Диссертация (Метод расчета упругих элементов из композиционных материалов для систем подрессоривания колесных машин), страница 5

Другое направление связано с теориеймакропроцессов и основывается на феноменологических аспектах физики явления.Макроскопический подход в реологии описывается уравнениями состояния,которые можно записать в самой общей форме [16]:f D1 ( ), D2 ( ), t , T ,...  0 ,гдеf – вектор-функция;σ – тензор напряжений;ε – тензор деформаций;t –время;Т – температура;другие переменные описывают физико-химические свойства среды и условиявнешней обработки;D1 и D2 – дифференциальные, интегральные или диффинтегральные операторы,которые в общем случае нелинейны.33Уравнения состояния обычно моделируют поведение материала и взависимости от влияния внешнего воздействия (внешние силы, температурные имагнитные поля, химические реакции, радиация и т. п.) описывают материалы с тойили иной степенью приближения.

Обычно для построения математической моделикаждого из исследуемых материалов используются экспериментальные данные[17].У многих материалов, например, полимерных материалов, бетонов,композиционных материалов и т.д. при нормальных температурах и условияхокружающей среды, а у металлических материалов при нагреве проявляются впроцессе эксплуатации реономные свойства – свойства материала, которыесущественно зависят от времени. Процесс изменения деформаций со временем принеизменном напряжении называется ползучестью, а процесс уменьшениянапряжения в теле при неизменной деформации называется релаксацией.Деформированное тело, которое проявляет те или иные реономные свойстваназывается вязкоупругим телом.В реальных конструкциях реономные свойства (ползучесть и релаксация)присутствуют одновременно и взаимосвязано.

Их можно описать аналитически,если ввести время t в связь напряжений и деформаций твердого тела. Один изподходов для описания линейной вязкоупругости материала заключается виспользовании уравнений Больцмана, которые содержат ядра ползучести ирелаксации.Подробно описание различных ядер ползучести и релаксацииматериала приведено в работах [14, 33, 34, 35, 36].Свойства вязкоупругости занимают промежуточное положение междусвойствами упругой и вязкой среды. Для приближенного описания свойстввязкоупругости используется принцип суперпозиции Больцмана [16, 19].

Принципсуперпозиции Больцмана может быть применим для всех полимеров, если ихструктура не зависит от приложенных силовых факторов и не изменяется современем. Он позволяет описывать линейное вязкоупругое поведение системойдифференциальных уравнений вида:Lσ = Dε,34где L и D – линейные дифференциальные операторы по времени. Это выражениеэквивалентно способу описания вязкоупругого поведения моделей, состоящих изупругих пружин с различными модулями упругости и вязких элементов сразличными вязкостями.

Удлинение пружины пропорционально приложеннойсиле, т.е. напряженно-деформированное состояние пружины описывается закономГука, который имеет свойства идеальной упругости, а вязкий элемент описываетсязаконом Ньютона.Таким образом, вязкоупругая среда занимает промежуточное положениемежду двумя материями, описываемыми уравнениями: E (t ) (t )   d (t ) , dtа формула (t )  k 0 Dt  (t )может рассматриваться как возможный способ интерполяции между ними.

При  1 формула принимает вид закона Ньютона, при   0 – закон Гука.Важную роль в реологии играют механические модели, составленные изупругого элемента и вязкого элемента. Можно получить различные схемывязкоупругости путем использования этих элементов в различном порядке.

Схемы,составленныеэтихэлементов,будутописыватьсяразнымивидамидифференциальных уравнений.Для учета свойств вязкоупругости были предложены различные модели,которые были разработаны Максвелом, Фойгтом и Кельвином [20, 38, 39, 40, 41].Эти модели можно использовать не только для учета свойств сплошной среды(густых растворов, упругих тел и суспензий), но и для описания и учета свойствПКМ.Одной из простейших моделей для описания свойств вязкоупругостиявляется классическая модель Максвелла, которая состоит из последовательносоединенных упругого и вязкого элементов (рис. 1.22).

Закон Гука для упругой35среды и закон Ньютона для вязкой среды были впервые объединены в одноуравнение вязкоупругой среды, которое имеет вид: (t )   Dt  (t )  E Dt  (t ) ,где  (t ) – напряжения; (t ) – деформации;E – жесткость пружины, соответствующая модулю Юнга первого рода;  E – коэффициент вязкости демпфера.Это уравнение описывает вязкопругое тело Максвелла. При постоянном вовременинапряжениидеформациярастетспостояннойскоростью,пропорционально напряжению, таким образом, материал течет подобно вязкойжидкости, такое поведение материала далеко от результатов, полученных приисследовании конструкционных материалов.Рис.

1.22. Модель МаксвеллаЕще одной классической моделью для описания вязкоупругой средыявляется модель Кельвина-Фойгта, которая основана на параллельно соединенныхэлементах пружины и демпфера (рис. 1.23). Определяющее уравнение для этоймодели вязкоупругой среды имеет вид: (t )  E  Dt  (t )   Dt  (t ) .36Рис. 1.23. Модель Кельвина-ФойгтаВ уравнении, описывающем модель Кельвина-Фойгта при постояннойдеформации напряжение остается постоянно, т.е. уравнение не отражаетрелаксацию напряжений, что является недостатком. Модель Кельвина–Фойхтаподходит для вязкоупругих тел, которые не обнаруживают вязкого течения.

Привнезапном приложении напряжения модель не получает мгновенной деформации,а описывает квазиупругую деформацию.Обе классические модели Максвелла и Кельвина-Фойгта не дают наиболееточного описания свойств вязкоупругости реальных тел. Эти модели толькокачественно отражают некоторые стороны сложных процессов деформированияматериалов во времени, поэтому для более полного описания свойств используетсяболее сложная модель Зенера (рис. 1.24), которая состоит из упругого элементапоследовательно соединенного с двумя параллельно соединенными упругимэлементом и вязким элементом.

Определяющее уравнение этой модели(трехпараметрическая модель) описывается уравнением: (t )  Dt  (t )  E  (t )  Dt  (t ) .37Рис. 1.24. Модель ЗенераЭта трехпараметрическая модель носит название стандартной моделилинейного твердого тела и в отличии от моделей тел Максвелла и Кельвина-Фойгтаотражает обе стороны явления ползучести – собственно ползучесть илипоследствие и релаксацию напряжений, а также явление обратной ползучести.Однакобольшинствоэкспериментальныхисследованийнесогласуютсяколичественно с результатами, которые получены на основе модели Зенера.Существует другая трехпараметрическая модель, которая описывает модельвязкой жидкости.

Она изображена на Рис. 1.25 и состоит из двух вязких и одногоупругого элемента.Рис. 1.25. Модель вязкой жидкостиТаким образом модель стандартного линейного тела представляет собой узелКельвина, последовательно соединенный с упругим элементом, а модельвязкоупругой среды представляет собой узел Кельвина, последовательносоединенный с вязким элементом.Для более точного описания вязкоупругой среды может быть использованачетырехпараметрическая модель, которая изображена на Рис.1.26. В38рассматриваемой модели присутствует отдельный упругий элемент, которыйотвечает за мгновенную упругую реакцию системы, отдельный вязкий элемент,который отвечает за вязкое течение, а также благодаря наличию узла Кельвинаприсутствует запаздывающая упругая реакция – все это позволяет описать всеосновные характерные черты вязкоупругой среды.Рис.

1.26. Четырехпараметрическая модельСоотношения, связывающие напряжения и деформации для рассмотренныхмоделей, описываются следующей формулой [21]:q2d 2 (t )dt 2d (t )d (t )d 2 (t ) q1 q0 (t )  t 2t t 0 (t ) ,1dtdtdt 2где qi и ti представляют собой комбинации модуля Юнга первого рода икоэффициента вязкости, эти комбинации зависят от способа соединения в моделиупругих и демпфирующих элементов.Существуют более сложные модели, которые составлены из большего числаэлементов, они могут представлять собой последовательно соединенные узлыКельвина или узлы Максвелла. Такие модели носят названия обобщенных моделейКельвина и Максвелла соответственно. При увеличении числа элементов,входящих в модель вязкоупругого тела, увеличивается точность таких моделей, новместе с этим увеличивается число элементов слагаемых, входящих в модель, чтоприводит к сложным математическим расчетам, хотя такие модели все-таки ипозволяют описать поведение реальных материалов, однако они требуютобобщения достаточно большого количества экспериментальных данных дляопределения коэффициентов, входящих в уравнения рассматриваемой модели,поэтому используется обобщенная стандартная модель, в которой вводятся39целочисленные производные более высоких порядков.Благодаря этомуограничения,частичносвойственныестандартноймоделиможноснять.Определеяющее уравнение этой модели имеет следующий вид [16]:d  (t )d 2 (t )d 3 (t )2 ...

3dtdt 2dt 3d  (t )d 2  (t )d 3 (t )  0  (t )   1 2 ...3dtdt 2dt 3 0 (t )   1Перечисленныевышеуравнениясцелочисленнымипроизводными,описывающие различные модели, обладают недостаточной адекватностью с точкизрения качества модели или имеют большое число слагаемых, поэтому длякачественного описания рассматриваемых моделей используется аппарат дробныхпроизводных.Притакомподходедробно-дифференциальноеобобщениестандартной трехпараметрической модели с целочисленными производнымиявляетсячетырехпараметрическаямодельуравнением:Зенера,котораяописывается (t )    0 Dt  (t )  E  (t )    0 Dt  (t ) ,где a Dx f (x) – дробная производная функции x(t ) .Этот подход, используемый для описания рассматриваемых моделей, былпредложен многими исследователями: Скоттом–Блэром, Бэгли и Торвиком,Горенфло и Майнарди, Фридрихом и Шисселем, Блюменом и Метнлером,Нонненмейкером и Глеклем, Клафтером и Шлесингером.

Были получены моделидля описания реологических свойств эластомеров, полиуретана и другихполимеров в широком диапазоне температур.Для рассмотренных выше моделей вязкоупругости можно получить аналогивдробно-дифференциальномобобщении.Определяющиеуравнениядлявышеперечисленных моделей с использованием аппарата дробных производныхбудут иметь вид:1. Дробно-дифференциальное обобщение модели Максвелла: (t )    0 Dt  (t )  E  0 Dt  (t ), 0 < α , β < 1.2.