Диссертация (Разработка математических моделей и методов расчета процесса течения разреженных газов при взаимодействии с направленными потоками частиц), страница 11

Для расчета математической модели всреде Matlab 7.9.0 была написана программа, с помощью которой был проведенчисленный эксперимент, в результате которого было сделано расчетно-90теоретическое исследование влияние потока металлического пара на параметрытечения РГ и написана статья [86].На Рисунках 2.23 и 2.24 показано изменение давления по сечению и подлине канала в зависимости от времени. Профили падения давления по длинеканала в фиксированный момент времени и в зависимости от времени вфиксированном сечении канала представлены на Рисунках 2.25 и 2.26соответственно.Рисунок 2.23. Изменение давления разреженного газа по длине и радиусу вцилиндрическом канале с потоком металлического параЦелью данного исследования является не только разработка метода длярасчета частных практических задач, но создание математической модели,открытой для изменений и удобной для введения новых факторов (например,91возмущающих воздействий, или иных сопутствующих процессов), чтопозволит оценить значимость, степень влияния, различных физическихпроцессов, протекающих в исследуемой системе.

Создан исследовательскийинструмент, дающий возможность понять суть реальных газодинамическихпроцессов.Рисунок 2.24. Изменение давления разреженного газа по длине канала взависимости от времени в цилиндрическом канале с потоком металлическогопараММ на основе метода частиц в ячейках может быть использована длявычисления такой важной характеристики как проводимость вакуумных системв переходном и молекулярном режимах течения газа.92Рисунок 2.25. Измение давления по длине канала в фиксированный моментвремениРисунок 2.26.

Отображение во времени процесса падения давления вфиксированном сечении канала93Численный эксперимент дает большое количество информации обэволюции C(t ) каждой частицы рассматриваемой системы. В результате расчетамы имеем информацию о концентрации газа в каждой ячейке эйлеровой сетки(количестве частиц в объеме ячейки). Обладая этой информацией, можно безтруда определить давление в любой точке системы и вычислить проводимостьдля любого режима течения по формуле [8]U  Q /( p1  p2 ) ,(2.70)где Q – поток газа, задаваемый как исходные данные.ВыводыРассмотренная модель на основе статистического метода частиц вячейках (PIC-метода) является наиболее универсальной и дает наиболееполную информацию об эволюции C(t )  {c1 (t ),.., c N (t )} , но требует мощныхвычислительных ресурсов. Она может быть применена для исследованиятечений газа в широком диапазоне чисел Кнудсена. Точность описанияповедения газовой среды в большой степени зависит от точности заданияграничных условий.

Данная модель может быть использована для расчетагазовых течений в системах с движущимся потоком металлического пара(причем ограничений по величине скорости потока нет), а также для каналов ипрофилей с геометрией любой сложности. Данная модель подходит и длярасчета систем, в которых присутствуют пары масла, при дополнительномисследованииповедениясложныхорганическихмолекулмасла,взаимодействующих с молекулами газа и для расчета проводимости элементоввакуумных систем по различным газам.

Важной ее особенностью являетсяотображение развития процесса во времени.ММ на основе метода частиц в ячейках также позволяет учесть: скольжение на поверхности канала;94 сорбирующие свойства паров легкоплавких металлов; сорбцию газа на поверхности канала; градиент температуры.ММ охватывает весь диапазон чисел Кнудсена: при Kn≥0,01 погрешностьне превышает 5%, при Kn<0,01, а также при расчете систем с очень сложнойгеометрией, возрастает до 10..20%.95Глава 3. Оценка адекватности расчета параметров теченияразреженного газа по разработанным математическим моделямЗдесь под оценкой адекватности математической модели понимаетсяпроверка соответствия модели реальной системе.

Адекватность моделиреальному объекту проверена по степени соответствия результатов расчетаэкспериментальным данным.Проведено сравнение результатов численных экспериментов, полученныхпри моделировании течения разреженного газа в вакуумной системе спомощьюразработанногокомплексаматематическихмоделейсэкспериментальными данными, опубликованными в открытой литературе, и наосновании этого сделаны выводы о достоверности полученных результатов.Сравнения результатов моделирования проведено с экспериментальнымизначениями проводимости каналов, полученными Клаузингом [8].3.1. Вычисление погрешностиАбсолютная погрешность – оценкаабсолютной ошибки вычислениявеличины в численном эксперименте – определена по формуле [74]x  S x  t ,k ,(3.1)где x – определяемая величина, t ,k - квантиль распределения Стьюдента длячисластепенейсвободыk  n 1иуровнязначимости,Sx-среднеквадратичная ошибка среднего арифметического( xi  x)2Sx  .n(n1)i 1n(3.2)Для надежности 95% (  =5%) и семи измерений (n=7) квантильраспределения Стьюдента t ,k =2,4469.96Погрешность косвенных воспроизводимых измерений определена поформуле [74]:2F F    xi ,xi i 1 n(3.3)где F  F ( x1, x2 ..xn ) − вычисляемая величина, в данном случае проводимость;xi  непосредственно определяемые в численном эксперименте величины,имеющие погрешность xi .3.1.1.

Диффузионная математическая модельПроводимость U в данном случае является вычисляемой величиной. Прииспользовании диффузионной ММ она определена по формуле:UQ,p1  p2(3.4)тогда в соответствии с (3.3)22Q   Q U   p12 ,2 p1 2  p12 (3.5)где p1  p2  p12 − перепад давлений на входе и выходе из рассматриваемоготрубопровода, определяемый в численном эксперименте; Q – поток газа,постоянный по всему трубопроводу и задаваемый, как исходные данные.

Дляреальнойсистемывеличинапотокагазаопределяетсярасходомером.Погрешность таких приборов составляет 1..3% [75], тогда абсолютнаяпогрешность Q  (0,01..0,03)Q  0,02Q .После определения абсолютной погрешности вычисления проводимостив диффузионной ММ проведена интерполяция результатов, полученных вчисленном эксперименте – по точкам численного эксперимента построенграфик зависимости U ( Kn) (Рисунок 3.1).97Относительнаявеличиныпогрешностьпроводимости,определенаопределеннойвкакотношениечисленномразностиэксперименте,иэкспериментального значения проводимости, полученной Клаузингом [8], кэкспериментальному значению проводимости, полученной Клаузингом:U K  U MM 100%UK(3.6)Средние величины и погрешности, полученные в результате численныхэкспериментов для каждого значения числа Кнудсена, приведены в Таблице 3.Таблица 3.Определение погрешностей для диффузионной ММKnp12 ,ПаS p1 2p12 ,Q,Q ,Пам3Па/см3Па/сU , м3/сU ,,м3/с%Вязкостный режим течения газа Kn<0,010,0008 490,002 0,43251,05844,220,08440,00861 0,000173 0,0250,0013 260,093 2,00244,8991,70,0340,006530,00325 70,01560,4281,04690,2680,005360,00383 9,56∙10-5 3,120,00651 40,0160,3260,7980,07140,001430,00178 5,04∙10-5 1,320,00018 2,5Переходный режим течения газа 0,01<Kn<0,330,010,16050,3930,03630,0007260,013 30,01140,2380,5830,02320,000464 0,000773 2,15∙10-5 7,220,0163 27,0040,13050,3190,01580,000316 0,000585 1,36∙10-5 10,10,0217 22,0030,1030,252 0,009510,000190,0326 16,0020,07970,1950,000106 0,000331 7,76∙10-6 14,10,00530,00112,56∙10-5 5,0533,0050,000432 9,95∙10-6 9,05980,3251,50,01580,0386 3,81∙10-4 7,62∙10-6 0,000254 8,28∙10-6 16,5Диффузионная модель охватывает вязкостный и начало переходногорежимом течения газа, при Kn≤0,01 погрешность модели не превышает 4%, приKn=0,01..0,1 погрешность модели составляет 10..15%.Рисунок 3.1.

Изменение проводимости U цилиндрического трубопровода(D=0,01м, l=0,1м) в зависимости от числа Кнудсена Kn: сопоставлениерезультатов расчета диффузионной ММ (исследования Клаузинга () и экспериментального) [8]:3.1.2. Статистическая математическая модель на основе метода пробнойчастицыВычисляемой величиной является проводимость U цилиндрическоготрубопровода, которая определена по формуле:1 8RT π  D 2UP,4 M4(3.7)99тогда в соответствии с (3.3)222 1 8R π  D 2  1 8RT π  D  1 8RT π  D 2 U   TP    D P    P  ,8MT44M24M4  (3.8)гдеP−вероятностьпереходамолекулчерезвакуумнуюсистему,непосредственно определяемая в численном эксперименте; D – диаметртрубопровода; T – температура в системе.

Для реальной системы температураопределятся термопарой. Погрешность таких приборов составляет порядка 1%[76], тогда абсолютная погрешность Т  0,01T  2,93 K . Диаметр измеряетсяштангенциркулем, погрешность которого D  0,05 мм [77]. Абсолютнаяпогрешность P вычислена по формуле (3.1) для надежности 95%.После определения абсолютной погрешности вычисления проводимостив ММ проведена интерполяция результатов, полученных в численномэксперименте – по точкам численного эксперимента построен графикзависимости U ( Kn) (Рисунок 3.2).

На этот же график нанесена криваяэкспериментальных данных, полученных Клаузингом [8] и по формуле (3.6)вычислена относительная погрешность. Средние величины и погрешности,полученные в результате численных экспериментов для каждого значениячисла Кнудсена, приведены в Таблице 4.Таблица 4.Определение погрешностей для статической ММ на основе метода пробнойчастицыKnPSPPU , м3/сU , м3/с,%6,510,0265760,0001450,0003550,0002393,45∙10-61,320,6510,0265760,0001390,000340,0002483,32∙10-62,270,3260,0239370,0001570,0003840,0002223,66∙10-61,641000,06510,025360,0001490,0003650,000226273,514∙10-62,050,03260,031880,0001520,0003720,0002983,69∙10-63,650,02170,0435270,0001480,0003620,00041273,86∙10-65,060,01630,0583390,0001550,0003790,00048574,38∙10-68,620,0130,0791770,0001610,0003940,0008135,12∙10-612,70,0100,1149710,0001570,0003840,00126,37∙10-614,60,00651 0,1985690,0001640,0004010,001359,89∙10-614,1Рисунок 3.2.

Изменение проводимости U цилиндрического трубопровода(D=0,01м, l=0,1м) в зависимости от числа Кнудсена Kn: сопоставлениерезультатов расчета ММ на основе метода пробной частицы (экспериментального исследования Клаузинга [8] ()и)Статистическая модель на основе метода пробной частицы охватываетмолекулярный и начало переходного режимов течения газа. При Kn≥0,03101погрешность модели в пределах 3%, в переходном режиме Kn=0,03..0,01возрастает до 5..15%.3.1.3. Статистическая математическая модель на основе метода частиц вячейкахВычисляемой величиной является проводимость U. При использованииММ на основе метода частиц в ячейках она определена по формуле (3.4).Абсолютная погрешность для проводимости вычислена по формуле (3.5).Во время численного эксперимента непосредственно определяется перепаддавлений на входе и выходе из рассматриваемого трубопровода p1  p2  p12 ,абсолютная погрешность этой величины p12 определена по формуле (3.1) длянадежности 95%.После определения абсолютной погрешности вычисления проводимостив ММ на основе метода частиц в ячейках проведена интерполяция результатов,полученных в численном эксперименте – по точкам численного экспериментапостроен график зависимости U ( Kn) (Рисунок 3.3).