=б з +б 1 1+1 б И+И б1 +б1 б1„ б'р=б*р,соз (~п,~)-б*х,~п,з1п(жп,~)-(цп,)'р(~)б'~— -(жп )'б,х,б~ -(жп )'б,х,б~„-(жп )'р(~)б~,б~, б д=б'су соз(~п 1)-б у ~п з1п(ап й)-(~р ) ц(1)б й— -(яп )'б,у„б~,-(~п,)'б,у,бФ„-®п,)'дД)бФ,М,; б'~=б'~ = сопз~ .

о (3.51) Рассмотрим градиентный стержень толщиной й с Функцией распределения квадрата показателя преломления (3.48), ограниченный перпендикулярными оптической оси плоскими поверхностями. Начало системы координат ОХОТЕ, в которой ведется расчет, находится на первой поверхности. Так как первая поверхность плоская, то в начальной точке траектории луча бздо=0; бз, =0; б з,=0 . коорд~п~аты пересечения луча со второй поверхностью х ;у ;з =й . Из выражений (3.49) следует Ф =йЛ, . ЛД принадлежат второй поверхности градиентного стержня при б~„ =-б1, ~ ~~ , б~ =-И АО Б ВО Л О ) О Преломление на плоской поверхности описывается 4юрмулами." Формулы для ЛДЯП (б'Е;б'Т) на основании уравнений (3.19), (3.21), (3.25), (3.26) могут быть представлены в виде бРд= бРд, бЯ'= бед, 61„' =б1 +бпд Рв Рв' ~в ~в' в в в' б Р'=б Р ; б Ц'~ Ц ; б 1'=б 1 +б и (3.52) Если опорный луч является меридиональным, то выражения (3.50)-(3.52) становятся эквивалентными Формулам, полученным в работах (22,77).

3.9. Расчет астигматических отрезков и радиусов кривизны каустики внеосевых пучков осесимметричной оптической системы При анализе осесимметричной оптической системы совместно с главным лучом внеосевого пучка, траектория которого принадлежит меридиональной плоскости, определяются параметры бесконечно узкого пучка лучей, исходящего из той же предметной точки, что и главный луч. Этот пучок характеризуются меридиональным и сагиттальным апертурными ЛД1П (51).

В плоскости входного зрачка меридиональный апертурный ЛД1П лнейных координат луча равен бН =(О;бя;0)', сагиттальный апертурный ЛД1П линейных координат бН =(бМ;0;О) . В точке Е на последней поверхности оптической системы главный луч имеет координаты Н'=(О;у';з')' (рис.3.1). Апертурные ЛД1П линейных этой поверхности бН" =(О„бу' „бъ' ) ; В пространстве изображения оптические направляющие косинусы главного луча 1'=(О;ц';1')', где координат на бН' =(бх' ,"0,"О) д'=-и'з~п о'; 1'=и'соз а', а' — угол между главным лучом и оптической осью в пространстве изображений ~51 ). Меридиональный апертурный ЛД1 П оптических направляещих косинусов в пространстве изображения можно представить в виде: бТ' =(О;бц' ;бГ ) = (О; -и ' соз о' бс' ;-и ' з1.п о' бс' ) = (О;-~ бо' ;ц бо' )', (3.53) где Ь~' — угол между меридиональным апертурным ЛД1П и главным лучом в пространстве изображения. Сагиттальный апертурный ЛД1П оптических направлявщих косинусов в пространстве изображения имеет вид (51~: бт' = (Ьр';О;а) =(-и'бс';О;а) (3.54) где ба' — угол между сагиттальньи апертурным ЛД1П и главным лучом в пространстве изображения.