Методические указания элементы векторного анализа

Министерство образования Российской ФедерацииМосковский физико-технический институтКафедра высшей математикиМетодические указанияпо математическому анализудля студентов второго курсаЭЛЕМЕНТЫВЕКТОРНОГО АНАЛИЗАВторое изданиеМосква 2001Составитель: Л.И.КоваленкоУДК 517Методические указания по математическомуанализу для студентов второго курса. Элементывекторного анализа. МФТИ, 2001.Излагаются основные понятия векторного анализа,формулыОстроградского–Гаусса и Стокса, приемы набла-техники.

Доказываютсяпервая и вторая формулы Грина в пространстве. Все демонстрируется назадачах, решение которых приводится. Система координат предполагаетсядекартовой прямоугольной, причем правой.В настоящее издание добавлено несколько задач, требующих уменияработать с терминами поля как в векторной, так и в координатной форме.Внесены другие изменения.Автор выражает глубокую благодарность чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцеву, проф. М.И. Шабунину, чл.-корр. РАО Г.Н.

Яковлеву, чьи отличныелекционные курсы математического анализа послужили основой для написания данного учебного пособия.Автор благодарит О.А.Пыркову и Д.А.Терешина за предложения и замечания, которые были учтены при подготовке этого издания.ОГЛАВЛЕНИЕ§ 1. Скалярные и векторные поля.

Производная по направлению и градиент скалярного поля . . . . . . . . . .§ 2. Дивергенция и поток векторного поля. ФормулаОстроградского–Гаусса в терминах поля . . . . . . .§ 3. Соленоидальные векторные поля . . . . . . . . . . . .§ 4. Циркуляция векторного поля. Потенциальные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса в терминахполя . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Механический смысл ротора . . . . . . . . . . . . . . .§ 6. Однократное применение оператора Гамильтона . . .Правила работы с ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Градиент одного вектора по другому .

. . . . . . . . .§ 7. Повторное применение оператора Гамильтона . . . .Формулы Грина в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47141820202627293234364Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа§ 1. Скалярные и векторные поля.Производная по направлению иградиент скалярного поляОпределение 1. Говорят, что в области G задано скалярное (или векторное) поле, если каждой точке M ∈ Gпоставлено в соответствие некоторое число F (M ) (или вектор a(M )).Поле температуры внутри некоторого нагретого тела— это скалярное поле.

Поле гравитационное — векторноеполе.Если дано некоторое скалярное или векторное поле вобласти G ⊂ R3 , то, введя систему координат, можнопредставить скалярное поле в виде некоторой функцииF (x, y, z), а векторное поле — в виде вектор-функции a == (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).Пусть в области G ⊂ R3 задано скалярное поле f (M ).Проведем луч через точку M0 ∈ G в направлении вектора l, |l| = 1.Определение 2. Производной скалярного поля f вточке M0 по направлению l называется предел→∂ff (M ) − f (M0 )−−−−(M0 ) = lim, M0 M = tl, t > 0, (1)t→+0∂ltесли он существует.Введя систему координат, представим заданное скалярное поле в виде функции f (x, y, z).Величину, задаваемую формулой (1), называют производной функции f (x, y, z) по направлению l.Утверждение 1.

Если функция f (x, y, z) в точке M0дифференцируема, то она в этой точке имеет производную по любому направлению l и эта производная находится по формуле§ 1. Скалярные и векторные поля5∂f∂f∂f∂f(M0 ) =(M0 ) cos α +(M0 ) cos β + (M0 ) cos γ, (2)∂l∂x∂y∂zгде cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы вектора l.Пусть функция f (x, y, z) дифференцируема в области G.∂f ∂f ∂fОпределение 3. Вектор ∂x , ∂y , ∂z называетсяградиентом скалярного поля f , или градиентом функцииf (x, y, z), и обозначается grad f .Операцию перехода от скалярного поля f к grad f обозначают, следуя Гамильтону, символом ∇ (читается «набла») и называют оператором «набла», или операторомГамильтона. Таким образом, по определению∇f = grad f.(3)Формулу (2) можно переписать в следующем виде, учитывая, что |l| = 1:∂f(M0 ) = (l, ∇f ) = |∇f | cos ϕ,(4)∂lгде ϕ — угол, образованный l и grad f в точке M0 .

Отсюдаследует, что если | grad f (M0 )| 6= 0, то в точке M0 производная функции f по направлению достигает наибольшегозначения только по направлению grad f (cos ϕ = 1), приэтом∂fmax(M0 ) = |∇f (M0 )|.∂lИтак, в каждой точке, в которой | grad f | не равен нулю,направление grad f — это направление наибольшего ростаf (оно единственно), а длина его равна скорости возрастания f по этому направлению.Если | grad f | = 0 в данной точке, то в этой точке производные функции f по всем направлениям равны нулю.Таким образом, установлено, что градиент скалярногополя зависит лишь от самого поля, но не от выбора системыкоординат.Пусть |∇f (M0 )| 6= 0.

Пусть f (x, y, z) = C — поверх-6Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаность уровня в точке M0 . Уравнение касательной плоскости в точке M0 к этой поверхности имеет вид∂f∂f∂f(M0 )(x − x0 ) +(M0 )(y − y0 ) +(M0 )(z − z0 ) = 0. (5)∂x∂y∂zИз этого равенства следует, что если | grad f | в точке неравен нулю, то grad f направлен по нормали к поверхностиуровня, проходящей через эту точку.Все изложенное переносится на случай плоского скалярного поля. Соответственно в формуле (2) будет два слагаемых, в уравнении (5) — тоже. Это — уравнение касательной к линии уровня в точке M0 .Задача 1. Для функции Φ =x2y2z22 + 2 + 2 найти произabcводную по направлению внутренней нормали к цилиндрической поверхности x2 + z 2 = a2 + c2 в точке M0 (a, b, c).Р е ш е н и е. Пусть f (x, y, z) = x2 + z 2 . Данная в условии поверхность — это поверхность уровня для f , проходящая через точку M0 .

Имеем∇f (M0 ) = (2a, 0, 2c).Функция f в точке M0 растет быстрее всего по направлению grad f , значит, по направлению нормали к заданнойповерхности. Исходя из вида функции f , заключаем, чтоэто — направление внешней нормали. Следовательно, единичный вектор внутренней нормали в точке M0 будет −2a−2c−a−cl= √, 0, √= √, 0, √.4a2 + 4c24a2 + 4c2a2 + c2a2 + c22x 2y 2zИмеем ∇Φ =2 , 2 , 2 . По формуле (4) получаемabc∂Φa2ac2c4(M0 ) = − √· 2 −√· 2 = −√.22222∂la +c aa +c ca + c2О т в е т.−√4.+ c2a2Задача 2. Пусть a — постоянный вектор, |a| 6= 0, r —§ 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 7радиус-вектор произвольной точки M ∈ R3 , проведенныйиз фиксированной точки O.

Найти grad |[r, a]|3 .Р е ш е н и е. Введем декартову прямоугольную правуюaсистему координат 0, i, j, k, k = |a| . Тогда имеемa = (0, 0, |a|), r = xi + yj + zk,i j k [r, a] = x y z = |a|(yi − xj), 0 0 |a| |[r, a]| = |a|(x2 + y 2 )1/2 ,|[r, a]|3 = |a|3 (x2 + y 2 )3/2 .Далее находим (см. определение 3)grad |[r, a]|3 = 3|a|3 (x2 + y 2 )1/2 (xi + yj) = 3|a|2 |[r, a]|(r − zk).aА так как z = (r, k) = r, |a| , то получим aa32grad |[r, a]| = 3|a| |[r, a]| r − r,=|a| |a|= 3 |[r, a]| (r (a, a) − a (a, r)) .Используя формулу для двойного векторного произведения[A, [B, C]] = B (A, C) − C (A, B), окончательно получаемgrad |[r, a]|3 = 3 |[r, a]| [a, [r, a]] .О т в е т.3 |[r, a]| [a, [r, a]].§ 2. Дивергенция и поток векторногополя.

Формула Остроградского–Гауссав терминах поляОпределение 4. Пусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами.Дивергенцией векторного поля a называется скалярнаяфункция8Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа∂P∂Q ∂R++.∂x∂y∂zЗадача 3. а) Вычислить div(grad f (r)), где r =p=x2 + y 2 + z 2 , f (r) — дважды непрерывно дифференцируемая функция.

б) В каком случае div grad f (r) = 0?Р е ш е н и е. а) Вычислим grad f (r) = (P, Q, R). Имеем∂f (r)xrP == f 0 (r) · ⇒ grad f = f 0 (r) · ,(6)∂xrrгде r — радиус-вектор точки (x, y, z).div a =∂PДля вычисления div grad f найдем вначале ∂x . Имеем 00∂Pf0f02 f=+x− 3 .∂xrr2rЗаменяя в полученном выражении x последовательно на∂Qy, потом на z, получаем аналогичные формулы для ∂y ,∂R⇒∂z∂P∂Q ∂Rf0++= f 00 + 2 .∂x∂y∂zrб) Решаем дифференциальное уравнениеdiv grad f (r) =f 00 +2f0ududrC0= 0, f 0 = u, u0 +2 = 0,= −2 , f 0 = u = 2 .rrurrC1f=+ C2 , Ci = const, i = 0, 1, 2;r(7)C1div grad+ C2 = 0.rf0CО т в е т.а) f 00 + 2 r ; б) f = r1 + C2 , Ci — любыепостоянные, i = 1, 2.Определение 5.