Методические указания элементы векторного анализа, страница 2

Пусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывными компонентами.Пусть S — ориентированная кусочно-гладкая поверхность, лежащая в области G, ν — единичный вектор нормали к поверхности, задающей ее ориентацию. Интеграл§ 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 9ZZ(a, ν) dsSназывается потоком векторного поля a через поверхностьS и обозначаетсяZZa ds.SZZ Имеем ZZZZads = (a, ν) ds = (P cos α+Q cos β +R cos γ) ds, (8)SSSгде cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы нормалиν к поверхности S, задающей ее ориентацию.Напомним, что система координат правая.Пусть S — гладкая поверхность, имеющая явное представление z = f (x, y), (x, y) ∈ D, D — область на плоскости переменных x, y.

Тогда поверхность S имеет векторноепредставление r = r(x, y) = (x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ D.Отметим, что угол между вектором[rx , ry ]1n==q(−fx , −fy , 1)|[rx , ry ]|1 + f2 + f2xyи вектором k = (0, 0, 1) острый.Если вектор ν (см. (8)) совпадает с вектором n, то вычисление интегралаZZR cos γ dsSв силу того, что1cos γ = q1+fx2,+fy2ds =q1 + fx2 + fy2 dx dy,сводится к вычислению такого двойного интеграла по области D:10Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаZZZZR cos γ ds =SR(x, y, f (x, y)) dx dy.DАналогичнополучаютсяRRRR формулы для вычисления интегралов S P cos α ds и S Q cos β ds (см.

(8)) в случае явного представления поверхности S в виде x = ϕ(y, z) — дляпервого интеграла и в виде y = ψ(x, z) — для второго.Задача 4. Вычислить поток векторного поляz~ν3S0S1S22Рис. 1a = (z 2 − x, 1, y 5 )через ориентированную внутреннейyнормалью поверхность S: y 2 = 2x,отсеченную плоскостями: x = 2, z == 0, z = 3.Р е ш е н и е.Согласно форx муле (8):ZZZZ 2a ds =(z − x) cos α+SS+ cos β + y 5 cos γ ds,где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы внутренней нормали к S.

ИмеемZZZZZZcos β ds =cos β ds + cos β ds,(9)SS1S2где (см. рис. 1) S1 , S2 — части поверхности S, расположенные соответственно при y>0 и y60, S = S1 ∪ S2 ; cos β > 0на S2 и отличается лишь знакомz3от cos β в симметричных относительно плоскости (x, z) точках наDповерхности S1 . Поэтому из (9)следует, чтоy-202ZZРис. 2cos β ds = 0.S§ 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 11Так как cos γ = 0 на S, тоZZy 5 cos γ ds = 0.SУгол α между векторами ν и i = (1, 0, 0) острый, поэтомуZZ ZZy2dy dz,(z 2 − x) cos α ds =z2 −2SDгде D — проекция поверхности S на плоскость (y, z) (см.рис. 2).

ИмеемZZ Z3Z2Z3 Z2y222dy dz = 2 z dz dy − dz y 2 dy =z −20000D4 3 3 8 3= z − z = 36 − 8 = 28.3 0 3 0О т в е т. 28.Используя понятия дивергенции и потока векторногополя, можно формулу Остроградского–Гаусса записать ввиде равенстваZZZZZdiv a dx dy dz =a ds,(10)DΣт.е. объемный интеграл по области D от дивергенции векторного поля a равен потоку этого поля через поверхностьΣ, ограничивающую область Dzи ориентированную внешней нор1~n0малью.Задача 5. Вычислить потокS0векторного поля a = (xz, 0, 0) через ориентированную в направле0нии внешней нормали наклонную1 yгрань S0 поверхности тетраэдраV , ограниченного плоскостями:1xРис.

312Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаx = 0, y = 0, z = 0, S0 : x + y + z = 1 (см. рис. 3).Р е ш е н и е. Обозначим грани тетраэдра:S1 : x = 0,S2 : y = 0,S3 : z = 0;n1 = (−1, 0, 0), n2 = (0, −1, 0), n3 = (0, 0, −1)— единичные векторы внешних нормалей к Si , i = 1, 2, 3;n0 — единичный вектор внешней нормали к S0 .По формуле Остроградского–Гаусса имеемZZZZZ3 ZZXz dx dy dz = (a, n0 ) ds +(a, ni ) ds.VТак как (a, n1 ) = −xz = 0 на S1 ,(a, n2 ) = 0, (a, n3 ) = 0, тоZZ(a, ni ) ds = 0, i = 1, 2, 3.yz=Cx+11−Ci=1 SiS0y=Si1C0−E(z)ZZ(a, n0 ) ds =Имеем11−C xS0ZZZ Рис. 4Z1ZZ=z dx dy dz = z dzdx dy,0VE(z)где E(z) — сечение тетраэдра плоскостью z = C =RR(1 − z)2= const (см.

рис. 4);dx dy =,2E(z)ZZZ1z dx dy dz =2Z11z(1 − z) dz =220V=О т в е т.12Z1(z − 2z 2 + z 3 ) dz =01 2 1− +2 3 4=1.241.24Утверждение 2. Пусть в области G ⊂ R3 определено векторное поле a(M ) с непрерывно дифференцируе-§ 3. Соленоидальные векторные поля13мыми компонентами. Пусть точка M0 ∈ G и Kε — шаррадиуса ε с центром в точке M0 , Kε ⊂ G; Sε — границашара Kε . ТогдаRR(a, ν) dsdiv a(M0 ) = lim Sε,(11)ε→+0Vεгде ν — единичный вектор внешней нормали к сфере Sε ,Vε — объем шара Kε .Из формулы (11) следует, что дивергенция векторногополя не зависит от системы координат.Если div a 6= 0 в точке M0 , то, как видно из формулы (11), для всех достаточномалых шаров Kε с центромRRв точке M0 будем иметь Sε (a, ν) ds 6= 0.Если рассматривать движение несжимаемой жидкостипри наличии источников, то количество вытекающей через замкнутую поверхность S жидкости, отнесенное к единице времени, называется производительностью источников, заключенных внутри S.

Это есть поток вектора скорости v; div v — плотность источников.Аналогичное имеет место для теплового потока при наличии источников тепла.Слово «дивергенция» происходит от французского «divergence», что значит «расходимость».§ 3. Соленоидальные векторные поляПусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a(M ) снепрерывно дифференцируемыми компонентами.Определение 6. Векторное поле a, поток которого через любую кусочно-гладкую поверхность, лежащую в области G и являющуюся границей некоторой ограниченнойобласти, равен нулю, называется соленоидальным в G.Определение 7.

Область G ⊂ R3 называется объемноодносвязной, если для любой ограниченной области14Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаD, граница которой ∂D есть кусочно-гладкая поверхность, из условия ∂D ⊂ G следует, что D ⊂ G.Утверждение 3. Для того чтобы векторное поле aс непрерывно дифференцируемыми компонентами было соленоидальным в области G ⊂ R3 , необходимо, а в случае объемно односвязной области и достаточно, чтобыdiv a = 0 в области G.Задача6.

Найти поток векторного поля a =e= grad − 4πr , где e = const, r — расстояние точки M0от переменной точки M , через любую сферу, не проходящую через M0 и ориентированную внешней нормалью.Р е ш е н и е. Имеем на основании (6) (см. задачу 3)e ra=,4π r3где r — радиус-вектор точки M , проведенный из M0 . Используя формулу (7) (см. задачу 3), получаемdiv a = 0.~ν~n0S0SM0M0Рис. 5Рис. 6Пусть S — любая сфера, не проходящая через M0 и несодержащая эту точку внутри себя (см. рис. 5),RR ν — единичный вектор внешней нормали к S. Тогда S a ds = 0,так как поле соленоидально (по утверждению 3).Пусть S0 — любая сфера с центром в точке M0 радиrуса r0 (см.

рис. 6), n0 = r — единичный вектор внешнейнормали к S0 . Имеем§ 3. Соленоидальные векторные поляZZea ds =4πZZ ZZr re,ds =ds = e.r3 r4πr02S0S015S0S00Пусть— любая сфера такая, что M0находится внутри S00 , но M0 — не центрее (см. рис. 7). Построим сферу S0 с центром в M0 такого малого радиуса, чтобыона находилась внутри сферы S00 .Покажем, чтоZZZZa ds =a ds(12)S00S 0 M0γS00Рис. 7S0при внешней ориентации S00 и S0 .Проведем плоскость, пересекающую обе сферы. Ею слоймежду сферами разбивается на две области с общим участком границы γ. Границу каждой из этих областей ориентируем внешней нормалью.

Поток поля a через границукаждой области равен нулю (по утверждению 3). Сложимэти два потока. В сумму войдут потоки через S00 , S0 и γ.Через γ они взаимно уничтожаются. Потому потоки черезS00 и S0 в сумме дают нуль. Беря на S0 противоположнуюориентацию, получим равенство (12).О т в е т. 0, если сфера не содержит внутри себя M0 ;e, если содержит внутри себя M0 .Рассмотрим еще векторноеполе e e r=.a = grad −4πr4π r3S2~aПостроим конус с вершиной вS1M0 .

Пусть S1 , S2 — поперечS∗ные сечения конуса, расположен~aM0ные (см. рис. 8) по одну сторонуРис. 8от вершины. Рассмотрим замкнутую поверхность S, образованную сечениями S1 , S2 и поверхностью S ∗ — частью конической поверхности, заклю-16Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаченной между S1 и S2 .

Поток поля a через поверхностьS, ориентированную, например, внешней нормалью, равеннулю, так как поле соленоидально (по утверждению 3). Наповерхности S ∗ вектор a ортогонален нормали к поверхности, поэтомуZZa ds = 0.S∗Следовательно,ZZS1ZZa ds + a ds = 0.S2Отсюда, изменив на поверхности S1 направление нормали на противоположное, получим, что поток поля a через сечение S1 , как и через сечение S2 , а значит, и любоепоперечное сечение, имеет одну и ту же величину.Аналогичным свойством обладает любое соленоидальное поле. Рассматривается так называемая векторнаятрубка, состоящая из линий, в каждой точке которых касательная имеет направление поля.Поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одну и туже величину.Название «соленоидальное» происходит от «солен», чтопо-гречески означает «трубка». Вместо «соленоидальноеполе» иногда говорят «трубчатое поле».Вернемсяк задаче 6.

Рассмотрим векторное поле a =e= grad − 4πr в области G0 : 0 < r < R0 , R0 = const > 0,r — расстояние точки M0 от переменной точки M . Имеемdiv a = 0 в G0 .Область G0 не является объемно односвязной, поэтомук полю a не применимо в G0 утверждение 3. Как показанопри решении задачи 6, поток поля a через любую сферу,содержащую внутри себя точку M0 , не равен нулю.§ 4.

Циркуляция векторного поля. Потенциальные поля17§ 4. Циркуляция векторного поля.Потенциальные векторные поляПусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a == (P, Q, R) с непрерывными компонентами.Определение 8. Пусть L — ориентированная кусочногладкая кривая, лежащая в области G. ИнтегралZZZa dr = P dx + Q dy + R dz = (a, τ ) dl(13)LLLназывается работой векторного поля a вдоль L. Если L— замкнутая кривая, то интеграл (13) называется циркуляцией векторного поля a по кривой L. Через τ обозначенв (13) единичный касательный вектор к кривой L, dl —дифференциал длины дуги.Определение 9. Векторное поле a(M ) называется потенциальным, если его можно представить как градиентнекоторого скалярного поля u(M ):a = grad u.Тогда функция u(M ) называется потенциальной функцией,или потенциалом векторного поля a.Утверждение 4.

Для векторного поля a = (P, Q, R) снепрерывными компонентами в области G эквивалентныследующие три свойства:1) Поле a потенциально, т.е. существует однозначнаяфункция u(x, y, z), имеющая непрерывные частные производные, такая, чтоgrad u = a в G,или, что то же, du = P dx + Q dy + R dz (u — потенциалполя a).2) Циркуляция поля a по любой замкнутой ориентированной Rкусочно-гладкой кривой L, лежащей в G, равнанулю: L a dr = 0.18Л.И.