Диссертация (Метод расчета упругих элементов из композиционных материалов для систем подрессоривания колесных машин), страница 9

Математическая модель упругого элементаУравнение напряженно-деформированного состояния обычной пружины изизотропного материала получается из рассмотрения поперечного сечения виткаэтой пружины, изображенного на Рис. 2.12.Рис. 2.12. Поперечное сечение витка винтовой пружины растяжениясжатия65Изгибающим моментом M ' из-за малости угла  можно пренебречь, тогдапрогиб такой пружины можно определить, используя интеграл Мора [12]:M k M k18 FD 3 ndz ,Gd 4l GJ k(2.1)где D – средний диаметр пружины;n – число рабочих витков пружины;d – диаметр прутка пружины;G – модуль сдвига;M k – момент относительно оси, перпендикулярной сечению прутка пружины;M k1 – единичный момент относительно оси, перпендикулярной сечению пруткапружины.Уравнение(2.1)описываетнапряженно-деформированноесостояниевинтовой пружины из изотропного материала. Для пружин, выполненных сприменением ПКМ, необходимо учесть анизотропные свойства материала.

Крометого, для таких пружин уравнение напряженно-деформированного состояниядолжно учитывать реологические свойства материала.В разделе 1.3 описан принцип решения задач вязкоупругости. Рассмотримего более подробно на примере композитной пружины. На Рис. 2.13 изображенэскиз пружины, на которую действует внешнее силовое возмущение в виде силыF(t) или кинематическое возмущение  (t ) .Рис. 2.13. Схема ее нагружения спиральной пружины66Ранее в первой главе диссертации было установлено, что наилучшиерезультаты при описании упругих свойств системы с реологическими свойствамиполучаются при использовании четырехпараметрической модели стандартноголинейного тела.

Пруток пружины растяжения-сжатия работает на кручение,поэтому необходимо рассмотреть четырехпараметрическую модель стандартноголинейного тела для случая кручения. По аналогии с моделью растяжения-сжатиязапишем определяющее уравнение четырехпараметрической модели для случаякручения. Для этого модуль упругости заменим на модуль сдвига, линейнуюдеформацию заменим на угловую, а напряжения растяжения-сжатия – накасательныенапряжения,тогдасистемаопределяющим уравнением:будетописываетсяследующим (t )    D   (t )  G  (t )    D   (t ) ,где  (t ) – касательные напряжения; (t ) – сдвиговая деформация;G – модуль сдвига; ,  и  – параметры рассматриваемой модели.Можнозаписатьоператорныеполиномы,которыесоответствуютрассматриваемой четырехпараметрической модели вязкоупругого тела:Q(s)    s  1 ,R( s)    s  1 .В этом случае упругий оператор, который соответствует модулю сдвига приучете свойств вязкоупругости будет иметь вид:G (s) GR ( s ).Q( s)Прогиб пружины при линейном представлении характеристик материалаопределяется выражением (2.1).

При учете свойств вязкоупругости прогибпружины будет иметь вид:Q ( s ) 8FD 3 n.GR( s ) d 467Окончательно:GR( s )  8D 3nd4Q( s)F  .Возвращаясь к оригиналам, получим дифференциальное уравнение сдробными производными, связывающее прогиб пружины (t ) с силой,действующей на пружину F (t ) : (t )    D   (t )  8D 3nGd4F (t )    D F (t )(2.2)Полученное уравнение отражает научную новизну работы и позволяетпрогнозировать упругие свойства композитной пружины с учетом реологическихпроцессов. Далее уравнение (2.2) будет использоваться для определениянеобходимой нагрузочной характеристики пружин из ПКМ, которые используютсяв КМ. Упругие параметры композитных пружин будут подобраны в соответствиис нагрузочными режимами, характерными для движения КМ по дорогамразличного профиля.Для решения уравнения (2.2) во временной области будем использоватьпрограммный продукт MATLAB Simulink, который позволяет разработатьматематическую модель композитной пружины.

Полученную модель можноиспользоватьдлярешениярядазадачприпроведенииимитационногомоделирования всей КМ с упругим элементом в виде винтовой пружины из ПКМв составе системы подрессоривания.В связи с особенностью численных методов решения, которые применяютсяв работе, используется определение дробной производной Грюнвальда-Летниковас конечным пределом, которое рассмотрено в первой главе диссертации.Рассмотренные выше дробные производные Римана-Лиувилля, Капутто и Маршоприменимы для заранее известных функций, поэтому их использование дляслучайно заданных функций и в случае расчетов и моделирования в режимереального времени ограничено или невозможно.68Для дифференциального уравнения (2.2) в первую очередь необходиморассмотреть порядок нахождения производной дробного порядка в среде MATLABSimulink.

В этом программном продукте вычисления производятся дискретно спостоянным или переменным шагом, кроме этого, внешнее силовое иликинематическое возмущение в реальных объектах зачастую носит случайныйхарактер. Определение дробной производной Грюнвальда-Летникова, лучше всегоподходит для решения такого вида задач, т.к. оно основано на рассмотренииконечных разностей. Благодаря этому нет необходимости аппроксимироватьвходное возмущающее воздействие в виде какой-либо функции, достаточно знатьпредыдущее и следующее значение входного сигнала при известном шагедискретизации, т.е.

вид самой функции может быть случайным.Производная Грюнвальда-Летникова может быть записана в следующемвиде [19, 72, 73]:a Dtf (t )  lim1t ah (1) kh0 h j 0Г (  1)f (t  jh) .j! Г (  j  1)(2.3)Для удобства дальнейшего рассмотрения дробной производной можнообозначить:W ( j )  (1) jГ (  1);j! Г (  j  1)V ( j )  f (t  jh) .Подставляя эти выражения в уравнение (2.3), можно представить выражениедля производной Грюнвальда-Летникова в следующем виде:a Dtf (t )  lim1h 0 h t ahГ (  1)f (t  jh) .j! Г (  j  1) j 0 V ( j ) (1) jW ( j)И окончательно:a Dt1h 0 hf (t )  limt ahW ( j )V ( j ) .j 069В первую очередь рассмотрим выражение для W ( j ) .

Для каждого значения j,начиная с j=0, получим выражение для W ( j ) . В Таблице 4 записаны выраженияW ( j ) для значений j от 0 до 3.Анализируя данные записанные в Таблицу 4, можно сделать вывод, что jзначение выражения W ( j ) зависит от всех предыдущих его значений. Кроме этого,отпадает необходимость нахождения гамма-функции, т.к. задача сводится кнахождению произведения:   1.W ( j )  W ( j  1)1 j  1 Второе выражение для V ( j ) представляет собой приращение функции нарассматриваемом промежутке h.Для того, чтобы получить сумму произведения соответствующих значенийдвух выражений для W ( j ) и V ( j ) необходимо представить значения W ( j ) в видестроки, а значения V ( j ) в виде столбца: 1W ( j )  1    2  1   223...  ; f (t )()fthV ( j )  f (t  2 h )  .fth(3) ...После перемножения соответствующих элементов строки и столбца,получится сумма, которую необходимо разделить на h , таким образомреализуется численное нахождение дробной производной.Полученные выражения используются в среде MATLAB для нахождениядробной производной.

Для реализации этого подхода в программном комплексеMATLAB Simulink необходимо создать S-функцию, фрагмент кода которойпредставлен на Рис. 2.14.70Таблица 4.К вычислению дробной производнойГ (  1)j! Г (  j  1)W ( j)0Г (  1)Г (  1)11Г ( j  1) Г (  j  1) Г (1) Г (  1) Г (1)W (1)  11Г ( )Г (  1)Г (  1)Г ( j  1) Г (  j  1) Г (2) Г ( ) Г (2) Г ( )    ( j  2)   1 W (2)  W (1)   j 112 (  1) Г (  1) 1Г (  1)Г (  1)    ( j  2)  1 1   W (3)  W (2)   Г ( j  1) Г (  j  1) Г (3) Г (  1)Г (3) Г (  1)2j 1223Г (  1)Г (  1)Г ( j  1) Г (  j  1) Г (4) Г (  2) (  1)(  2) Г (  2) 1  2Г (4) Г (  2)23j    ( j  2)  1    2   W (4)  W (3)  123j 1   2  2371Рис.

2.14. Фрагмент кода S-функции в среде MATLAB Simulink,используемой для нахождения дробной производнойАлгоритм нахождения дробной производной представлен в виде блоксхемы, изображенной на Рис. 2.15.Рис. 2.15. Блок-схема нахождения дробной производной72Полученный подход был реализован в MATLAB Simulink, S-функциянахождения дробной производной оформлена в виде подсистемы, котораяизображена на Рис.2.16. Входными параметрами подсистемы являютсязаданное возмущение в виде дискретного сигнала и порядок производнойдробного порядка.