Тангажный аэродинамический момент ЛА, страница 2

Такую точку называют фокусом по углу атаки иобозначают x F  . Фокус и фокус по углу атаки совпадают, если обезависимости m z (C Y ) и C Y (  ) - линейные.Изменения тангажного момента происходят также при отклонении рулявысоты, который как раз и предназначен для управляемого изменения этогомомента, т.е. m z  m z ( ,  в ) .Как правило, руль высоты должен обеспечить достаточное изменениемомента тангажа при незначительном изменении подъемной силы. Для этогоруль делают небольшой площади, но расположенный на значительномрасстоянии от ЦМ ЛА.

Если руль расположен на достаточном расстоянии отфокуса по углу атаки, то подъемную силу при малых углах атаки (аследовательно – и нормальную силу) с достаточной точностью можнопредставить в виде линейной зависимости от угла атаки и угла отклоненияруля, т.е., коэффициент нормальной силыC Y  C Y0 C YC Y в  C Y 0  C Y   C Yв  в . вДругими словами, в этом случае изменение нормальной силы приотклонении руля высоты на угол  в можно рассматривать как действиевотдельной сосредоточенной силы C Y в , являющейся равнодействующейсистемы распределенных сил, возникающих при этом отклонении.

Присимметричном руле центр давления этой силы не будет меняться (поэтому4профили рулей и делают симметричными) и будет являться фокусом этойсилы по  в . Эту точку обычно называют фокусом ЛА по отклонению рулявысоты и обозначают x F  .С учетом этого коэффициент момента тангажа относительно точки х напродольной оси можно записать в виде линеаризованного выражениявm z (,  в )  m z 0  m z   m z  в , где m z 0 - коэффициент момента при нулевомm zугле атаки и нулевом отклонении руля, m z  ( x  x F )C Y ,m zm z в  ( x  x F в )C Yв . Для симметричного руля коэффициент m z 0 не вотличается от m z 0  .m zСоответственно,относительноЦМm z  ( x T  x F )C Y ,m zm z в  ( x T  x F в )C Yв , а если начало системы координат совпадает с вЦМ, то m z m zm z  x F C Y , m zв   x Fв C Yв . вСледует обратить внимание, что при малой площади руля C Y  C Y , нотак как руль расположен на большом расстоянии от ЦМ, то прирасположении фокуса по углу атаки вблизи ЦМ m z соизмерим с m z .

Затомалый коэффициент нормальной силы руля дает возможность при малыхизменениях центровки не учитывать составляющую нормальной силы отруля в формуле пересчета коэффициента момента.ввТангажный момент крылаДля получения соотношений, позволяющих рассчитывать тангажныймомент крыла, используют тот же подход, что и для расчета подъемной силы- сначала рассматривают цилиндрическое изолированное крылобесконечного размаха и получают формулы для определения продольногомомента профиля крыла (или участка такого крыла единичной длины), затем- рассматривают крыло как набор профилей (если это возможно), и наконец учитывают процессы, происходящие на концах крыла.Продольный момент изолированного крыла бесконечного размахаПрирассмотрениипродольногомоментаизолированногоцилиндрического крыла бесконечного размаха используются все тедопущения, предположения и определения, которые лежали в основе расчетаподъемной силы такого крыла.

При этих условиях ставится задачаопределения момента сил давления, действующего на участок крылаединичной длины, или (что тоже самое) - на профиль крыла в сечении,перпендикулярном образующей цилиндра, т.е. - оси z. Так как система силпри таком рассмотрении является плоской, то момент Mz одновременно5является результирующим моментом этой системы. Это позволяет неуказывать индекс z в обозначении рассматриваемого момента.Обозначим контур, ограничивающий указанное сечение, символом С,результирующую сил давления на этот контур - F , а ее проекции на осиплоскости течения - Fx и Fy, М0 - главный момент сил давленияотносительно оси, перпендикулярной плоскости течения и проходящей черезначало координат.Момент сил давления, действующих на элементарный участок контураdc,равенdM0=pxcosdc+pysindc,анавеськонтурM 0   p( x cos   y sin )dc   p( xdx  ydy) , где p - давление потока на этомCCучастке,  - угол наклона dc относительно оси X, dx и dy - проекциидифференциала дуги dc.Распределение давления p на поверхности тела можно определить изуравнения Бернуллиu 2 p  gh  const (здесь u – модуль скорости на dc,  2плотность жидкости, h - высота рассматриваемой точки тела, g - ускорениесилы тяжести).

Пренебрегая изменением давления, вызванным различнойвысотой точек рассматриваемого тела, из этого уравнения p  const  u 2 , а2учитывая,чтоинтегралотконстантывида22 const ( xdx  ydy)  const  d(x  y ) по замкнутому контуру равен нулю,CCможно записать, что M 0   2u ( xdx  ydy ) .2 CЕсли рассматривать x и y как действительную и мнимую частикомплексного числа z=x+jy, т.е. перейти к комплексной плоскости, как этобыло сделано при рассмотрении подъемной силы профиля, то момент можнозаписать в виде M 0    u 2 ( xdx  ydy)   Re  u 2 zdz   .2C2 CПриполучениипоследнейформулыиспользованото,аRezdz   Re((x  jdy )(dx  jy )  xdx  ydy .Так как скорость при безотрывном обтекании направлена по касательнойкконтуру,т.е.понаправлениюdz,то22 j2  j 2 2и u zdz   u zdze    (ue ) zdz   (u ) zdz ,CCCC2    dw M 0   Re  u  zdz    Re   zdz  , где u*(z) – сопряженная скорость, а2 C2  C  dz  2w(z) – комплексный потенциал течения.Последнюю формулу также как и формулу, определяющуюрезультирующую сил давления по сопряженной скорости, или покомплексному потенциалу, называют формулой Чаплыгина.6Легко убедиться, что момент относительно произвольной точкиz0=x0+jy0 можно найти по тем же формулам, заменив в них z на z-z0.На контуре С и везде вне его сопряженную скорость u*(z) можноразложить в ряд Лорана видаu * (z)  a 0  a 1z 1  a 2 z 2  ...

.Вид разложения в ряд Лорана зависит от характера функции в точке, вокрестности которой проводится разложение. Показанный вид имеетразложение ограниченной аналитической функции в окрестностибесконечно удаленной от начала координат точки. Вне контура С (везде)сопряженная скорость как раз является такой ограниченной аналитическойфункцией.Подставим это выражение в формулу для М0.*2(u ( z ))  (a 0  a1z1 a2z2 ...)2 a 02 b2a0a1 a12  2a 0a 2n ,2nzzn 3 zгде bn – постоянные коэффициенты, вычисляемые понятным образом покоэффициентам ряда Лорана. b  2a12  2a 0a 2n dz (u(z))zdzaz2aa001nzzn2CC*2b a 12  2a 0 a 2   a zdz   2a 0 a 1dz   dz    nn dz zCCCC n 2 z22 0  2j  a 1  2a 0 a 2   0  2j  a 1  2a 0 a 2  ,так как интегралы по замкнутому контуру от всех остальных слагаемыхтождественно равны нулю.

Последнее проверяется непосредственноподстановкой z  re j и переходом к интегрированию по  от 0 до 2.Коэффициенты а0 и а1 были определены при рассмотрении подъемнойсилы: а0=V*; a 1   j , где V* - сопряженная скорость невозмущенного2j2потока, а Г – циркуляция потока вокруг контура С (циркуляция«присоединенного вихря»).2022Следовательно, M 0   Re  u* ( z ) zdz   2 Re jV*a 2 .CСкорость невозмущенного потока на комплексной плоскости можнозаписать в виде Ve j , т.е.

обозначив ее модуль V, а аргумент . Еслинаправление действительной оси плоскости комплексной плоскости zпринять за направление продольной оси (с обратным знаком), то  - уголатаки.Коэффициент а2 можно определить по общему правилу вычислениякоэффициентов ряда Лорана по известной u*(z), или рассмотрев интегралвида  u* ( z )zdz   (a0  a1z 1  a2z 2  ...)zdz  2ja2 .CC7Итак, для определения момента необходимо знать как скоростьневозмущенного потока, так и сопряженную скорость или комплексныйпотенциал течения на контуре С, либо уметь находить нужный коэффициента2.

Заметим, что для определения результирующей силы достаточно былознать скорость невозмущенного потока и уметь определять циркуляцию«присоединенного вихря».Для определения коэффициента а2 используют конформноепреобразование, т.е. используют тот же подход, что и при определениирезультирующей силы. Если найти преобразующую функцию z=f(), котораяосуществляет конформное преобразование из комплексной плоскости  наплоскость z, при котором окружность   re j (r – радиус окружности, а изменяется от 0 до 2) на плоскости  и внешняя по отношению кокружности часть этой плоскости переходит в контур С и во внешнюю поотношению к нему часть плоскости z, то а2 можно найти по сопряженнойскорости обтекания окружности и преобразующей функции.Действительно, так как u * ( z )  u * (  )uC*( z )zdz   u * (  )Cd, тоdzd1f (  )dz   u * (  )f (  )d , и a 2 u * (  )f (  )d .dz2jOrOrВыражение сопряженной скорости u * (  )  w (  ) и комплексногопотенциала w(  ) потока при циркуляционном обтекании окружности наплоскости  было получено при определении результирующей силы.

Еслипоток на плоскости  при  направлен вдоль действительной оси, тоw(  )  V  V r 2.Так какjln  , где V - скорость потока на плоскости  при2скорость V связана со скоростью невозмущенного потокаdz соотношением V*   u * ( z ) d   V * f (  )  , то в общем случае она необязательно направлена вдоль действительной оси, и ее можно представить ввиде V  V ej , где уголсоответствует углу атаки на плоскости . Крассмотренному ранее случаю можно перейти, повернув плоскость  на уголт.е., заменив  на eконформным, то ,w(  )  V e(константа j j .

Так как это преобразование являетсяV r 2V r 2 jj* jln( e)  V  ln 2 e  j 2 j(  j )2отброшена,таккаккомплексныйпотенциалопределяется с точностью до константы).8V r 2 jV r 2d  *j*ln   V  2 Таким образом u (  )  w (  )   V  .d 22*Если преобразующую функцию также представить в виде ряда Лоранаf (  )  c 1   c 0  c 1  1  c 2  2  ... , найти произведение u* (  )f (  ) и оставить в немлишь те слагаемые, которые содержат  1 (так как при интегрировании позамкнутому контуру все остальные все равно дадут нули), то можно найтинужный коэффициентa2 211j ** V ru()f()dVc1  c 0  c 1 1  c  2   2  ... d     22 j O2j O2 rr 12 j Orj   1j ...

  V*c 1  V r 2 c1 c 0   ... d  V*c 1  V r 2 c1 c0 ,2 2и формулу для определения момента относительно начала координатj  M 0  2  Re jV *a 2  2  Re jV *  V*c 1  V r 2 c1 c0  .2  Следует заметить, что в разложении f (  )  c 1   c 0  c 1  1  c 2  2  ...коэффициент с0 фактически определяет положение профиля на плоскости z(если на плоскости  центр обтекаемой окружности выбран в началекоординат), коэффициент с1 - устанавливает связь между скоростями«невозмущенного потока» V*  V * f (  )    V * c1 , а собственно формупрофиля определяют остальные коэффициенты.Величина циркуляции Г определяется из условия безотрывногообтекания профиля с конечной скоростью, т.е. совпадения точки сходапотока с профиля с его острой задней кромкой (постулат Чаплыгина).