Диссертация (Разработка и исследование способа деформационного упрочнения поверхностей деталей методом деформирующего резания), страница 12

3.9) проводится перпендикулярнопередней поверхности Aγ и проходит через линию пересечения плоскостей G1и Bγ. Из этих условий следует, что уравнение границы G2 можно получить изуравнения (3.48) для границы G1, приравняв в нем координату z1 высоте H1.Следовательно, уравнение границы G2 между областью 1 и формирующимсяребром в системе координат имеет следующий вид:aG1x1  x1  aG1 y1  y1  aG1z1  H1  0(3.50)92Для нахождения времени деформирования в области 1 используетсяуравнение линии пересечения границы G2 с координатной плоскостью X1O1Z1в системе координат O1X1Y1Z1, имеющее следующий вид:x1  aG1z1H1 .aG1x1(3.51)Граница G3 области 1 и областью 2 задается плоскостью, проходящейчерез деформирующую кромку перпендикулярно передней поверхностиинструмента (Рис.

3.9). При этом плоскость G3 проходит через началосистемы координат O2X2Y2Z2 и координатную ось Y2 перпендикулярноплоскости X2O2Z2. Ее направляющим вектором является вектор aG 3 , которыйявляется векторным произведение направляющего вектора деформирующейкромки a1 и направляющего вектора k1 оси Z1 системы координат O1X1Y1Z1.Пластически недеформируемыйматериалТраектория элементарного объемаNφNдеформируемого материалаG4G3BγZ1G2G1H1BX1x1G4O1AγЗона пластической деформацииИнструменту режущей кромкиРис.

3.9. Схема положения границ областей пластических деформаций93Координаты вектора направляющего вектора aG 3 в системе координатO1X1Y1Z1 обозначаются как aG3x1, aG3y1, aG3z1, в системе координат O2X2Y2Z2обозначаются как aG3x2, aG3y2, aG3z2. Определение координат вектора aG 3 всистемах координат O1X1Y1Z1 и O2X2Y2Z2 представлено в приложении П.1.7.Так как плоскость G3 перпендикулярна координатной плоскостиX1O1Y1, то координата вектора aG2z1 равна нулю и в системе координатO1X1Y1Z1 описывается следующим уравнением:aG 3 x1  ( x1  O2O1 )  aG 3 y1  y1  0 .(3.52)где O2O1 – длина вектора O2O1 или расстояние между началом координат O1системы координат O1X1Y1Z1 и началом координат O2 системы координатO2X2Y2Z2.Линия пересечения границы G2 и координатной плоскости X1O1Z1 всистеме координат O1X1Y1Z1 определяется уравнением:x1   O2O1 .(3.53)Уравнение границы G3 области пластической деформации в системекоординат O2X2Y2Z2 имеет следующий вид:aG 3 x 2  x2  aG 3 z 2  z2  0 .(3.54)Уравнение пересечения границы G3 c координатной плоскостьюX2O2Z2, записанное для системы координат O2X2Y2Z2 имеет следующий вид:z2  aG 3 x 2 x2 .aG 3 z 2(3.55)Граница G4 между областью пластической деформации 2 исформированным после обработки методом ДР ребром совпадает скоординатной плоскостью X2O2Y2.

Отсюда уравнение границы G4 в системекоординат O2X2Y2Z2 запишется в следующем виде:z2  0 .(3.56)943.6.3. Вычисление траектории движения элементарного объемадеформируемого материала в очаге пластической деформацииОпределение накопленной деформации для расчета твердостиформируемого методом ДР макрорельефа осуществляется для элементарногообъема деформируемого материала, движущегося в очаге пластическойдеформации при обработке методом ДР (Рис. 3.8). В соответствии свыражением(3.10)накопленнаядеформацияматериала зависит от времени движенияэлементарногообъемав областях пластическойдеформации 1 и 2. Для расчета времени движения должны быть известныуравнения траектории элементарного объема деформируемого материала иуравнения границ областей пластической деформации.Уравнение траектории движения материала в области пластическойдеформации1определяетсяизрешенияследующейсистемыдифференциальных уравнений: dx1 dt  1x ( x1 ); dy1 1 y ;dt dz1 dt  1z ( z1 ).(3.57)С учетом выражений для скоростей течения материала в области 1(Таблица 10) система дифференциальных уравнений (3.57) принимает вид:1Bz dx1x1  C1; dtH1 dy1 0;dt dz1 1Bz dt  H z1.1Рассмотримпервоеуравнениесистемы(3.58)(3.57),связывающеекоординату x1 с параметром времени t.

Данное уравнение являетсядифференциальнымуравнениемпреобразуется к следующему виду:сразделяющимисяпеременнымии95dt dx1 1Bz x1  C1H1.(3.59)После интегрирования левой и правой части выражение (3.59)получаем общее решение дифференциального уравнения:tH1ln  1Bz x1  C1  C1*x ,1BzH1(3.60)*где C1x – константа интегрирования.Выражение (3.60) преобразуется к следующему виду:tH1  ln  1Bz x1  C1  1Bz C1*x  .1Bz H1H1(3.61)В выражении (3.61) выполним замену:1Bz *C1x  ln C1x ,H1(3.62)С учетом (3.62) выражение (3.61) запишется в следующем виде:tH1  ln  1Bz x1  C1  ln C1x1Bz H1.(3.63)Далее уравнение (3.63) преобразуется к следующему виду: 1Bzt  ln C1x   1Bz x1  CI  .H1 H1(3.64)Из уравнения (3.64) выражается координата x1:H1  1 H11Bz tx1 e C1  .1Bz  C1x(3.65)В выражении (3.65) выполним замену:1 C1*x* ,C1x(3.66)С учетом этого выражение (3.65) запишется в следующем виде: 1 BzH1  ** H1 tx1 C1x e C1  .1Bz (3.67)96**Определим константу C1x .

Пусть в некоторый известный моментвремени tk известна координата x1k рассматриваемого элементарного объема,движущегося в области пластической деформации 1. Тогда уравнение (3.67)запишется в следующем виде: 1 BzH1  ** H1 t kx1k C1x e C1  .1Bz (3.68)**Отсюда константа C1x принимает следующий вид: 1Bz H1Bz1 t k.C  x1k  C1 e H1**1x(3.69)Выражение (3.69) подставляется в выражение (67), которое послепреобразования принимает следующий вид: H11Bz t tk H1   1Bzx1 x1k  C1 e C1 1Bz   H1(3.70)Рассмотрим второе уравнение системы (3.58).

Из решения этогодифференциального уравнения следует, что координата y1 рассматриваемогоэлементарного объема материала, движущейся в системе координат O1X1Y1Z1,не зависит от параметра времени t и равна постоянной величине y1k:y1  y1k .Рассмотримтретьеуравнение(3.71)системы(3.58),связывающеекоординату z1 с параметром времени t. Так же, как и первое уравнениесистемы (3.58), это уравнение является дифференциальным уравнением сразделяющимися переменными и решается аналогичным образом.

Егоокончательное решение имеет следующий вид:z1  z1k e1 Bzt  t kH1,(3.72)где z1k – известная координата z1 рассматриваемой деформируемой частицыматериала в определенный момент времени tk.Выражения(3.70–3.72)сведенывсистемупараметрическихуравнений, задающих траекторию, по которой движется элементарный объем97деформируемогоматериалавобластипластическойдеформации1.Окончательно эта система представлена в Таблице 11.Преобразовав уравнения (3.70) и (3.72) можно получить уравнениетраектории в плоскости X1O1Z1 области пластической деформации 1 в явномвиде:1Bzx1k  C1H1z1 ( x1 ) z1k .1Bzx1  C1H1(3.73)Траектория движения элементарного объема материала в областипластической деформации 2 определяется аналогичным способом, что и вобласти 1.

Система дифференциальных уравнений для определениятраекторий элементарного объема деформируемого материала в области 2имеет следующий вид: dx2 dt  2 x ( x2 ), dy2 2 y ,dt dz2 dt  2 z ( z2 ).(3.74)С учетом выражений для скоростей течения материала в области 2(Таблица 10) система дифференциальных уравнений (3.74) принимаетследующий вид. dx2 2Gx x2  a p , dt ap dy2(3.75) 0,dt2Gx dz2z 2  C 2 . dtapХод решения системы дифференциальных уравнений (3.75) такой же,как и ход решения системы (3.58).98Изпервогоуравнениясистемы(3.75)определяетсяфункциякоординаты x2 деформируемого элементарного объема материала в области 2от параметра времени t: 2 Gxt  t k  1ax2  a p   x2 k  1e p 1 ,(3.76) apгде x2k –координата x2, соответствующая заданному моменту времени tk.Из второго уравнения системы (3.75) следует, что координата y2деформируемой частицы в области 2 не зависит от времени t и имеетпостоянное значение y2k:y2  y2 k .(3.77)Из решения третьего уравнения системы (3.75) определяется функциякоординаты z2 деформируемого элементарного объема материала в области 2от времени t: a2pGx t t k a p   2Gxz2 z2 k  C2 e C2  ,2Gx   a pгде z2k – известная координата z2 в определенный момент времени tk.(3.78)Уравнения (3.76–3.78) образуют систему параметрических уравнений,определяющих траекторию движения рассматриваемого элементарногообъема деформируемого материала в области пластической деформации 2.Окончательно запишем полученную систему параметрических уравнений вТаблице 11.Уравнение траектории в плоскости X2O2Z2 области 2 деформацииможет быть задано в явном виде:z2 x2   x2 k  a pa p   2GxzCC2k2 2 .2Gx   a p x2  a p(3.79)99Таблица 11.Параметрические уравнения траектории движения элементарного объемадеформируемого материала в областях пластической деформации 1 и 2 приобработке методом ДРОбласть 1Область 2Параметрический вид:Параметрический вид: 1 a2 Gxp t  t k   H11Bz t  t k H1   1Bzx1k  C1 e C1  x2  a p  x2 k  1e x1 1 ,a1Bz   H1 p y1  y1k y2  y2 k ,1 Bzt  t   z  z e H1 k a2pGx t  t k ap2Gx11kz2 z 2 k  C 2  e C 2 .2Gx   a pЯвный вид:Явный вид:1Bzx1k  C1H1z1 ( x1 ) z1k1Bzx1  C1H1z2  x2   x2 k  a pa p   2GxzCC2k22 x a2Gx   a pp 23.6.4.