!1164 (Финансовая Математика, Ширшов Е.В., 2010), страница 12

Поскольку коммерческие ин­тересы держателей привилегированных акций защищены, их владель­цы, как правило, не имеют права голоса в акционерном обществе.Дивиденд по обыкновенным акциям зависит от результатов дея­тельности акционерного общества и начисляется по решению собра­ния акционеров. Дивиденд по обыкновенным акциям за прошедшийгод может не выплачиваться (например, в случае убытков или направ­ления полученной прибыли по решению собрания акционеров на рас­ширение деятельности акционерного общества). Поскольку коммерчес­кие интересы держателей обыкновенных акций в этом плане не защи­щены, они наделяются правом голоса в акционерном обществе.Дивиденд по привилегированным акциям, как правило, объяв­ляется в процентах от их номинала; его сумма на одну акцию будетравна:D = N-f;NPгде N— номинал привилегированной акции;/ — ставка выплачиваемого процента;Разница между чистой прибылью и выплаченным дивидендом попривилегированным акциям представляет собой доход на обыкновен­ные акции.

Доход на одну акцию будет равен:Количество обыкновенных акцийД о х о д на акцию =•Чистая прибыль - Дивиденд по привил, акциямОценить акцию — это значит оценить современную стоимость«бесконечного» во времени потока дивидендов этой акции.Пусть Р — рыночная цена акции, D, — дивиденд, выплачиваемыйв году t, i — ставка процентов, учитываемая при оценивании, тогда:D,1*1DD„2(1 + 02(1 + 0"у1D,м(1+01Если предположить, что дивиденды постоянны: (D = D, где t =1,°о)> ТО1DI ;1-ta+iyi'Если предположить, что через п лет акция будет продана, то ценаакции будет равна сумме современных величин потока дивидендов ицены реализации Р„:D:\1 +4-1£f(l+0'(1+0"'Рассмотрим акции с постоянным темпом прироста дивидендов.Если D\ — дивиденд за один год; q — темп прироста дивиден­дов, тоD =D -(\+qy-KtxЦена облигации:р=Ру|1+»D,(l + g)(1 + 0[|2Р.(1 + д )"'(1 +м|=0'1+<7tr(l + g)(l + 0' i + ^^lОценка акций носит весьма условный характер, так как величины,входящие в них — дивиденды, уровень ссудного процента, — являют­ся труднопредсказуемыми.Инвестор, вложивший свои средства в акции, подвергается воз­действию большего финансового риска, чем владелец облигации.

Подриском будем понимать неопределенность в получении будущих дохо­дов, т. е. возможность возникновения убытков или получения доходов,размеры которых ниже прогнозируемых. Для расчета ожидаемой до­ходности I* по акциям можно воспользоваться формулой:1=Р'где Р\ — цена продажи;Ро — цена покупки;D — дивиденды, полученные за время владения акцией.15.6. Государственные краткосрочные облигации(ГКО)По ГКО не выплачивается купонный доход. Инвестор приобретаетГКО ниже номинала, а погашает по номиналу.Центробанк рекомендует оценивать доходность по ГКО следуюобразом:_ N-P3651~Р ' тl-t'где D — доходность;N — номинал облигации;Р — цена приобретения облигации;т — количество дней до погашения;D— множитель, учитывающий налог на прибыль.Для трехмесячных ГКО количество дней до погашения беретсяравным 91.Пример 15.5.

Облигацию купили за 80% от номинала, погасидипо номиналу через три месяца. Ставка налога на прибыль равна 35%.Рассчитать доходность к погашению.Р е ш е н и е . Находим доходность по формуле, рекомендуемойЦентробанком:N-0J&N 3651"' Ж• 1^035 » > <° =)"Рассчитаем доходность облигации i по формуле сложных процен­D!5 41 5 4 %тов:0+0"Так как Р = 0,8 • N, п = 1/4, тоРешая последнее уравнение, находим, что доходность облигацииi« 1,44 = 144%.Центробанк рассчитывает доходность ГКО, используя простыепроценты.

Рассчитывая доходность по формуле сложных процентов,мы не учитываем налог на прибыль.15.7. Дополнительные характеристики облигацииДоходность является важнейшим, но не единственным критериемдля выбора облигации. Другим показателем привлекательности даинвестора того или иного вида облигации является продолжительностьсрока до ее погашения. При увеличении последнего растет степень фи­нансового риска для ее владельца.

Безусловно, риск приобретения об­лигаций с купонными доходами значительно ниже риска, связанного соблигациями, выплата процентов по которым производится в концесрока.Одной из характеристик облигаций является средний срок обли­гации Т— это средняя взвешенная величина, определяющая среднийсрок всех выплат по облигациям, при этом весами служат размеры этихвыплат.

Средний срок облигаций находится по формуле:XJТSnNq + Nп1где tj= 1, 2, ... п — сроки платежей по купонам в годах, У, / = 1 + 2 +1п(1 + п)... + п = — - — ; Sj — сумма платежа.Отсюда:0(1 + я ) , tт = п—2——.qn + lДля облигаций с «нулевым купоном» Т= п.При полугодовых купонных выплатах средний срок:f t ^ + n N7?S t,Ч_•0.5nNq + Nл с , 1 , , с(0,5 + п)2п= 0,5 + 1 + 1,5 + ... + « ='= (0,5 + п)п,а средний срок облигации::Т = п-(0,5 + п) + 1qn + lПример 15.6. Облигация номиналом 200 руб. выпущена со сро­ком погашения через 4 года. Ежегодно по купонам выплачивается 10%от номинала. Определить средний срок облигации.Р е ш е н и е .

Средний срок облигации составит:q(l + n)7+1= - q h r n=ОД-5 ,~4-1,250 Г 4 Т Г -1Г-=3>5714год,+41Изменим условия примера: проценты по купонам выплачиваютдважды в год. Тогда средний срок облигации:|(0,5 + л) + 1^ ( 0 , 5 + 4) + 1т _ „ 2—•= 4„ ,—;—:= 3,5 года.0,1-4 + 1qn + lОчевидно, что увеличение частоты выплат процентных платежейснижает средний срок облигации.Наряду с показателем среднего срока облигации существует близ­кий ему по экономическому смыслу показатель, характеризующий сред­нюю продолжительность платежей.

Иногда его называют показателемизменчивости; обозначим его символом D. Показатель изменчивостиопределяется по формуле:D=Угде S, — денежный поток по облигациям в момент времени г.Рассмотрим предьщущий пример: N = 200 руб.; и = 4; q = 10%;рыночная процентная ставка — 12%.Составим таблицу:1тs.(11234202020201'+ о'0,89290,79720,71180,63551tО+0(117,85815,94414,236139,81Р= 187,848+ i)'17,85831,88842,708559,24651,69412tS, •(1+У17,85863,776128,1242236,962446,718Отсюда находим показатель изменчивости:651,694= 3,4693.187,848Для бескупонной облигации D совпадает со сроком погашения.Пусть N= 200; п = 4; Р = 113,485; q = 0; i = 12%.

Тогда показательизменчивости D•— 4. Можно сделать вывод: более рискованная беску­понная облигация.Средний срок облигации не зависит от рыночной процентной став­ки, в то же время величина D зависит от ее изменения: с ростом ссуд­ного процента его влияние на отдаленные платежи падает, что, в своюочередь, снижает величину D.

Поэтому основным назначением показа­теля D является определение эластичности цены по процентной став­ке, т. е. измерение степени колеблемости цены облигации при незна­чительных изменениях процентной ставки на денежном рынке.Для измерения риска облигаций служат другие показатели, напри­мер МД — модифицированная изменчивость:DМ Д = 'л Г7—,^l + i/m'где D — средняя продолжительность платежей;х — рыночная процентная ставка;iт — число выплат процентов в году.Изменение цены облигации АР в результате изменения процент­ной ставки Ai определяется по формуле:АР = - МД Ai • Р.Рассчитаем по данным последних примеров показатель изменчи­вости.Для купонной облигации:D3,4693^=1Г0Д2=3'0 9 7 6-Для бескупонной облигации:М Д = т у з =3,5714.Определим, как изменится цена двух облигаций, если рыночнаяставка возрастет с 12 до 12,5%.Для купонной облигации:АР = - 3,0976 • 0,005 • 187,848 = 2,91 руб.Ожидаемое значение цены купонной облигации:АР = 187,848 - 2,909 = 184,94 руб.Для бескупонной облигации:АР = - 4 • 0,005 • 113,485 = - 2,27 руб.Ожидаемое значение цены бескупонной облигации:Р = 113,485 - 2,270 = 111,22 руб.Реакция цены облигации на значительные изменения рыночной став­ки измеряется с помощью показателя, получившего название «выпук­лость» (С ).

Расчет производится по формуле:х1'MС = l + i/P2+2D +Jх2где М — дисперсия показателей времени платежа,I.\t -SjD .Р ^(1 + 0'Сдвиг в цене облигации в результате значительного изменения ры­ночных ставок:М222=;2АР = - Р • МД • А/ + 0,5 • Р • С • (АО .хДля купонной облигации из предьщущего примера (смотри после­днюю таблицу) имеем:Рассчитаем С :хС = 7 7 ^ ( 0 , 9 8 8 9 + 12,0360 + 3,4693)= 14,7270.хРассмотрим, как изменится цена облигации, если рыночная про­центная ставка возрастет с 12 до 15%, т. е. Ai= 3% = 0,03.

Находимизменение цены:АР = -187,848 • 3,0976 • 0,03 + 0,5 • 187,848 • 14,7270 • 0,0009 == -16,21 руб.Таким образом, рост процентной ставки на 3% вызывает сниже­ние цены облигации до уровня 187,848 - 16,211 = 171,64 руб.15.8. Риск и доходность портфельных инвестицийСуществуют различные определения понятия «риск». Так, в наи­более общем виде под риском понимают вероятность возникновенияубытков или недополучения доходов по сравнению с прогнозируемымвариантом.

В приложении к финансовым активам используют следую­щую интерпретацию риска и его меры: рисковость актива характеризу­ется степенью вариабельности дохода, который может быть получен бла­годаря владению данным активом. Так, государственные ценные бума­ги обладают небольшим риском, поскольку вариация дохода по ним встабильной, не подверженной кризисом экономике практически равнанулю. Напротив, обыкновенная акция любой компании представляет со­бой значительно более рисковый актив, поскольку доход по таким ак­циям может ощутимо варьировать.Активы, с которыми ассоциируется относительно больший раз­мер возможных потерь, рассматриваются как более рисковые; вполнеестественно, что к таким активам предъявляются и большие требова­ния в отношении доходности.Количественно риск может быть охарактеризован как некий по­казатель, измеряющий вариабельность дохода.

Для этой цели можноиспользовать размах вариации, дисперсию, среднее квадратическое от­клонение, коэффициент вариации.Рассмотрим акции двух компаний А и Б. Пусть в следующем годумогут случиться такие события:СобытиеВероят­ностьБумСтабильное равновесиеКризис0,30,50,2Ожидаемые став­ки дохода длякомпании А, %8016-60Ожидаемые став­ки дохода длякомпании Б, %251510Рассчитаем среднюю ставку доходности для каждой компании поформуле:1=1Средняя ставка доходности составит:для компании А:R~A = 0,3' 0,8 + 0,5 0Д6 + 0,2 • (-0,6) = 0,20(20%);для компании Б:Из = 0,3 • 0,25 + 0,5 0,15 + 0,2 • ОД = 0,17(17%).Найдем степень разбросанности доходов каждой компании околосреднего значения R .

Для этого вычислим среднее квадратическое от­клонение по формуле:ViЗаполним таблицу:Щ-RA60-4-80(Ri-RA?(Я,--RAfPi360016642аАЩ -%(Я;-R f364(Ri-RsfPi19,2108088-2421280-7499,8О'Б = 31= 23 6 8Итак, для компании А среднее квадратическое отклонение Од == 48,66, для компании Б — <Э"Б = 5,57.