Диссертация (Разработка метода расчета сложных разветвленных пневматических систем), страница 8

Тогда уравнение (2.25) прмет вид: − + ∆ = −2∆ Δ + .(2.27)ΔПосле преобразования, имеем: 1 − + ∆ = − 2∆ Δ + .(2.28)ΔПри этом справедливо выражение: ∆ = = .∆(2.29)Преобразуем уравнение (2.28): 2 ∆ ∆ +1−2∆ ∆ =−Δ + .(2.30)ΔПрименяя линейную интерполяцию, запишем: ≈виде: + (2.31).2Таким образом, выражение (2.29) можно представить в следующем54 4 ∆ +2∆ + ∆ +2∆ 1− =−=− + 1+ 4 1−ΔΔ + ;(2.32)Δ .(2.33)ΔОбозначим комплекс в квадратных скобках: = + = + Р .1+4 1−(2.34)Примем, что [113]: ≈ =3 − .2Тогда(2.35) ,1+4 1−(2.36)где согласно (2.31) и (2.35):3−1.1+=(2.37)Подставим (2.37) в (2.36):4 =1+ 3− −1 1+ 1+ .(2.38)Из анализа выражения (2.38), описывающего зависимость величиныдополнительного коэффициента сопротивления P следует, что если расходпо каналу является постоянным (Fw=Fe) и площадь поперечного сечения не55меняется(SP=SW),тозначениедополнительногокоэффициентасопротивления будет равно нулю.Если расход среды по каналу постоянен, а площадь поперечногосечения меняться (SP≠SW), то выражение для дополнительного коэффициентасопротивления (2.38) примет вид: = 2 1 − .

(2.39)Зависимость дополнительного коэффициента сопротивления P откомплекса SP ρP S ρW , лежащего в диапазоне от 0 до 2, представлена наРис. 2.5. Для этого диапазона изменения комплекса SP ρP S ρW значениекоэффициента находится в интервале от -2 до 2.Коэффициент сопротивления ξP21,510,50-0,5-1-1,5-200,20,40,60,811,21,41,61,82Комплекс SPρP/SWρWРис. 2.5. Зависимость дополнительного коэффициента сопротивления откомплекса SP ρP S ρWТаким образом, согласно (2.30) и (2.38), дискретный аналог уравнениядвижения (2.15) можно записать в виде:56 ∆ = −2∆ Δ + .(2.40)ΔВыразим из уравнения (2.40) значение скорости через градиентдавления и источниковый член: = −2∆ 1 ∆Δ2∆ 1 + ∆ .(2.41)ΔДля стационарной постановки задачи источниковый член в уравнениидвижении равен нулю, и выражение (2.41) принимает вид: = −2∆ 1 ∆Δ .(2.42)В конечно-разностных формулировках МКО для решения уравненийНавье-Стокса предотвращение шахматного поля давлений осуществляется засчет использования смещенных сеток [61, 113].

Контрольные объемы дляуравнений неразрывности и энергии, соответствующие расчетной схеме,представленной на Рис. 2.2а, изображены на Рис. 2.6а и ассоциированы сузлами. Контрольные объемы уравнения движения, соответствующиерасчетной схеме, представленной на Рис. 2.2, представлены на Рис. 2.6б иассоциированы с центрами связей. Центры КО для уравнений неразрывностии энергии представлены окружностями (Рис. 2.6а), а центры КО дляуравнения движения представлены стрелками (Рис. 2.6б).Проведем преобразование индексов с сохранением номеров узлов исвязей для расчетной сетки уравнения движения, представленной наРис.

2.6,б к расчетной сетке для уравнений неразрывности и энергии(Рис. 2.6, а).57а)б)Рис. 2.6. Контрольные объемы для: а) уравнения неразрывности и энергии; б)уравнения движенияТаким образом, для рассматриваемого контрольного объема дляуравнения движения будем иметь следующее преобразование схемы,представленной на Рис. 2.4, к схеме, представленной на Рис.

2.7. Здесьиндексу “u” соответствует расчетная сетка для уравнения движения,ассоциированная со связями. Без индекса представлена сетка для уравнениянеразрывности и энергии, ассоциированная с узлами.Рис. 2.7. Преобразование индексов для расчетной сетки уравнения движения58Перейдемкединомуобозначениюдлясмещенныхсеток.Всоответствии с этим проведем преобразование индексов для дискретногоаналога уравнения движения (Рис.

2.7). = , = , = .(2.43)В соответствии с допущениями в контрольных объемах для уравнениядвижения (в пределах одной связи) не происходит отбора массы исправедливо следующее выражение: = = (2.44)Тогда с учетом (2.43), выражение (2.42) приобретает следующий вид: = −2 = − − (2.45)где коэффициент псевдодиффузии , м2/Па·с, находится как [113]: =2 (2.46)где – коэффициент гидравлического сопротивления (2.26) для связи WP; – длина гидравлической связи, м.Дополнительныйкоэффициентсопротивлениябудетиметьследующий вид: = 2 1 − . (2.47)Таким образом, получен дискретный аналог уравнения движения длясоответствующей ему сетки контрольных объемов, ассоциированных сосвязями пневматической системы.2.2.3.

Построение дискретного аналога уравнения неразрывностиДля получения дискретного аналога для определения давленияпроинтегрируем уравнение неразрывности (2.4) по контрольному объему,изображенному на Рис. 2.8.59 =Δ .(2.48)ΔРис. 2.8. Контрольный объем для уравнений неразрывности и энергииСогласно формуле Остроградского-Гаусса, для левой части уравнения(2.48) имеем: =Δ , ==(2.49) , + , + , .Следовательно, дискретный аналог уравнения неразрывности (2.4) сучетом знака скалярного произведения на вектор нормальный к грани КОимеет вид: − + = ;(2.50) = ,(2.51)Δ60где Q – массовый источник в контрольном объеме, ассоциированным сузлом P, кг/с.Определим расходы и через грани w, s и e аналогично (2.42): = = − = = − = = − =−=−=− − ;(2.52) − ;(2.53) − ,(2.54)где =222, =, =.

(2.55)Подставив выражения (2.52)-(2.55) в (2.50), получим дискретныйаналог уравнения неразрывности: = + + + ,(2.56)где = ; =; =; = ; = + + .(2.57)2.2.3. Построение дискретного аналога уравнения энергииДляполучениядискретногоаналогауравненияэнергии(2.5)проинтегрируем его по контрольному объему, изображенному на Рис. 2.8,аналогично интегрированию уравнения движения.Перейдявуравнении(2.5)отэнтальпииктемпературеипроинтегрировав по объему, получим следующую форму записи уравненияэнергии:61 − ∙ =Δ( + ) ,(2.58) +(2.59)Δили: − ∙ =ΔΔ .ΔИнтегралы от правых частей уравнения (2.59): = ∙ ∆;(2.60) = ∙ ∆.(2.61)ΔΔПроинтегрировав левую часть уравнения (2.42) и применив теоремуОстроградского-Гаусса, имеем: − ∙ =Δ= − ∙ , =(2.62)=(, ) − ∙ , = 1 + 2 .Проведем интегрирование частей 1 и 2 полученного выражения:1 =(, ) =+(, ) + , +(, ) = − + ,(2.63)62где , , − значения удельной теплоемкости в точках e, w и sсоответственно, Дж/кг·К.Для составляющей 2с учетом допущения о пренебрежениитеплопроводностью в продольном направлении канала [58, 61, 113], получимвыражение:2 = − ∙ , ==− ∙ ∙ (2.64), = − ∙ .Таким образом, 2 представляет собой тепловой поток, передаваемый вКО за счет теплообмена со стенками канала и согласно уравнению Ньютона,принимает следующий вид:2 = −где  = − ,температураповерхности(2.65)стенкинаучасткеканала,ассоциированном с КО для узла P, K;  площадь стенок канала для КО,ассоциированного с узлом P, м2;  коэффициент теплоотдачи, Вт/м2К.Согласно противопоточной схемы [113] для случая движения среды,представленного на Рис.

2.4, имеем: = = , = (2.66)Подставив уравнения (2.60), (2.61), (2.63), (2.65) в (2.59), получимдискретный аналог уравнения энергии: − + = + ∆ + ∆ + ,(2.67)63где , , определяются из уравнений (2.52)-(2.54)Рассмотрим «источниковый» член S, состоящий из «постоянной» илинейной части, зависящей от параметров в узел P: = − ,(2.68)где источниковый член включен в постоянную часть источникового члена как одна из его составляющих.Согласно допущениям для сжимаемой среды: = ∆+ ∆∆+ ∆∆, ∆(2.69)где ∆ = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ – объем, ассоциированный с узлом P, м3;∆ , ∆ , ∆ – части контрольного объема, ассоциированные со связями w, sи e соответственно, м3.Для несжимаемой среды: = 0(2.70)Таким образом, дискретный аналог принимает вид: − + ∆ = + ∆(2.71)Или в стандартной записи: = + + + ,(2.72)где = ;(2.73) = ∆ + + ;(2.74) = 0;(2.75) = 0;(2.76) = ∆;(2.77);∆(2.78) =64 = (2.79)+ .∆Для случая, когда на боковой поверхности канала заданы граничныеусловия 2-го рода: = 0; = + .∆(2.80)(2.81)Замыкание системы уравнений (2.1)  (2.4) производится при помощиуравнения состояния газа.

В общем случае уравнение состояние рабочейсреды описывается уравнением состояния идеального газа с введениемкоэффициента сжимаемости:= где z− коэффициент сжимаемости.(2.82)Далее для моделирования пневматических систем было принятоуравнение состояние идеального газа Менделеева  Клапейрона, чтосоответствует z=1.Для многих изотермических пневматических систем уравнение можнорассчитывать, считая, что по ним движется среда с постоянной плотностью[3, 52].Таким образом, записана замкнутая система уравнений и ее разностнаясхема в виде дискретных аналогов уравнений движения, неразрывности иэнергии (2.14), (2.48), (2.58).2.3. Разработка алгоритма численного решенияДля численного решения системы уравнений (2.14), (2.48), (2.58)использована следующая итерационная процедура [60, 118]:651.

Вводятся предполагаемые значения скорости для каждой связи,давления и температуры в каждом узле.2. Определяются значения плотности в узлах и серединах связей поуравнению состояния (2.82).3. Рассчитываютсязначениякоэффициентовдискретногоаналогауравнения количества движения по зависимостям (2.57).4. Рассчитываются коэффициенты дискретного аналога поля давления, иопределяются поля давления и градиентов давления в узлах расчетнойсетки. Определяются массовые потоки через грани КО (серединысвязей).5.

Рассчитываются значения скорости в серединах связей, используякоэффициентыдискретногоаналогауравнениядвиженияиполученный градиент поля давления.6. Решаются дискретные аналоги уравнения энергии (2.71).7. Рассчитываются значения температур в узлах расчетной сетки.8. Возврат к п.2 до тех пор, пока не будет достигнута сходимость.Таким образом, разработан алгоритм численного решения разностнойсхемы, разработанной в части 2.2.Разработанные метод и алгоритм расчета позволяют отказаться отвыделения контуров и сводятся к решению единого поля давления сразу длявсей расчетной области.2.4. Разработка программной реализации методаНа основе разработанного варианта метода контрольного объема иописанного выше алгоритма решения, разработан программный комплекс«CVM-1D»,позволяющийрешатьзадачипотокораспределениявразветвленных ПС.