Диссертация (Разработка метода расчета сложных разветвленных пневматических систем), страница 5

Наиболее известными в отечественной литературеметодами решения системы нелинейных алгебраических уравнений длярешения задачи потокораспределения в разветвленных системах в сочетаниис методом Ньютона являются обобщенные методы узловых давлений иконтурных расходов [18, 19, 38]. В отечественной литературе наиболееполно эти методы изложены в работах В.Я.

Хасилева и А.П. Меренкова [2,62].Однаконареальныхсхемахсосложнойтопологиейисопротивлениями участков контура, отличающимися на несколько порядков,во многих случаях и эти методы не обеспечивают сходимости итерационногопроцесса. К тому же возникает множество проблем при моделированиипроцессов с участками, на которых установлены регуляторы расхода илидавления, изменяющие свои характеристики для поддержания заданныхпараметров, и, таким образом, в «увязочных» методах появляютсяследующие циклы итерации [3].Данных недостатков лишен глобальный градиентный алгоритм (GlobalGradient Algorithm  GGA), предложенный Эзио Тодини в 1987 году [69, 70].Данный метод сочетает в себе быструю сходимость с высокой точностьюрешения[78].ВалгоритмеGGAрассматриваетсяизотермическаяразветвленная система, заданная в соответствии с ее топологией.

Рабочиепараметры связей определяются с помощью закона потери давлениядвижущейся среды ( ) для каждого канала, а для узлов заданы расходы qjи давления (напоры) H0k. В процессе решения необходимо определитьрасходы во всех каналах Qi и неизвестные давления Hj в узлах впредположении о стационарности решения задачи.32Вматричнойформепоставленнаязадачапотокораспределенияформулируется следующим образом:12 + = −10 0,21 = (1.13), где 12 = 21  матрица неизвестных узловых давлений (np, nn);10 = 01  матрица фиксированных узловых давлений (np, n0); = 1 , 2 , … ,  расход в каждом канале (1, np); = 1 , 2 , … ,  узловые расходы (1, nn); = 1 , 2 , … ,  неизвестные узловые напоры (1, nn);0 = 01 , 02 , … , 00  фиксированные узловые напоры (1, n0); () = 1 , 2 , … ,  законы потери давления в связях = ( ) (1, np);nn  количество узлов с неизвестными давлениями;n0  количество узлов с фиксированными давлениями;np  количество каналов с неизвестными расходами;121, если поток в связи i входит в узел j, = 0, если связь i и узел j не пересекаются−1, если поток в связи i выходит из узла jпри этом 10 задается аналогично 12 .Система уравнений, представленная выражением (1.13), может иметьболее одного решения в зависимости от вида зависимости ( ).

Однако,если все - монотонно возрастающие функции, то можно доказать, чторешение системы уравнений (1.13) существует и единственно. Наиболееобщее доказательство существования единственного решения представлено в[6].В общем случае данная система уравнений сводится к решениюсистемы нелинейных уравнений с помощью рекурсивного алгоритмаНьютона-Рафсона:−1−1+1 = −(21 −1 1112 )−1 21 −1 + 1110 0+ − 21 ;(1.14)33−1+1 = 1 − −1 − −1 1112 +1 + 10 0 .(1.15)Таким образом, имеем итерационное решение системы линейныхуравнений с nn узлами и np связями. Данный алгоритм является корректнойформулировкой так называемого узлового метода Ньютона-Рафсона на базекоторого был построен градиентный метод.

Данный метод, предложенныйТодини и Пилати в 1987 году [69, 70] и Сольгадо в 1988 [79], являетсягибридным контурно-узловым методом. Метод широко применяется длясовместного расчета уравнений сохранения массы и потерь давления втрубопроводных гидравлических сетях [71]. Глобальный градиентныйалгоритм является наиболее простым в сравнении с аналогичнымигибриднымиметодамидлярешенияизотермическойзадачипотокораспределения в трубопроводных системах и в настоящее времяявляется общепризнанным стандартом [51, 71].В 2013 году Тодини и Россманом в работе [75] было показано, чтовывод всех «увязочных» методов может быть произведен из математическоймодели глобального градиентного алгоритма. Таким образом, даннаяформулировка является наиболее общей для решения системы уравнений,описывающей задачу потокораспределения в изотермических ПС.Сравнениеглобальногоградиентногоалгоритмасдругими«увязочными» методами показали, что его применение практически для всехизотермическихсистемявляетсяоптимальнымсточкизренияпроизводительности и сходимости результата.

При этом, лишь длянекоторых случаев сходимость глобального градиентного метода уступает«увязочным» методам [78, 80]. Однако, в работе Симпсона [74] былопоказано, что сходимость и устойчивость численного решения GGA такжемогут быть улучшены, но примененная методика была разработана ипоказана только для соотношения Дарси Вейсбаха.Кроме того, как было показано в статьях [22, 60] глобальныйградиентный алгоритм может быть малоприменим для расчета канальных34системразмерностьюболеенесколькихтысячсвязейдажедляизотермических течений. Это связано с численными неустойчивостямирешения при решении задач потокораспределения большой размерности. Втоже время задача моделирования потокораспределения разветвленной сетигорода может содержать более 100 тыс.

узлов и связей [32]. В связи с этимдля GGA и других методов разрабатываются различные подходы дляповышения численной устойчивости и уменьшения размерности задачи длярасчета больших систем [80-90]. Так, например, глобальный градиентныйалгоритм получил дальнейшее развитие в 2011 году и сведен к задачеэквивалентирования расчетных схем, получивший название расширенногоградиентного алгоритма (Enhanced Global Gradient Algorithm  EGGA) [80,84]. Данное расширение позволяет уменьшить топологию расчетной области[80-90]. Однако, как было показано в статье [84], данные допущения такжевносят дополнительные критерии, которые усложняют модель, что не всегдапозволяет его применить и может привести к вычислительным ошибкам.Вразличныхсистемахимеетсямножествосопутствующейуправляющей (регуляторы и др.) и запорной (вентили, задвижки и др.)арматуры, вносящей неопределенность в применяемые математическиемодели. Математическое описание регуляторов давления представлено вматериалах [30, 41, 79], регуляторов расхода в статьях [8, 49], различныемодели, позволяющие моделировать насосные и компрессорные агрегаты,рассмотрены в работах [13-15].Особенностью применяемых методов расчета разветвленных ПСявляется их применение для получения нестационарного решения задачипотокораспределения.

При данном подходе нестационарные процессырассчитываютсякакизменяющимисяворядстационарныхвремениположенийграничнымиусловиями.системысПолучениенестационарного расчета для протяженных газовых сетей требуется дляспецифических задач, описанных в статьях [91-96].35Таким образом, не смотря на множество имеющихся методов расчета,разработка новых математических моделей и методов расчета являетсяактуальной задачей и по сей день.1.2.4. Методы расчета сложных разветвленных неизотермических ПСВ общем случае при движения газа в каналах и трубопроводах следуетучитывать изменение его плотности и температуры. В первую очередь этосвязано с падением давления по каналу и соответственно плотности газа.Для газовых магистралей среднего и высокого давления, являющихсяверхнимиерархическимуровнемсистемгазоснабжения,становитсянеприменимо допущение об изотермическом течении рабочей среды [52].

Всвязи с этим, при моделировании данных ПС используются несколькомодифицированные и расширенные подходы, основанные на методах длямоделирования изотермических систем.Анализ использования допущения об изотермическом течении в ПС сизменением свойств рабочей среды проводится в статьях [97, 98] на примерерасчета проточного газопровода. Результаты сравнительных анализовизотермического и неизотермического течений газа показали отличие навеличину более 5% для единичного трубопровода с заданным перепадомдавления и изменением температуры менее чем на 30°C.

Однако, во многихпневматическихсистемахизменениесвойстврабочейсредыможетпроисходить в большем диапазоне [100-102].В большинстве случаев для моделирования неизотермического течениясжимаемой среды производится декомпозиция задачи на задачу расчетапотокораспределения и распределения давлений (изотермическую задачу) изадачу теплового расчета (с «замороженным» распределением потоков) [3]. Асамо искомое решение получается методом последовательных итераций.36Однако данный метод плохо применим для случаев, когда свойства средысильно зависят от температуры [3].Для расчета перераспределения температур при зафиксированныхрасходах и давлениях используется метод «прямого просчета».

Но какотмечалось в работе [3], такой алгоритм доходит до конца «тогда и толькотогда, когда в схеме отсутствуют рециклы». Для образования рецикланеобходимо наличие источника давления (компрессора, насоса и т.п.). Приэтом для незамкнутых сетей с рециклами сходимость итераций может бытьдостаточно медленной [3].Другим подходом является учет температуры рабочей среды спомощью экспериментальных корреляций в зависимости от заданнойтемпературы рабочей среды. При этом зависимость расхода от перепададавления вычисляется не с помощью выражений Дарси-Вейсбаха, ХазенаВильямса или Чези-Манинга, а с помощью уравнений, представленных вТаблице 1.2 [99].

Аналогичные рекомендации по расчету расхода в связяхтакже представлены в статье [65].Однако, данные подходы учета изменения температуры чувствительнык заданию точного начального приближения температуры рабочей среды вкаждом канале для дальнейшей ее коррекции в ходе расчета. При этом этотметод может быть крайне нестабилен при решении задач большойразмерности (более нескольких тысяч связей).Таким образом, расчет пневматических систем чаще всего проводитсяв изотермической постановке или сводится к декомпозиции задачи наизотермическую задачу потокораспределения и на задачу теплового расчета.37Таблица 1.2.Уравнения для определения расхода для газовых сетейУровень давлений,барУравнениеРежим теченияСредние ивысокие давления,−4 12 − 22 5Турбулентный = 7.57 × 10Турбулентный = 11854124.6 8>7.0Средние ивысокие давления,>7.0Средние ивысокие давления,Турбулентный = 1.69 × 10−30.75 − 7.0Низкие давления,0 − 0.75Турбулентный = 7.1 × 10−3312 − 2212 − 22 512 − 22 5В Таблице 1.2 приняты следующие обозначения: − температура пристандартных условиях, К; − давление при стандартной температуребар/кПа; − расход, м3/час; 1 − давление в узле-источнике, бар/кПа; 2 −давление в узле-потребителе; − диаметр трубопровода, мм; − константаучета гравитации для газа; − длина, м; - коэффициент сжимаемости.Как видно из вышесказанного, методы расчета разветвленных ПС непозволяют однозначно решать задачи в неизотермической постановке свысокой точностью с учетом потокораспределения между отдельнымиэлементами.Таким образом, требуется универсальный метод, позволяющийадекватно моделировать распределения давления, температур и направленияпотоков в сложных пневматических системах на этапе проектирования сучетом теплообмена с внешней средой и изменением свойств рабочей среды.381.3.Обзорпрограммногообеспечениядлямоделированияразветвленных ПСВ соответствии с различными рассмотренными выше в пункте 1.2математическимимоделями,происходилоиразвитиепрограммногообеспечения (ПО).