Методические указания элементы векторного анализа, страница 3

Коваленко. Элементы векторного анализа3)R Если A0 и A — точки области G, то интеграл a dr по любой ориентированной кусочно-гладкой криA0 A вой A0 A ⊂ G с началом в A0 и с концом в A зависит отA0 и A, но не зависит от пути интегрирования, приэтомZa dr = u(A) − u(A0 ).A0 AЗадача 7. Доказать, что поле a = f (r)r, где r = |r|, f (r)— непрерывная функция, является потенциальным. Найтипотенциал этого поля.Р е ш е н и е. Соединим точку O, из которой проводятсярадиусы-векторы всех точек, с любой точкойAAR (см. рис. 9) отрезком OA прямой и вычислимOOA a dr.Рис.

9rВоспользовавшись формулой (13) и заметив, что τ = rна OA, получимZZZ Zra dr = (a, τ ) dl =f (r)r,dr =f (r)r dr.rOAOAOAOARrРассмотрим u = 0 f (t)t dt. Введем декартову прямоугольную систему координат с началом в точке O. Вы∂u ∂u ∂u∂uчислим частные производные ∂x , ∂y , ∂z . Получим ∂x =px= f (r)rrx0 = f (r)r r = f (r)x, так как r = x2 + y 2 + z 2 .Аналогично, ∂u∂u= f (r)y,= f (r)z ⇒∂y∂z∂u ∂u ∂u,,= grad u = f (r)r = a,∂x ∂y ∂zтак как r = xi + yj + zk.Итак, поле a потенциально и функция u — его потенциал.RrО т в е т. u = 0 f (t)t dt.§ 5.

Ротор векторного поля. Формула Стокса19Пусть в начало координат O помещена масса m. Еслитеперь в некоторую точку M (x, y, z) поместить единичнуюмассу, то на нее будет действовать сила притяжения, равнаяmF = −γ 3 r.rЭти силы, определяемые в каждой точке пространства,образуют векторное поле — поле тяготения точечной массыm. Его можно представить как градиент скалярной функγmции r , называемой ньютоновским потенциалом точечной массы m.§ 5. Ротор векторного поля.Формула Стокса в терминах поляОпределение 10. Пусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами.

Вектор∂R ∂Q ∂P∂R ∂Q ∂Prot a =−,−,−(14)∂y∂z ∂z∂x ∂x∂yназывается ротором (вихрем) векторного поля a.rot a удобно записывать в виде символического детерминанта ijk ∂∂∂ rot a = (15), ∂x ∂y ∂z PQ Rгде i, j, k — единичные векторы, направленные по осям∂∂∂координат, а под «умножением» символов ∂x , ∂y , ∂z нанекоторую функцию понимается выполнение соответствующей операции дифференцирования. Разложив указанныйдетерминант по элементам первой строки, получим (14).Механический смысл ротораРотор скорости v любой точки твердого тела равенудвоенной угловой скорости твердого тела. Покажем это.20Л.И.

Коваленко. Элементы векторного анализаЕсли твердое тело, у которого одна из точек O неподвижна, вращается вокруг оси, проходящей через точку O,с угловой скоростью ω = ξi+ηj+ζk, то скорость произвольной точки M тела равна v = [ω, r], где r — радиус-вектор,идущий из точки O к точке M . Следовательно, i j kv = [ω, r] = ξ η ζ = (ηz − ζy)i + (ζx − ξz)j + (ξy − ηx)k,x y z ijk∂∂∂rot v = ∂x = 2ξi + 2ηj + 2ζk = 2ω.∂y∂z ηz − ζy ζx − ξz ξy − ηx Слово «ротор» происходит от французского «rotation»,что значит «вращение».Используя понятия циркуляции и ротора (вихря) векторного поля, можно формулу Стокса записать в видеравенстваZZZa dr =rot a ds,(16)γSто есть циркуляция векторного поля a по ориентированному контуру γ равна потоку вихря этого поля через ориентированную поверхность S, ограниченную контуром γ,при этом направление обхода контура и ориентация поверхности согласованы по правилу правого винта (для правойсистемы координат).Задача 8.

Найти циркуляцию векzторного поля a = yi + zj + xk по окружy 2ностиx + y 2 + z 2 = R2 ,C:x+y+z =0~nсзаданнымнаправлением движенияx0CSпротив хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны осиРис. 10Ox (см. рис. 10).§ 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса21Р е ш е н и е. По формуле Стокса (16) имеемZZZZZa dr =rot a ds = (rot a, n) ds,CSSгде S — круг на плоскости x + y + z = 0, границей кото111рого служит окружность C; n = √ , √ , √— еди333ничный вектор нормали к S, направление которой согласуется с направлением обхода окружности C по правилуправого винта.

Вычислим rot a. ijk ∂∂∂ = −i − j − k = (−1; −1; −1),rot a = ∂y ∂z ∂xyzx√111(rot a, n) = − √ − √ − √ = − 3 ⇒333ZZ√ ZZ√(rot a, n) ds = − 3 ds = −πR2 3.SS√О т в е т. −πR2 3.Определение 11. Область G ⊂ R3 называется поверхностно односвязной, если, каков бы ни был простойкусочно-гладкий замкнутый контур γ ⊂ G, существуеткусочно-гладкая ориентируемая поверхность, натянутая наγ и лежащая в G.Примером области, не являющейся поверхностно односвязной, служит тор.Утверждение 5. Для того чтобы векторное поле a == (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами в области G было потенциальным, необходимо,а в случае поверхностно односвязной области и достаточно, чтобы поле было безвихревым:∂P∂Q∂Q∂R∂R∂Prot a = 0, или=,=,=∂y∂x∂z∂y∂x∂zв области G.22Л.И.

Коваленко. Элементы векторного анализаЗадача 9. Убедившись в потенциальности поляza = (y + z)i + (x + z 2 )j + (x + 2yz)k,ACAB0yBxРис. 11вычислить работу поля вдоль дугиCAB окружности 2x + y 2 + z 2 = R2 ,x=yв первом октанте в направлении от точки A(0, 0, R) к точкеR √R√,,022B(см. рис. 11).Вычислимrot a. ijk ∂∂ ∂rot a = ∂x∂y∂z = 0. y + z x + z 2 x + 2yz Р е ш е н и е.Поле a потенциально в R3 (по утверждению 5).

Тогда(по утверждению 4)ZZZa dr =a dr +a dr,CABAOOBAO, OB — прямолинейные отрезки (см. рис. 11).Имеем на основании формулы (13)ZZa dr = (a, −k) dl = 0 (x = 0, y = 0 на AO);AOAOZZa dr =OBZ(a, τ ) dl =OBZa dr =OBR22BR2⇒y dx + x dy = (xy) =2O.CABО т в е т.R2.2Замечание к задаче 9 (второй способ решения). Так§ 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса23как поле a потенциально, то (см.

утверждение 4)(y + z) dx + (x + z 2 ) dy + (x + 2yz) dz = du,u — потенциал поля a.∂u∂u∂uИмеем: ∂x = y + z, ∂y = x + z 2 , ∂z = x + 2yz.Такие частные производные имеет функцияu = xy + xz + yz 2 .R2Ra dr = u(B) − u(A) = 2 .Задача 10. Пусть в области G ⊂ R3 заданы скалярноеполе ϕ и векторное a = (P, Q, R); ϕ, P , Q, R — непрерывнодифференцируемые функции. Вектор b в точке M (x, y, z) ∈∈ G имеет компоненты:∂ϕ∂R∂ϕ∂Qbx = R+ϕ−Q−ϕ,∂y∂y∂z∂z∂ϕ∂P∂ϕ∂Rby = P+ϕ−R−ϕ,∂z∂z∂x∂x∂ϕ∂Q∂ϕ∂Pbz = Q+ϕ−P−ϕ.∂x∂x∂y∂yИспользуя термины поля, найти выражение для b черезa и ϕ в векторной форме.Р е ш е н и е. На основании (14) заключаем, что слагаемые ∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂Pϕ−,ϕ−,ϕ−,∂y∂z∂z∂x∂x∂yвходящие в состав bx , by , bz , являются компонентами вектора ϕ rot a. Остальные слагаемые∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕR−Q,P−R,Q−P∂y∂z∂z∂x∂x∂yявляются компонентами векторного произведения ijk ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ [grad ϕ, a] = . ∂x ∂y ∂z PQR ТогдаCAB24Л.И.

Коваленко. Элементы векторного анализаСледовательно, b = ϕ rot a+[grad ϕ, a]. Нетрудно получитьдругое выражение для b. Имеем∂(ϕR) ∂(ϕQ)bx =−,∂y∂z∂(ϕP ) ∂(ϕR)by =−,∂z∂x∂(ϕQ) ∂(ϕP )bz =−,∂x∂yт.е. b = rot(ϕa).О т в е т. b = rot(ϕa) = ϕ rot a + [grad ϕ, a].При решении задачи 10 получено выражение дляrot(ϕa). Об этом см. еще задачу 12в).Утверждение 6. Пусть в области G ⊂ R3 определено векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами; M0 — фиксированная точка,M0 ∈ G, ν — произzвольный фиксирован~νный единичный век0yтор; π — плоскость,πM0перпендикулярная векxγεтору ν и проходящаячерез M0 ; Kε — круг вРис.

12плоскости π радиуса εс центром в точке M0 , Kε ⊂ G, γε — граница круга Kε .Пусть окружность γε (см. рис. 12) ориентирована поотношению к ν по правилу правого винта (для правойсистемы координат). Тогда в точке M0Rγε a dr(rot a, ν) = lim,(17)ε→+0σεгде σε — площадь круга Kε .По формуле (17) выражаются проекции rot a на любые взаимно ортогональные единичные векторы ν 1 , ν 2 , ν 3 .Этими проекциями rot a однозначно определяется.§ 6. Однократное применение оператора Гамильтона25Величины, входящие в правую часть равенства (17), независят от выбора системы координат одной и той же ориентации.

Однако при замене правой системы координат налевую и неизменном ν направление обхода γε изменяетсяна противоположное, что влечет изменение знака в правойчасти (17), а значит, и rot a.Таким образом, rot a инвариантен относительно преобразований прямоугольных координат, сохраняющих ихориентацию; rot a — аксиальный, или осевой вектор (таким называют вектор в ориентированном пространстве, который при изменении ориентации пространства преобразуется в противоположный вектор).§ 6.

Однократное применение оператораГамильтонаОператор Гамильтона ∇ (3) удобно трактовать как сим∂∂∂волический вектор с компонентами ∂x , ∂y , ∂z , а применение его к скалярной функции — как умножение скаляра наэтот вектор. С помощью ∇ удобно записывать для a == (P, Q, R):∂∂∂div a =P+Q+R = (∇, a),∂x∂y∂z∂∂∂∂rot a =R−Q i+P−R j+∂y∂z∂z∂x∂∂+Q−P k = [∇, a],(18)∂x∂yт.е.

дивергенция векторного поля a есть скалярное произведение символического вектора ∇ и вектора a, а роторвекторного поля a есть векторное произведение вектора ∇и вектора a.26Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаПравила работы с ∇1. Если ∇ стоит перед линейной комбинациейnPαi pi , гдеi=1αi — постоянные, pi — функции точки (скалярные иливекторные), то!nnXX∇αi pi =αi ∇pi .i=1i=12.

Если ∇ стоит перед произведением функций p, q, то∇ применяется поочередно к каждой из этих функций(над ней ставится в этом случае знак ↓), результатыскладываются:↓↓∇(pq) = ∇(pq) + ∇(pq ).Затем полученные произведения преобразуются поправилам векторной алгебры так, чтобы за ∇ стоялтолько множитель, снабженный знаком ↓. После этогознак ↓ можно опустить.Задача 11. Вычислить, считая f скалярной функцией:а) div(f a);б) div(f (r)a(r)), r = |r|, r — радиус-вектор точки(x, y, z).Р е ш е н и е. а)↓↓div(f a) = (∇, f a) = (∇, f a) + (∇, f a) =↓↓= (∇f , a) + f (∇, a) = (a, ∇f ) + f (∇, a) == (a, grad f ) + f div a.(19)б) Вычислим div a(r). Учитывая, что компоненты вектораa(r) зависят от r, аналогично формуле (6) получаемda rdiv a(r) =,,(20)dr rdaгде dr — вектор, компоненты которого есть производныепо r от компонент вектора a(r).§ 6.