Диссертация (Разработка метода расчета сложных разветвленных пневматических систем), страница 7

Постановка задачиРассмотрим стационарное движение рабочей среды в произвольнойразветвленной ПС. Особенности течения сжимаемых и несжимаемых сред взакольцованных ПС, состоящих из множества каналов, позволяют принятьряд следующих основных допущений при построении математическоймодели: течение газа стационарное; газ является сплошной средой; газ считается сжимаемой средой и его свойства описываютсяуравнением состояния идеального или реального газа; газ является ньютоновской средой; течение газа дозвуковое.45Наиболее полно основные допущения построения математическоймодели движения вязкого газа приведено в [58].Предлагаемая общая математическая модель расчета разветвленных ПСпостроена на базе строгого соблюдения законов сохранения массы,количества движения и энергии. Исходя из условий однозначности должныбыть заданы: поле внешних массовых сил, уравнение состояния, уравнениясвязей между зависимыми переменными и краевые условия [58].Для построения математической модели запишем уравнения НавьеСтокса для ламинарного режима течения и уравнениями Рейнольдса длятурбулентного режима и дополним полученную систему дифференциальныхуравнений уравнениями сохранения энергии, уравнением состояния иуравнениями связей между зависимыми переменными (1.1)-(1.4).

Запишемсистему (1.1)-(1.4) в консервативном виде для стационарного случая,объединив оставшиеся члены уравнений в источниковый член для каждогоиз них, и дополнив ее уравнениями связи (2.6)-(2.8) [58, 61], получим:+ , + ;=−+ , + ; − =− − − =−(2.1)(2.2)+ , + ;(2.3) = ;(2.4) − = + ;(2.5) = , ;(2.6) = , , ;(2.7) = , ;(2.8)где , , −источниковыечленыуравненийдвижения; −источниковый член уравнения неразрывности; , − источниковые членыуравненийэнергии(учитывающийадиабатическоерасширениеи46дополнительный источники соответственно); – плотность движущейсясреды, кг/м3; , , – единичные векторы заданной декартовой системыкоординат (x, y, z), м; ( , ), ( , ), ( , ) – скалярные произведения векторасилы тяжести на единичные орты системы координат (x, y, z), м; – векторскорости, м/c; , , – компоненты скорости по осям координат х, y или zсоответственно, м/c; x, у, z – координаты, м; – эффективная динамическаявязкость среды, Пас; – модуль ускорения свободного падения, м/с2, –коэффициент теплопроводности, Вт/м·К.Граничные условия, задаваемые в узлах − расход (подвод/сток) массыили значения давления и значения температуры.

Участок закольцованнойсети с граничными условиями на входе (Г1) и выходе (Г2) представлен наРис. 2.1. В узлах происходит объединение потоков. В связях задаетсясопротивление трения и подвод или отвод тепла по боковой поверхности(Г3). Таким образом, в узлах, в которых не задано граничное условие,рассчитываются значения давлений, плотности и температуры, а в связяхопределяется массовый расход.Г3Г1Г2Рис. 2.1. Участок закольцованной сети: Г1 – граничное условие на входе;Г2 – граничное условие на выходеГраничные условия на входе:47 = , = или = , = .(2.9)Граничные условия на выходе: = 0, = или = 0, = ,(2.10)где inlet и outlet – обозначения сечений на входе и выходе (Г1 и Г2) из ПСсоответственно; n – нормаль к поверхности.Таким образом, уравнения (2.1)-(2.8) представляют собой замкнутуюсистемудифференциальныхуравненийвестественныхпеременных,являющаяся основой математической модели дозвукового течения итеплообмена газа в ПС с каналами постоянного и переменного сечения сучетом сил вязкого трения, тепло- и массообмена с внешней средой.2.2.

Разработка метода расчета разветвленных ПСПри построении математической модели принимается ряд следующихдопущений. Для описания задачи стационарного движения в каналахпневматических систем можно сделать следующее упрощение: еслинаправить координатную ось OX по направлению оси связи, то уравнениясохранения количества движения по осям OY и OZ рассматриватьнецелесообразно.

Поэтому из рассматриваемой системы уравнений НавьеСтокса можно исключить уравнения (2.2) и (2.3).2.2.1 Дискретизация расчетной областиСвязи представляют собой каналы (трубы) постоянной длины сзаданными геометрическими и техническими характеристиками: площадьпоперечного сечения, длина, шероховатость, коэффициенты местногосопротивления. Объединение гидравлических связей происходит в узлах, вкоторых задаются высотные отметки Hi: = − , ,(2.11)где – плотность газа в узле i, кг/м3; – радиус-вектор текущего узла i, м.48Вприменяемомметодерешениясистемынелинейныхдифференциальных уравнений, составляющих математическую модельпроцессов в ПС (2.1)-(2.12), используется конечно-разностный вариантметода контрольного объема (МКО) [113, 114, 116]. В данной постановкеуравнения движения (2.1) для компоненты вектора скорости, совпадающей снаправлением движения среды в канале (OX), рассматриваются какуравнения для определения поля скорости, ассоциируемого с серединойсвязи.

А уравнение неразрывности (2.4) рассматривается как уравнение дляопределения поля давления в каждом узле ПС.В данном случае в уравнениях (2.9) и (2.10) вместо давления pприменяется сумма давления и гидростатического напора, определяемаяследующим выражением: = − , ;(2.12) = + + ,(2.13)где – радиус-вектор текущей точки пространства, м; – средняя плотностьдля связи.Расчетнаясхематрехмернойзакольцованнойпневмосистемы,изображенной на Рис. 2.1, представлена на Рис. 2.2. Узлы и их нумерацияпредставлены на Рис.

2.2а, связи и их нумерация представлены на Рис. 2.2б.На рисунках узлы изображены окружностями, а центры связей стрелками.Дискретные аналоги уравнений (2.1), (2.4) и (2.5) получаются ихинтегрированием по каждому контрольному объему (КО), на которыйразбита расчетная область. Построение дискретных аналогов представлено вразделах 2.2.2-2.2.4. Особенностью разрабатываемого метода являетсянепосредственная подстановка дискретного аналога уравнения движения вуравнение неразрывности для получения дискретного аналога уравнениянеразрывности для определения поля давления во всей расчетной области.49а)б)Рис.

2.2. Разбиения расчетной схемы: а) нумерация узлов; б) нумерациясвязейВ данном случае можно сделать допущение, что течение газа впределах каждого канала одномерное (т.е. существует доминирующеенаправление течения, совпадающее с осью канала). В связи с этим вязкойдиффузией и теплопроводностью в доминирующем направлении можнопренебречь по сравнению с вязкой диффузией и теплопроводностью внаправлении, поперечном маршевому.2.2.2.

Построение дискретного аналога уравнения движенияДля получения дискретного аналога уравнения движения (2.1)производится интегрирование по контрольному объему, изображенному наРис. 2.3. При этом контрольный объем может быть как постоянного(Рис. 2.3а),такипеременногосечения(Рис.

2.3б).Здесьидалееиспользуются принятые в литературе индексы P, E, W для обозначения узловсеточного шаблона и e, w – для обозначения граней КО [113].50Рассмотрим построение дискретного аналога (ДА) уравнения движениядля контрольного объема, представленного на Рис. 2.4.а)б)Рис. 2.3. Контрольные объемы для канала: а) постоянного сечения;б) переменного сеченияРис.

2.4. Контрольный объем для уравнения движенияРассмотрим интегральную формулировку уравнения движения (2.1),для чего проинтегрируем уравнение (2.4) по типичному контрольномуобъему (Рис. 2.4):51( − ) =Δ−Δ + .(2.14)ΔПрименяя теорему Остроградского-Гаусса к левой части уравнения(2.14), имеем: − , =−Δ + ,(2.15)Δгде – единичный вектор внешней нормали к поверхности КО; S – площадьбоковой поверхности контрольного объема; ΔV – объем КО, м3.Рассмотрим интеграл от левой части уравнения (2.15): − , =(2.16)= , − ; ; − , =(2.17)= − − ; ,где конвективные потоки для соответствующих граней w и e КОопределяются следующими выражениями: = = ;(2.18) = .(2.19) =Конвективные потоки в узлах W и P сеточного шаблона аналогично(2.18) и (2.19) определяются следующими выражениями:52 = = ;(2.20) = = ,(2.21)где , , , – соответственно значения плотности и продольнойскоростив центреконтрольныхобъемовP иW соответственно; , , , – соответственно значения плотности и продольной скорости награнях w и e; FW, FP, Fw, Fe –расходы среды в узлах W, P и через грани w и eсоответственно.Применяяпротивопоточнуюинтерполяциюдлявыбранногонаправления движения [61, 113], получим: = ;(2.22) = .(2.23)Рассмотрим трение на боковой поверхности канала и используясоотношение Дарси-Вейсбаха [58, 61], имеем: , = − 2 = = ΔV,2∆(2.24)где – площади боковых стенок; ξ – коэффициент гидравлическогосопротивления (КГС); ΔX – длина контрольного объема.Таким образом, после вычисления интегралов (2.20, 2.21) дискретныйаналог уравнения количества движения (2.14) принимает следующий вид: + ∆ = −2∆Δ + .(2.25)ΔВ случае канала переменного сечения (Рис.

2.3б) в качестве КГС вуравнении (2.25) используется суммарный коэффициент сопротивления ξΣ,который описывается следующим выражением:53(2.26) = Р + ,где ξP – дополнительный коэффициент гидравлического сопротивления засчет изменения формы канала, ξ – КГС связи.Рассмотрим дополнительный коэффициент сопротивления P какфункцию двух переменных - относительного изменения расхода на входе Fwи выходе Fe из контрольного объема (Fw/Fe) и относительного измененияплощади входной SP и выходной SW граней контрольного объема (SP/SW) (см.Рис. 2.3).