Диссертация (1025303), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Дробно-дифференциальное обобщение модели Кельвина:40 (t )  E   0 Dt  (t )    0 Dt  (t ) , 0 ≤ α < β ≤ 1.3. Дробно-дифференциальное обобщение модели стандартного линейноготела: (t )    0 Dt  (t )  E  (t )    0 Dt  (t ) , 0 < α < 1.Эта эмпирическая модель, предложенная Капуто и Майнарди в 1971 г.,позволяет наиболее точно описать поведение реальных объектов.Развитие дробно-дифференциальных обобщений моделей продолжили Бэглии Торвик.

Взяв за основу дробно-дифференциальное обобщение моделистандартного линейного тела, Бэгли и Торвик рассмотрели уравнение сразличными порядками дробных производных деформации и напряжения: (t )    0 Dt  (t )  E  (t )    0 Dt  (t ) , 0 < α < 1, 0 < β < 1.Продолжил развитие модели Бэкли-Торвика Ю.Н. Работнов, которыйпредложил еще одну модель наследственной механики твердых тел, определяющееуравнение которой имеет вид: (t )  0Dt  (t )  E 0 Dt  (t ) ,где  1    1 . Модель Работнова является частным случаем, ачетырехпараметрическоймоделиБэгли–Торвика.При 0дробно-дифференциальное уравнение Работнова совпадает с конститутивным уравнениемМаксвелла.Дальнейшее развитие дробно-дифференциального направления в реологиисвязано с изучением и созданием многопараметрических моделей, определяющееуравнение которых в общем виде имеют вид:mmk 1 (t )   j j 0 Dt j  (t )  E  (t )    kk 0 Dtk  (t ) , 0 < αk < 1, 0 < βk < 1.j 1vvСуществует также подход, основанный на использовании комплексногомодуля упругости, однако, он используется только при гармоническомвозмущении колебаний, и не подходит для решения задач при случайномвозмущении.41Существует несколько разных способов обобщить понятие дробнойпроизводной, но все они совпадают с понятием обычной производной в случаенатурального порядка [19, 69, 70, 72].

Одним из способов нахождения производнойдробного порядка является функция, называемая производной Римана-Лиувилля,для которой выражение дробной производной порядка при 0    1 записываетсяследующим образом:x1Dx   x    f  d ,a Dx f ( x) Г (1   ) az 1  tгде Г ( z )   t e dt – гамма-функция.0В производной Римана-Лиувилля операция дробного интегрированияпредшествует кратного дифференцирования:af (v ) f ( x)  Dxn a I xn  v f ( x) ,где Dxn – дифференциальный оператор, соответствующего порядка;I xn  v – интегральный оператор, соответствующего порядка.Наряду с дробной производной Римана-Лиувилля часто используется другоеопределение, называемое производной Капуто. При такой конструкции дробнойпроизводнойпорядоквыполненияоперацийинтегрированияидифференцирования обратный:(v)af ( x)  I xn  v Dxn a f ( x) ,т.е.

в такой постановке операции кратного дифференцирования предшествуетоперация дробного интегрирования.Дробные производные Римана-Лиувилля и Капуто в общем случае несовпадают, т.к. они имеют только математические основы и используются какаппарат, предназначенный для наиболее точного описания протекания физическихпроцессов в рассматриваемых объектах, а также согласия данных расчета иэксперимента. Кроме этого, существуют форма записи дробной производной42Маршо, которая используется для дифференцирования достаточно хорошихфункций.Существует еще одна конструкция производных дробного порядка, котораяносит название дробной производной Грюнвальда-Летникова с конечнымпределом.

Определение получено путем рассмотрения конечных разностей, т.е.определение получено из рассмотрения приращения функции и аргумента иопределения производной натурального порядка. Рассматривая всю вещественнуюось, можно обобщить понятие разностного оператора, используя гамма-функцию,тогда выражение для дробной производной Грюнвальда-Летникова будет иметьвид:a Dtf (t )  lim1t ah (1) kh  0 h j  0Г (  1)f (t  jh) .j! Г (  j  1)Производные Римана-Лиувилля и Грюнвальда-Летникова в общем случаесовпадают [19].Окончательно смысл дробных производных можно понять, рассмотревуравнение, описывающее вязкоупругое поведение материала с производнымидробного порядка, которое предложил Блэр: ( t )  E   D   (t )При различных значениях порядка дробной производной это уравнениеможет описывать различные состояния вязкоупругой среды.

Например, если   0 ,то дробная производная D   (t )   (t ) и уравнение, которое предложил Блэробращается в закон Гука для абсолютно упругого тела: (t )  E  (t ).В случае   1 дробная производная D   (t ) d  (t )  (t ) и уравнение,dtкоторое предложил Блэр обращается в закон Ньютона для абсолютно вязкого тела: (t )  E  (t ).В случае закона Гука напряжения зависят только от текущего значениядеформации и не зависят от предыдущих состояний системы, т.е. в системе43отсутствует память.

В случае закона Ньютона, наоборот, важны предыдущиесостояния системы, т.е. для определения напряжений важно знать как системаоказалась в текущем состоянии. Дробное значение порядка дробной производнойпозволяет учесть оба состояния системы, т.е. получается система с частичнойпамятью, таким образом, дробные производные позволяют учесть зависимостьхарактеристик объекта в зависимости от истории нагружения. На Рис.1.27представлены модели, описывающие различные состояния среды при различныхзначениях порядка дробной производной: абсолютно упругой, абсолютно вязкой ивязкоупругой. 0 10   1Абсолютно упругое телоАбсолютно вязкое телоВязкоупругое тело (t )  E  (t ) (t )  E  (t ) (t )  Eddt Рис.

1.27. Состояния среды с различными порядками дробной производнойДля решения интегрально-дифференциальных уравнений содержащихпроизводные дробных порядков применяются следующие методы [22]:- аналитические (применяют в основном для ограниченного класса линейныхуравнений);- численные методы, которые аналогичны методам конечных разностей иримановых сумм;- численные методы, которые основанны на представлении функций рядамиили ортогональными полиномами;- операционныеметоды,которыепреобразованиях Лапласа, Фурье и т.д.основаннынаинтегральных44Аналитические методы применяют только в том случае, если удается найтисоответствующую функцию Грина для решаемого уравнения. Решения уравненийв этом случае включают в себя комбинацию функций Миттаг-Лефлера, которыеявляются обобщением экспоненциальной функции.Численные методы основываются на определении дробных производных впостановке Грюнфвальда-Летникова, Интегрально-дифференциальные уравнения,которые описывают соответствующие системы являются уравнениями нецелыхпорядков, обобщением формул конечных разностей и римановых сумм.ПрименениеклассическогооперационногоисчисленияЛапласакдифференциальным уравнениям дробного порядка приводит к характеристическимуравнениям иррационального типа и возможно лишь для линейных интегродифференциальных уравнений с постоянными и переменными коэффициентами.1.3.

Основной принцип решения задач вязкоупругостиПринцип решения задач вязкоупругости основывается на принципеВольтерра, который заключается в том, что решение задачи для вязкоупругого теламожет быть получено так же, как решение задачи для упругого тела, если впроцессе решения с интегральными операторами обращаться как с упругимипостоянными. В итоге решение будет представлено как произведение функции отупругих постоянных и от пространственных координат на известную функциювремени.Модель вязкоупругой среды можно представить в виде закона Гука воператорном представлении:Q ( p )[ (t )]  ER ( p ) (t ) ,где Q( p) и R( p) – некоторые операторные полиномы, соответствующиевыбранной модели вязкоупругости.Уравнение четырехпараметричской модели стандартного линейного тела сдробными производными имеет вид [19]: (t )    0 Dt  (t )  E  (t )    0 Dt  (t ) .45Операторныеполиномы,которыесоответствуютрассматриваемойчетырехпараметрической модели вязкоупругого тела:Q ( s )    s  1 ,R( s)    s  1 .В таком случае упругий оператор, который соответствует модулю упругостипри учете свойств вязкоупругости будет иметь вид:E (s) ER ( s ).Q( s)Применяя преобразования Лапласа и заменяя упругие параметры насоответствующие параметры при учете свойств вязкоупругости, получимдифференциальноеуравнениесдробнымипроизводными,связывающеенапряжения и деформации.Окончательнопринципрешениязадачвязкоупругостисводитсякследующим действиям:- cоставляется уравнение напряженно-деформированного состояния системыв постановке линейной теории упругости;- упругиепараметрырассматриваемойсистемызаменяютсянасоответствующие вязкоупругие параметры;- применяются обратные преобразования Лапласа и получается уравнениенапряженно-деформированного состояния системы в вязкоупругой постановке.1.4.

АнализструктурныхособенностейимеханическиесвойствастеклопластиковПриформированиимоделинеоднородногослоистогокомпозита,полученного методом намотки, можно предположить, что он состоит изквазиоднородных слоёв, свойства которых известны. Каждый слой можнопредставить в виде двух однонаправленных слоев композита, расположенных подопределенным углом. Такие два слоя можно считать при расчете как одинсимметрично армированный слой.Это предположение вполне соответствуетреальной структуре слоистых композитов и значительно упрощает соотношение,46связывающие напряжения и деформации.

Если каждый из симметричных слоев,изображенных на Рис. 1.28, является анизотропным в координатах х, y, то, работаясовместно, они образуют ортотропный слой [51].Рис. 1.28. Формирование ортотропного слоя из двух симметричныханизотропных слоевДля определения упругих характеристик ортотропного слоя, армированногопод углом к направлению нагружения необходимо определить упругиехарактеристики этого слоя в системе координат, оси которой совпадают снаправлением армирования, а затем связать напряжения и деформации черезнаправляющие косинусы углов системы координат, связанной с системой снаправлением нагружения, т.е. необходимо пересчитать упругие характеристикиматериала в новой системе координат.На Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации