!1164 (Финансовая Математика, Ширшов Е.В., 2010), страница 13

Акции компании А более риско­ванные, так как а д > О Б - Рассчитаем для каждой компании коэффици­ент вариации:С =а/уR.Для компании А:С=48,66/20 = 2,433.УлДля компании Б:C=5,57/17 = 0,328.vvзСоставим отношение:C JCv=2,433/0,328 = 7,42.ViАкции компании А в 7,42 раза рискованнее акций компании Б.Пусть имеется портфель облигаций, каждая бумага имеет в порт­феле свой вес м>1 и свою ставку доходаОценим ожидаемую ставкудоходности как средневзвешенную всех ставок доходности бумаг, име­ющихся в портфеле:Рассмотрим портфель, который состоит из четырех видов ценныхбумаг, равных по занимаемому объему, и ставки доходности для нихследующие, %: 14; 35; 20; 18.

Тогда ожидаемая доходность портфе­ля — R = 21,75%.Предположим, что бумаги не скоррелированы (слабо зависят другот друга, т. е. коэффициент корреляции стремится к нулю). Найдем дис­персию для всего портфеля:ла = ^ wf • а iмМера риска по всему портфелю:2Рассмотрим частный случай, когда бумаги в портфеле занимаютодинаковый объем. В этом случае вес одной бумаги в портфеле —w = 1/п, следовательно:{о-JTTIO?V"MI|.Выберем из всех а, максимальное, тогда среднее квадратическоеотклонение дохода по всему портфелю:U ——п—пI—yjn5т.е.

получим формулу для оценки рискованности портфеля. Если коли­чество бумаг достаточно велико, то рискованность портфеля стремитсяк нулю.Вывод: чем больше ценных бумаг в портфеле большого числа эми­тентов, тем меньшей рискованностью обладает портфель.15.9. Актуарные расчетыСлово «актуарий» означает специалиста по страхованию.Актуарные расчеты — система математических и статистическихисчислений, применяемых в страховании.Основные понятия, применяемые в страховом деле:Страховщик — специализированная организация, проводящаястрахование.Страхователь — физическое или юридическое лицо, уплачива­ющее страховые взносы и вступающее в конкретные страховые отно­шения со страховщиком.Объекты и предметы страхования — подлежащие страхованиюматериальные ценности, в личном страховании — жизнь, здоровье и тру­доспособность страхователя.Страховая сумма — сумма денежных средств, на которую фак­тически застрахованы имущество, жизнь, здоровье.Страховой тариф (нетто-ставка) — процентная ставка от сово­купной страховой суммы.

Она служит основой для формирования стра­хового фонда.Тарифом называется также брутто-ставка, состоящая из нетто-ставки, предназначенной для выплат страховых сумм, и нагрузки к неттоставке, необходимой для покрытия накладных расходов страховщика,связанных с проведением страхования. Принцип определения неттоставки постоянен, а структура нагрузки меняется, и, следовательно,брутто-ставка может принимать различные значения.Построение единовременных нетто-ставок по страхованиюжизни и на случай смерти. Условия страхования жизни обычно пре­дусматривают выплаты в связи с дожитием застрахованного лица доокончания срока действия договора страхования или в случае его смертив течение этого срока.Для начисления страхового фонда необходимо располагать све­дениями о том, сколько лиц из числа застрахованных доживет до окон-7.Фин. математикачания срока действия их договора страхования и сколько из них каж­дый год может умереть.Продолжительность жизни определенных людей является случай­ной величиной и колеблется в достаточно широких пределах.

Демо­графической статистикой определена зависимость смертности от воз­раста людей. Эта зависимость представлена в таблицах смертности(прил.\Т). Таблицы смертности показывают, как постепенно уменьша­ется с увеличением возраста поколение одновременно родившихся (ус­ловно принятое за 100 ООО). Таблицы смертности рассчитываются наоснове данных переписи населения.Возраст человека обозначен символом х, а число лиц, доживаю­щих до каждого возраста, — 1 .

Число умирающих при переходе от воз­раста х к возрасту х + 1 обозначено символом d .Наряду с абсолютным показателем в таблице используется и от­носительный показатель q — вероятность умереть в возрасте х лет, недожив до возраста х + 1 лет.ХxxИз 100 ООО родившихся женщин до 50 лет доживают 90 792 чел.(1 = 90 792), до 51 года не доживают 459 человек (d = 459), вероят­ность умереть в возрасте 50 лет у женщин:ХxdТ~xq*==45990792 ** >00 0 5 0 6-Используя таблицу смертности, страховщик может определитьвеличину страхового фонда, необходимого для выплаты в обусловлен­ные сроки страховых сумм.Рассмотрим случай, когда страховщик заключил договор на стра­хование жизни с мужчиной 30-летнего возраста на 5 лет.

По таблицамсмертности находим:/30= 92 216, /3 5F90 275.Согласно таблице смертности до возраста 35 лет доживет 90 275из 92 216 человек. Следовательно, и число вйплат будет 90 275. Пред­положим, что страховая сумма каждого договора составляла 5 тыс. руб.Тогда, чтобы обеспечить все выплаты, необходим страховой фондв размере 90 275 • 5 = 451 375 тыс.

руб. Страховщик предполагает всюсумму страховых взносов инвестировать под 9% годовых. Поэтомув момент заключения договора эта сумма может быть значительно мень­ше. Используя метод дисконтирования, определим эту сумму:Р=451375г = 293362,7795 тыс. руб.(1 + 0.09)5т-< Следовательно, чтобы через 5 лет иметь средства для выплатыстраховых сумм по дожитию, страховщик должен располагать в нача­ле страхования фондом в размере 293362,7795 тыс.

руб. Эту суммуи нужно собрать со страхователей. То есть каждый страхователь, зак­лючивший в 30-летнем возрасте договор на пять лет, внесет единовре­менную сумму, равную293362,779592216=ЗД81 тыс. руб.Расчет единовременной нетто-ставки по дожитию производится сле­дующим образом:I-V"П^Х1,1Хгде „Е — единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие длялица в возрасте х лет при сроке страхования п лет: 1 — число лиц, зак­лючивших договор в возрасте х лет; 1 + „ — число лиц, доживших доокончания срока страхования.Пусть 5 — страховая сумма, тогда „Е S — величина единовре­менного взноса.Если в выражении для определения пЕ числитель и знаменательумножить на одно и то же число V , то оно примет следующий вид:хХХххxхIп^х-V" -Vlrx+nrxl -Vxx+nI-VlYx+nxl -VxD^ч+пDxгде D -l- V — коммутационное число, значение D приведено в ком­мутационных таблицах (прил.

VII).Единовременная нетто-ставка для рассмотренного примера:xxxx5 Е з_ °зо+5 4422,217198° ~ А с ~ 6950,424689"0 ) 6 3 6 2 5 1 3 6 5-Единовременный взнос:0,636251365 • 5000 = 3181,26 руб.7*99В коммутационных таблицах приведены значения коммутационныхчисел D , N , С , М , R . Они находятся по формулам:xxххxD =l • V, N = D + Dxxxxxx + lC = d - V ,M = C + Cxxxxi + ... + Dw;x++ ... + C ,Rx+lwx=M +Mx+ ... + M .x+lwЗдесь w — заданный предельный возраст в таблице смертности.На случай смерти единовременная нетто-ставка рассчитывается поформуле:2n{d V + d V +...lVxx+x+d _ V )-V*x+n_М -МDxxхxxх+п'Единовременная сумма взноса составит „A S руб.Предположим, что мужчина 30-летнего возраста решил оформитьстраховку на случай своей смерти сроком на 5 лет на сумму 10 тыс.руб. Найдем единовременную нетго-ставку на случай смерти:АX234s_ 352 • 1,09^ + 372 • 1,09" + 389 • 1,09" + 406 • l.OQ" + 422 • l,09' _92216=1498 311792£ "=0,01624785.92216То же значение мы получим, используя коммутационные числа:ммх- х+п5А3 0-Dx~617,149434-504,2199726950,424689-0,01624785.Единовременный взнос составит:0,01624785 • 10 000 = 162,48 руб.При наступлении страхового случая, т.

е. если страхователь умретв этот период, недостающие средства поступают из взносов тех, ктодожил до окончания срока страхования, кроме того, добавится и доходот процентов.Расчет годичных нетто-ставки и брутто-ставки. При расчетеединовременной нетто-ставки предполагается, что сумма подлежащихуплате взносов погашается единовременно в момент заключения дого­вора о страховании. На практике такие случаи встречаются редко.

Ос­новная масса страхователей предпочитает платить взносы в течениевсего срока страхования. В связи с этим возникает необходимость рас­чета годичных нетто-ставок.Единовременная нетто-ставка отличается по своей величине отгодичной ставки по ряду причин. Во-первых, при единовременной уп­лате страхового взноса он может быть сразу после его поступления ка­ким-либо образом инвестирован и на эту сумму будут начисляться про­центы. При годичных взносах в связи с их постепенным поступлениемсумма начисленных процентов будет значительно меньше, чем при еди­новременном взносе, в результате чего страховщик получит меньшийстраховой фонд. Во-вторых, при единовременном взносе его уплачи­вают все лица, заключающие страховой договор, а при годичной упла­те ряд страхователей прекратит взносы в результате своей смерти.Таким образом, при расчете годичной нетто-ставки необходимоучитывать частичную потерю процентных сумм и снижение числа пла­тежей в результате смерти некоторой части застрахованных лиц.Для перехода от единовременной нетто-ставки к годичной исполь­зуются коэффициенты рассрочки.Для каждого страхователя сумма современных стоимостей годич­ных взносов в 1 руб.:х+пvtflx+l2 , ,1+- + 1 пУ )У2П«x lV x 2V++Х\;ХХ+_" l-N n lx+x++Dl V**xНайденное значение будет близко к п, но несколько меньше его.Можно составить пропорцию:пРх '• 1 ~ п^ёх '• rflxiгде „Р — годичный взнос;„Eg — единовременный взнос;„а — коэффициент рассрочки.Откуда:хxхР"Г=х'ап XГодичная нетто-ставка постнумерандо на дожитие:Г)_**~^ х+п .Dx 'ы1 1- Nх+\П" х+п+\ _Dx^х+п~ N -Nx+lx+n+l'на случаи смерти:М -Мхх+пх+п+1м -м,х+Нетто-ставка по страхованию на дожитие мужчины 30 летравна 0,1655, на случай смерти — 0,0042.

Найдите эти величинысамостоятельно, используя таблицу коммутационных чисел.На основе нетто-ставки происходит аккумуляция средств для вып­латы страховых сумм, но страховщик должен иметь средства на опла­ту дополнительных расходов — оплату труда работников, содержаниепомещения и т.д., а также получить доход. Покрытие этих расходов про­исходит за счет страхователей.

В связи с этим к нетто-ставке присоеди­няется нагрузка, в результате чего формируется брутто-ставка:где Jl— брутто-ставка для лица в возрасте х, застрахованного нап лет;„Н — нетто-ставка;/ — доля нагрузки в составе брутто-ставки.Страхование пенсии. Страхование пенсии — это вид личногострахования, по которому страховщик обязуется платить застрахован­ному лицу в установленные сроки регулярный доход.Такой вид страхования можно рассматривать как вид рентных пла­тежей, предполагающий пожизненную или временную выплату дохо­дов. Дополнительными условиями страхования могут быть немедлен­ные или отсроченные регулярные выплаты, т. е. производимые сразупосле уплаты страховых взносов или по истечении установленного пе­риода.Для вычисления современной нетто-ставки при данном виде стра­хования примем следующий ход рассуждений.

Предположим, что стра­ховая компания обязалась выплатить застрахованному лицу в возрастех лет в течение всей его жизни ежегодно определенную сумму и чтоэта выплата будет производиться с первого же года страхования в на­чале каждого года. Ее размер составляет 1 руб. Далее предположим,что договор на подобный вид страхования заключили все лица в воз­расте х лет. В этом случае первая выплата будет произведена всем лиxхцам немедленно после заключения договора страхования и составит1 руб. Во втором году следует выплатить l + i руб. Современная сто­имость выплаты во втором году составит l yV, в третьем — h + 2'V ,в четвертом — l + yV и т.д. Последняя выплата будет спустя w - хлет, где w — предельный возраст в таблице смертности. Современнаявеличина последней выплаты составит l -V ~ руб.Современная стоимость финансовых обязательств страховщика,относящихся ко всем 1 лицам, выразится суммой:Хx1x +3xwxwХДля получения современной стоимости финансовых обязательствпо отношению к одному лицу, т.