Высокопрочные углепластики на эпоксидной матрице с регулируемым адгезионным взаимодействием, страница 14

Введены следующиеобозначения:Em , E f , Gm , G f , hm , h f-модульЮнга,модульсдвигаиполутолщины фаз, причем: h  d (1   ) /( 4 ) , h  d / 4 .mfРисунок 6.3 - Схема нагружения слоистой ячейки периодичностиСледует подчеркнуть, что предложенная в данном разделе расчетнаясхема ячейки периодичности (рисунок 6.3) является универсальной для всехтрех рассматриваемых далее моделей.6.3. Традиционная модель в рамках подхода Фойхта (Модель-1)Будем использовать гипотезу, согласно которой в рассмотренномкомпозите векторное поле перемещений имеет только одну осевую компонентуu , причем u - функция двух координат x, y .

Для задачи растяжения, в100соответствии с методом В.З. Власова, перемещения могут быть представлены ввиде: m ( y) при y  hmu ( x, y)  x ( y)  x  f ( y) при hm  y  hm  h f(6.1)При этом следует, в силу совместности работы волокна с матрицей,потребовать: m (hm )   f (hm )(6.2)В случае справедливости гипотезы отсутствия сдвигов лагранжианклассической теории упругости приобретает вид:L  A1uu[ E ( ) 2  G( ) 2 ]dxdy2xy(6.3)где: A - работа внешней нагрузки p , приложенной к торцевым сечениямячейки (см.

рисунок 6.3), E и G - кусочно-постоянные модуль Юнга и модульсдвига слоистой ячейки периодичности:EmEE fпри 0  y  hmпри hm  y  hm  h fGmGG fпри 0  y  hmпри hm  y  hm  h f,В соответствии с методом Ритца, получаем и (6.3) решение (6.4). Решениезадачи растяжения композита имеет вид:p(hm  h f )( Em hm  E f h f )pp[ Em (1   )  E f  ] Eс(6.4)Здесь введено обозначение модуля композита Eс :Eс  Em (1   )  E f (6.5)Таким образом, гипотеза отсутствия сдвигов приводит к традиционнойформуле Фойхта (формуле смеси), перемещения определяются соотношением:u ( x, y )  xpEсНормальные напряжения вычисляются в соответствии с (6.5):(6.6)101Em E (1   )  E f m ( x, y )  p Ef Em (1   )  E f приy  hmприhm  y  hm  h fИз (6.5) следует отсутствие касательных напряжений, что соответствуетпринятой гипотезе отсутствия сдвигов (6.3).Модель Фойхта допускает только две моды разрушения композита:разрушение волокна и разрушение матрицы при растяжении.ppEmEm (1   )  E f EfEm (1   )  E f Для  bm(6.7)(6.8)  bfоптимального(равнопрочногопообеиммодам)композитаразрушение волокна и матрицы должно наступать при одной и той жекритической силе p .

Исключая величину критической силы p из условийпрочности (6.7) и (6.8) можно получить, что механические свойства фазравнопрочного композита должны удовлетворять следующему единственномутребованию: bm Em bf E f  bm   bf(6.9)Таким образом, выявляются возможности и недостатки модели Фойхта. Кдостоинствам модели относятся её относительная простота, возможностьпредсказать и управлять жесткостью и прочностью композита по двум модамразрушения: разрыв матрицы и разрыв связующего. К недостаткам следуетотнести то, что модель не учитывает сдвиги в матрице и волокне, поэтому неможет дать оценки прочности композита по сдвиговым модам разрушения.1026.4.

Модель ячейки периодичности с учетом сдвига (Модель-2)Постановка и решение задачи растяжения на ячейке периодичностив рамках Модели-2.Как и в Модели-1, искомое решение строится методом Власова,распределение перемещений выбирается таким же, как и в первой модели - всоответствии с (6.1). Тогда лагранжиан (6.3) с учетом сдвига может бытьпреобразован к виду:Llhm  h f( p hm1Gl 2E   )dy224Соответствующее вариационное уравнение получено из принципа Лагранжа:L  lhm  h fhmGl 2Gl 2( p  E  )dy  [ ]l1212hm0(6.10)Уравнения равновесия для матрицы и волокна:Gm l 2 m )  012G l2( p  E f  f  f  f)  012( p  Em  m Обозначим через am2 =(6.11)12 E f12 Em2a=ипоказатели затухания краевыхfGf l2Gml 2эффектов соответственно в матрице и волокне.Решение системы (6.11):ch(am y )1[1С]1mEch(am hm ) mu ( x, y )  px  1 [1  C cha f ( y  hm  h f ) ]1fch(a f h f )Efгде: С1m и С1 f - произвольные постоянные интегрирования.Граничные условия в данной краевой задаче:(6.12)103 Gml 2 m (0)  012 m (hm )   f (hm ) 2 l (Gm m  G f  f )  012G f l 2 f (hm  h f )  0 12(6.13)Подставляя (6.12) в (6.13), можно убедиться, что первое и четвертоеграничные условия удовлетворяются тождественно, а второе и третьеопределяют постоянные интегрирования С1m и С1 f .

Общее решение контактнойзадачи (6.11),(6.13):th (a f h f )( E f  Em )h f(a f h f )ch (am y ) 1 [1 ]th (a f h f )th (am hm ) ch (am hm ) Em[E f hf Em hm](a f h f )(am hm )u ( x, y )  px th (am hm )( E f  Em )hm1cha f ( y  hm  h f )(am hm )] [1 th(ah)th(ah)Ech(ah)ffmmff f[E f hf Em hm](a f h f )(am hm )(6.14)Построенное решение (6.14) дает возможность определить напряженнодеформированное состояние как в волокне, так и в матрице.

Присоответствующем выборе критерия прочности – оценить локальную прочностькак волокна, так и матрицы. При этом в отличие от феноменологическихтеорий прочности композитов для оценки локальной прочности волокна иматрицы можно выбирать разные критерии их прочности.Определение теоретической жесткости композита в Модели-2В рамках метода энергетического осреднения сравним потенциальнуюэнергию U ячейки периодичности проектируемого композита с потенциальнойэнергией однородного материала с соответствующим модулем Ee :p 2l (hm  h f )U2Eс(6.15)104Длявычисленияпотенциальнойэнергииячейкипериодичностивоспользуемся теоремой Клапейрона, в соответствии с которой потенциальнаяэнергия равна половине работы внешних сил:hm  h f1U20hmplpldy (  m dy 2 0hm  h f  dy)f(6.16)hmПриравняв потенциальные энергии (6.15) и (6.16), получим выражениемодуля через параметры фаз композита:th(a f h f )(a f h f )hmth(am hm )[1 ]th(a f h f )th(am hm ) (am hm )Em[ E f hf Em hm](a f h f )(am hm )( Em  E f ) h fth(am hm )( E f  Em )hmhth(a f h f ) (hm  h f )(am hm ) f [1 ]th(a f h f )th(am hm ) (a f h f )EfEс[ E f hf Em hm](a f h f )(am hm )(6.17)Соотношение (6.17) связывает модуль Юнга композита Eс с параметрамифаз и является обобщением соотношения (6.4), которое учитывает сдвиги вволокне и матрице.Межфазный слой, его структура, механические и геометрическиесвойстваПреобразуем выражение (6.17) к виду:(hm + h f )E=(hlm + hlf )(hm - hlm ) (h f - hlf )++EmEf( Em + E f ) / 2(6.18)Введем обозначения абсолютных долей граничных слоев соответственноматрицы hlm и волокна hlf , а также модуля Юнга межфазного слоя El :105th (a f h f )th (am hm )E f hf(am hm )(a f h f )111hlm lim hlm th (a f h f )th (am hm ) l  EmEm ( 1  1 )[E f hf Em hm]Em hm E f h f(a f h f )(am hm )Em hmth (a f h f )th (am hm )E f hf(am hm )(a f h f )111hlf lim hlf th (a f h f )th (am hm ) l  EfEf ( 1  1 )[E f hf Em hm]Em hm E f h f(a f h f )(am hm )Em hm(6.19)El  ( Em  E f ) / 2Таким образом, получены инженерные формулы для вычисления толщинграничных слоев и модуля Юнга межфазного слоя (6.19).

Они же определяютструктуру межфазного слоя: часть его лежит в поверхностном слое волокна, ачасть – в поверхностном слое матрицы. Из (6.19) следует, что в рамкахклассическойтеорииупругостимежфазныйслой«выталкивается»внизкомодульную фазу. Действительно, в соответствии с (6.19) объемные долиграничных слоев обратно пропорциональны модулям Юнга фаз.

Это говорит отом, что в жестких углеродных волокнах граничный слой практическиотсутствует. Специфическим свойством граничного слоя в классической теорииупругости является то, что граничный слой никогда не может занять весь объемлюбой из фаз. Действительно, если предположить обратное, из формулы (6.18)следует, что вклад такой фазы в податливость композита окажется нулевым илиотрицательным.Изрешения(6.14),путемдифференцированияииспользованияуравнений закона Гука, можно получить выражение как для касательныхнапряжений: sh(am y ) sh(a h )m m ( y )   (hm ) sha f ( y  hm  h f ) ]sh(a f h f )th (am hm ) th (a f h f )( E f  Em )hmhf(am hm )(a f h f )p (hm )  -12 2th (a f h f )th (am hm )l[E f hf Em hm](a f h f )(am hm )(6.20)106так и для растягивающих напряжений:th (a f h f )( E f  Em )h f(a f h f )ch (am y )[1 ]th (a f h f )th (am hm ) ch (am hm )[E f hf Em hm](a f h f )(am hm ) ( y)  pth (am hm )( E f  Em )hmcha f ( y  hm  h f )(am hm )][1 th (a f h f )th (am hm )ch (a f h f )[E f hf Em hm](ah)(ah)ffm m(6.21)Прочность композита в Модели-2В качестве примера рассмотрим следующий набор мод разрушения икритериев прочности:- разрушение волокна при растяжении,- разрушение волокна при сдвиге,- разрушение матрицы при растяжении,- разрушение матрицы при сдвиге.Таким образом, задача прочности является решением системы четырехнеравенств: E f (hm  h f ) p ( E h  E h )  ( b ) fffm m Em (hm  h f ) ( b ) mp ( Em hm  E f h f ) p 12( E f  Em )hm h f  ( )b f ( Em hm  E f h f )l 12( E f  Em )hm h f p ( E h  E h )l  ( b ) mm mff(6.22)где: ( b ) f , ( b ) f и ( b ) m , ( b ) m - пределы прочности на растяжение и сдвигволокнаиматрицысоответственно.Еслипренебречькасательными напряжениями, то приходим к Модели-1:действующими107 E f (hm  h f ) ( b ) fp(EhEh)ffm m Em (hm  h f ) ( b ) mp(EhEh)m mff0  ( )b f0  ( b ) m(6.23)Следовательно, Модель-2 является обобщением Модели-1 в рамкахклассического подхода теории композитов, так как учитывает касательныенапряжения.6.5.

Модель ячейки периодичности с учетом адгезии (Модель 3)Постановка и решение задачи растяжения ячейки периодичности вМодели-3Так же как и в предыдущих моделях, будем использовать гипотезу,согласно которой в рассмотренном композите векторное поле перемещенийимеет только одну осевую компоненту u , причем u - функция двух координатx, y .Лагранжиан L теории идеальной адгезии будет иметь вид:L  Aгде: A-1u uu u1u u1u u(EG)dxdy   Amdx   Afdx2x xy y2Cx x2Cx x(6.24)работа внешних сил, E и G - кусочно-постоянные модуль Юнга имодуль сдвига слоистой ячейки периодичности:EmEE fAmиAfпри 0  y  hmпри hm  y  hm  h fGmGG fпри 0  y  hmпри hm  y  hm  h f,- адгезионные модули соответственно матрицы и волокна наповерхности контакта С .108Искомое решение строится методом В.З. Власова.

Распределениеперемещений выбирается таким же, как и в предыдущих моделях (6.1). Тогдапосле внутреннего интегрирования по координате x лагранжиан (6.24)приобретает вид:hm  h fLlhm1Gl 2( p  E   )dy  ( Am  Af )l224hmВ соответствии с принципом Лагранжа, вариационное уравнениеприобретает вид:hm  h fL  lhmGl 2Gl 2( p  E  )dy  [( Am  Af )  ]l1212hm0(6.25)Требование равенства нулю первого слагаемого в (6.25) дает уравненияравновесия для матрицы и волокна:Gml 2(pE m )  0m m122( p  E   G f l   )  0f ff12Обозначим через am2 =(6.26)12 E f12 Em2a=ипоказатели затухания краевыхfGf l2Gml 2эффектов соответственно в матрице и волокне. С учетом симметрии задачиотносительно координаты y общее решение уравнений равновесия должносодержать только четные по координате y фундаментальные решения.

С учетомэтого замечания их общее решение имеет вид:ch(am y )1[1С]1mEch(ah)m m mu ( x, y )  px  1 [1  C cha f ( y  hm  h f ) ]1fch(a f h f )Efгде: С1m и С1 f - произвольные постоянные интегрирования.Необходимые граничные условия краевой задачи:(6.27)109 Gm l 2 m (0)  012 m (hm )   f (hm )   2 l (Gm m  G f  f )  ( Am  Af )12 2G f l f (hm  h f )  0 12(6.28)Подставляя (6.27) в (6.28) убеждаемся, что первое и четвертое граничныеусловия удовлетворяются тождественно, а второе и третье определяютпостоянные интегрирования С1m и С1 f .:С1m  EmС1 f  E fpp1(6.29)1где:th (a f h f )th (am hm ) hf](am hm )(a f h f )   (hm )  pth (a f h f )th (am hm )[ Em hm E f hf ( Am  Af )](am hm )(a f h f )[hm1 p[ Em (1   )  E f  ( Am  Af )(hm  h f )]Общее решение контактной задачи:pch(am y ) ch(am y ) ch(a h )  E (1  ch(a h ) )m mmm mu ( x, y )  x  cha f ( y  hm  h f )  p (1  cha f ( y  hm  h f ) )ch(a f h f )Efch(a f h f )(6.30)Не трудно убедиться в том, что полученное решение (6.30) при( Am  Af )  0 совпадает с решением (6.14).Обратим внимание на то, что в соответствии с (6.30) адгезионныесвойствапарыматрица-волокнополностьюопределяютсяразностью110( Am  Af )  Amf и в решении фигурирует только эта разность.