Методические указания элементы векторного анализа, страница 4

Однократное применение оператора Гамильтона27Далее по формуле (19), воспользовавшись (6) и (20), получимf0fdadiv(f (r)a(r)) = (r, a) +r,.rrdrЗадача 12. Вычислить:а) div[a, b];б) div[a(r), b], r = |r|, r — радиус-вектор точки (x, y, z);в) rot(ϕa), ϕ — скалярная функция.Р е ш е н и е. а) Имеем↓↓div[a, b] = (∇, [a, b]) = (∇, [a, b]) + (∇, [a, b]).Совершив круговую перестановку сомножителей смешан↓ного произведения, преобразуемслагаемое (∇, [a, b]) к виду↓↓(b, [∇, a]).

Слагаемое (∇, [a, b]) преобразуется аналогично,если предварительно в нем поменятьместами a с b, в ре↓зультате чего получим −(a, [∇, b]).Опустив знак ↓ и воспользовавшись формулой (18), будем иметьdiv[a, b] = (b, rot a) − (a, rot b).(21)б) Вычислим rot a(r). Воспользуемся формулой (14).Учитывая, что компоненты P , Q, R вектора a(r) зависятот r, получаемhhyzixzirot a(r) = R0 (r) − Q0 (r) i − R0 (r) − P 0 (r) j+rr r rijkh 1xyi1 da00+ Q (r) − P (r) k = xyz =r,.rrr 0rdrP (r) Q0 (r) R0 (r) Тогда по формуле (21) имеемbdadiv[a(r), b] =, r,− (a(r), rot b) .rdr↓↓в) Имеем rot(ϕa) = [∇, ϕa] = [∇, ϕa]+[∇, ϕa] = [∇ϕ, a]++ ϕ[∇, a] = [grad ϕ, a] + ϕ rot a (см. задачу 10).28Л.И.

Коваленко. Элементы векторного анализаГрадиент одного вектора по другомуПусть a = (ax , ay , az ) — векторное поле с дифференцируемыми компонентами.Аналогично производной скалярного поля по направлению l = (cos α, cos β, cos γ), |l| = 1 (см. (1)) определяетсяпроизводная векторного поля a по направлению l, которая∂aобозначается ∂l .Справедлива формула, аналогичная (2):∂a∂a∂a∂a=cos α +cos β +cos γ,∂l∂x∂y∂zкоторую, полагая∂∂∂l∇ = cos α+ cos β+ cos γ,∂x∂y∂zможно записать так:∂a= (l∇)a.∂lПусть b = (bx , by , bz ) — произвольный вектор.Определение 12. Под вектором (b∇)a будем пониматьвектор∂a∂a∂a(b∇)a = bx+ by+ bz,(22)∂x∂y∂zкоторый называется градиентом вектора a по вектору b.Если вектор b имеет то же направление, что единичныйвектор l = (cos α, cos β, cos γ), так что b = |b|l, то имеемbx = |b| cos α,by = |b| cos β,bz = |b| cos γ.Поэтому∂a∂a∂a(b∇)a = |b| cos α+ cos β+ cos γ=∂x∂y∂z∂a= |b|(l∇)a = |b|.∂lНа основании формулы (22) заключаем, что компонентыградиента вектора a по вектору b вычисляются по форму-§ 6.

Однократное применение оператора Гамильтона29лам:∂ax∂ax∂ax+ by+ bz= (b, ∇ax ), (22а)∂x∂y∂z∂ay∂ay∂ay{(b∇)a}y = bx+ by+ bz= (b, ∇ay ), (22б)∂x∂y∂z∂az∂az∂az{(b∇)a}z = bx+ by+ bz= (b, ∇az ). (22в)∂x∂y∂zИмеем, в частности, для радиуса-вектора r точки (x, y, z){(b∇)a}x = bx(b∇)r = b.(23)Задача 13. Вычислить: а) rot[a, b]; б) div[r, [c, r]];в) rot[r, [c, r]], где c — постоянный вектор, r — радиусвектор точки (x, y, z).Р е ш е н и е. а) Имеем↓↓rot[a, b] = [∇, [a, b]] = [∇, [a, b]] + [∇, [a, b]].(24)Применив правило вычисления двойного векторного произведения[A, [B, C]] = B (A, C) − C (A, B) ,(25)получим↓↓↓[∇, [a, b]] = (b∇)a−b(∇, a) = (b∇)a−b(∇, a) = (b∇)a−b div a,↓↓↓[∇, [a, b]] = a(∇, b) − (a∇)b = a div b − (a∇)b.Поэтому в силу формулы (24)rot[a, b] = (b∇)a − b div a + a div b − (a∇)b,(26)rot[a, b] = (b∇)a − (a∇)b + a div b − b div a.(27)илиб) Обозначим [c, r] = R.

Имеем по формуле (21):div[r, R] = (R, rot r) − (r, rot R) = −(r, rot R) == −(r, rot[c, r]),так как(28)30Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа ijk ∂∂ = 0rot r = ∂(29)∂y ∂z ∂xxyz(то же следует по утверждению 5 из потенциальности полявида a = f (r)r, f ≡ 1 (см.

задачу 7)).По формуле (26) получаемrot[c, r] = (r∇)c − r div c + c div r − (c∇)r = 3c − c = 2c,так как (r∇)c = 0, div c = 0, div r = 3, (c∇)r = c (см. (23)).В силу (28)div[r, [c, r]] = −2(r, c).О т в е т. −2(r, c).в) Имеем по формуле (27):rot[r, R] = (R∇)r − (r∇)R + r div R − R div r,(30)где R = [c, r], c = (c1 , c2 , c3 ), ci — постоянные по условию,i = 1, 2, 3.Вычислим слагаемые, стоящие в правой части формулы (30):(R∇)r = R(см. (23)); i j kR = [c, r] = c1 c2 c3 = (c2 z−c3 y)i−(c1 z−c3 x)j+(c1 y−c2 x)k;x y z∂R∂R∂R(r∇)R = x+y+z=R∂x∂y∂z(см. (22а), (22б), (22в)); div r = 3; div R = 0.

Поэтомуиз (30) следует, чтоrot[r, [c, r]] = R − R − 3R = −3[c, r] = 3[r, c].О т в е т.3[r, c].§ 7. Повторное применение оператора Гамильтона31§ 7. Повторное применение оператораГамильтонаТак как grad ϕ и rot a — векторы, к ним можно применить операции div и rot.

В результате получаем div grad ϕ,rot grad ϕ, div rot a, rot rot a.К div a можно применить только операцию grad, в результате получится grad div a.Задача 14. Для скалярного поля ϕ(x, y, z), ϕ — дважды непрерывно дифференцируемая функция, вычислить:а) rot grad ϕ; б) div grad ϕ.Р е ш е н и е. а) Так как поле a = grad ϕ потенциально,тоrot a = rot grad ϕ = 0 (см. утв. 5).Это же можно получить, пользуясь символическим вектором ∇:rot grad ϕ = [∇, ∇ϕ] = [∇, ∇]ϕ = 0,ибо векторное произведение любого вектора (в том числе∇) на самого себя равно нулю.б)∂ϕ∂ϕ∂ϕi+j+k =div grad ϕ = div∂x∂y∂z∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ=++ 2 = ∆ϕ,(31)∂x2∂y 2∂zгде ∆ — оператор Лапласа:∂2∂2∂2++.∂x2 ∂y 2 ∂z 2Так как и дивергенция и градиент не зависят от выборасистемы координат, то и ∆ϕ зависит лишь от самого поля,но не от системы координат (см.

(31)).Оператор Лапласа естественно рассматривать как скалярный квадрат вектора ∇:∆=(∇, ∇)ϕ = ∇2 ϕ = ∆ϕ.32Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаПрименяется оператор Лапласа и к вектору. При этомесли a = (ax , ay , az ), то под ∆a, или ∇2 a понимается вектор∇2 a = ∆a = (∆ax , ∆ay , ∆az ).(32)Задача 15. Для векторного поля a = (ax , ay , az ) с дважды непрерывно дифференцируемыми компонентами вычислить: а) div rot a; б) rot rot a.Р е ш е н и е. а) Пользуясь (14), имеем∂ay∂ ∂ax ∂az∂ ∂az−+−+div rot a =∂x ∂y∂z∂y ∂z∂x∂ ∂ay∂ax+−=0∂z ∂x∂yв силу равенства смешанных производных по x, y и y, x ит.д.То же самое можно получить, оперируя с ∇ как с вектором, пользуясь при этом круговой перестановкой сомножителей в смешанном произведении:div rot a = (∇, [∇, a]) = ([∇, ∇], a) = 0.(33)б) Пользуясь правилом (25) вычисления двойного векторного произведения и (32), получаемrot rot a = [∇, [∇, a]] = ∇(∇, a) − (∇, ∇)a == grad div a − ∆a.(34)Как следует из равенства (33) (по утверждению 3), еслиa — векторное поле с дважды непрерывно дифференцируемыми компонентами в объемно односвязной области, тополе rot a в этой области соленоидально.На основании равенства (34) заключаем, что ∆a не зависит от системы координат, поскольку rot rot a и grad div aот нее не зависят.i+j+kЗадача 16.

Вычислить rot rot rot, где r =rp= x2 + y 2 + z 2 , i, j, k — единичные векторы, направленные по осям координат.Формулы Грина в пространствеР е ш е н и е.Обозначим33i+j+k= a. Применив кrrot rot a формулу (34), получимrot rot rot a = rot grad div a − rot ∆a.Имеем: rot grad div a = 0 (см. задачу 14а)), i+j+k1∆a ==∆(i + j + k)(см. (32)).rrИз (31) и (7) следует, что 11∆= div grad= 0 ⇒ ∆a = 0 ⇒ rot ∆a = 0.rrИтак, rot rot rotО т в е т.i+j+k= 0.r0.Формулы Грина в R3Задача 17. Доказать первую формулу Грина в R3 :ZZZZZZ X3∂v ∂uv∆u dx1 dx2 dx3 = −dx1 dx2 dx3 +∂xi ∂xii=1GG(35)ZZ∂u+ vds,∂nSгде G — область в R3 с кусочно-гладкой границей S, n —единичная внешняя нормаль к поверхности S, u(x1 , x2 , x3 )— дважды, а v(x1 , x2 , x3 ) — один раз непрерывно дифференцируемые в G функции.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Заменив ∆u на div grad u и использовав ∇, можно записать первую формулу Грина втаком виде:ZZZZZZv div grad u dx1 dx2 dx3 = −(∇v, ∇u) dx1 dx2 dx3 +GZZG∂u+ vds.∂nS(36)34Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаСогласно формуле (4), имеем∂u∂u= (∇u, n),v= (v grad u, n).(37)∂n∂nОбозначив grad u через a и применив формулу (19) кdiv(v grad u), получимdiv(v grad u) = div(va) = (grad v, a) + v div a == (∇v, ∇u) + v div grad u.(38)Далее по формуле Остроградского–Гаусса имеем(см. (10)):ZZZZZdiv(v grad u) dx1 dx2 dx3 = (v grad u, n) ds,GSоткуда в силу формул (37), (38) следует (36), а значит,и (35). Первая формула Грина доказана.Задача 18.

Доказать вторую формулу Грина в R3 :ZZZZZ ∂u∂v(v∆u − u∆v) dx1 dx2 dx3 =v−uds, (39)∂n∂nGSгде G — область в R3 с кусочно-гладкой границей S, n —единичная внешняя нормаль к поверхности S, u(x1 , x2 , x3 ),v(x1 , x2 , x3 ) — дважды непрерывно дифференцируемые в Gфункции.Д о к а з а т е л ь с т в о.Напишем первую формулуГрина (35), поменяв местами u и v:ZZZZZZ XZZ3∂u ∂v∂vu∆v dx1 dx2 dx3 = −dx1 dx2 dx3 + uds.∂xi ∂xi∂nGG i=1SВычтем это равенство из равенства (35). Получим (39).Обе формулы Грина широко применяются в уравненияхматематической физики.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Кудрявцев Л.Д.

Курс математического анализа. Т. 2,3. – 2-е изд. – М.: Высшая школа, 1988.2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1989.3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. 2. –2-е изд. – М., 1973.4. Никольский С.М. Курс математического анализа. –5-е изд. – М., 2000.5.

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – 2-е изд. – М.: МФТИ, 2000.6. Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу.Ч. 3. – М.: МФТИ, 1997.7. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорногоисчисления. – 9-е изд. – М., 1965.8. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды.– 2-е изд. – М., 1967.9.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – 6-е изд. – М.: Наука, 1966.10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – 4-е изд. – М.: Наука, 1982.11. Компанеец А.С. Теоретическая физика. – 2-е изд. –М., 1957.12. Сборник задач по математическому анализу. Функциинескольких переменных: Учебное пособие/ Под ред.Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука. 1995.13. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

– 10-е изд. – М.: Наука, 1990.14. Карякин Н.И., Быстров К.Н., Киреев П.С. Краткийсправочник по физике. – 3-е изд. – М., 1969..