1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (Михайлов, Войтишек - Лекционный курс)

.Ìèõàéëîâ Ã. À., Âîéòèøåê À. Â.ÌÅÒÎÄÛ ÌÎÍÒÅ-ÊÀÐËÎ(ðàñøèðåííûé ëåêöèîííûé êóðñ)ÀÍÍÎÒÀÖÈßÊíèãà âîçíèêëà èç îñíîâíîãî è íåñêîëüêèõ ñïåöèàëüíûõ êóðñîâ, êîòîðûå â òå÷åíèåìíîãèõ ëåò ÷èòàþòñÿ â Íîâîñèáèðñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå. Ïðåäñòàâëåíûêàê êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû, òàê è ïîñëåäíèå òåîðåòè÷åñêèå è ìåòîäè÷åñêèå ðàçðàáîòêè òåîðèè ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëåíîñîâðåìåííûì ïðèëîæåíèÿì ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî.Êíèãà ñîäåðæèò ïîäðîáíîå èçëîæåíèå ìåòîäîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíè ïðîöåññîâ, ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ è ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãîðîäà.

Ðàññìîòðåíû âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî ïðè ðåøåíèè çàäà÷òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ, êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèé è êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé â÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.Êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòîâ ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè óíèâåðñèòåòîâ è òåõíè÷åñêèõ âóçîâ. Îíà ïîëåçíà òàêæå øèðîêîìóêðóãó ñïåöèàëèñòîâ, èñïîëüçóþùèõ ìåòîäû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè â ðàçëè÷íûõïðèëîæåíèÿõ.ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅÏðè íàïèñàíèè äàííîé êíèãè àâòîðû ó÷èòûâàëè ÷ðåçâû÷àéíóþ âàæíîñòü ïðèëîæåíèé ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è âîçìîæíîñòü èäåàëüíîãî ðàñïàðàëëåëèâàíèÿìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî ïóòåì ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëåííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ èñïûòàíèé ïîîòäåëüíûì ïðîöåññîðàì.

Êðîìå òîãî, ó÷òåí óñïåøíûé îïûò ïðåïîäàâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåäìåòà íà ìàòåìàòè÷åñêîì è ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòàõ Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. êíèãå ïðåäñòàâëåíû êàê êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû, òàê è ïîñëåäíèå òåîðåòè÷åñêèåè ìåòîäè÷åñêèå ðàçðàáîòêè òåîðèè ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Îñîáîåâíèìàíèå óäåëåíî ñîâðåìåííûì ïðèëîæåíèÿì ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî.Êíèãà íàïèñàíà êàê ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ôàêóëüòåòîâ è îòäåëåíèé ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè óíèâåðñèòåòîâ è òåõíè÷åñêèõ âóçîâ. Äëÿ åå ïîíèìàíèÿ íåîáõîäèìî çíàêîìñòâî ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé è ôóíêöèîíàëüíûì àíàëèçîì â ñðàâíèòåëüíîíåáîëüøîì îáúåìå, ïðèìåðíî ñîîòâåòñòâóþùåì ïðîãðàììå ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå äëÿâòóçîâ.

Àâòîðû ñòàðàëèñü âñÿ÷åñêè óïðîñòèòü èçëîæåíèå, íå èñïîëüçóÿ â ïîëíîì îáúåìå àïïàðàò òåîðèè ìåðû è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è íàïîìèíàÿ íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿèç îáùèõ óíèâåðñèòåòñêèõ êóðñîâ. Êíèãà ñîäåðæèò ìíîãî ïðîñòûõ ïðèìåðîâ, ïîçâîëÿþùèõ ïðîèëëþñòðèðîâàòü îñîáåííîñòè ïðåäñòàâëåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ êîíñòðóêöèé.Ýòî äåëàåò áîëüøèíñòâî ðàçäåëîâ êíèãè äîñòóïíûìè øèðîêîìó êðóãó èíæåíåðîâ èíàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, èñïîëüçóþùèõ ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå â ñâîåé ðàáîòå.Ïðåäëàãàåìûé êóðñ íå ìîã áû áûòü íàïèñàí áåç àêòèâíîé ïîìîùè ñîòðóäíèêîâÈíñòèòóòà âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ãåîôèçèêè ÑÎ ÐÀÍ è êàôåäðû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.Âñåì èì àâòîðû ÷ðåçâû÷àéíî ïðèçíàòåëüíû.

Àâòîðû áóäóò áëàãîäàðíû ÷èòàòåëÿì çàêðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ êàê ê îòáîðó ìàòåðèàëà, òàê è ê âûáðàííîìóìåòîäó åãî èçëîæåíèÿ. Ýòè çàìå÷àíèÿ ìîæíî íàïðàâëÿòü ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàìgam@osmf.sscc.ru è vav@osmf.sscc.ru.Ã.À.Ìèõàéëîâ, À.Â.ÂîéòèøåêÂÂÅÄÅÍÈÅÑ ðàçâèòèåì âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè âîçðàñòàåò èíòåðåñ ê ÷èñëåííûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷, â ÷àñòíîñòè, ê ñòàòèñòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ (èëè ìåòîäóÌîíòå-Êàðëî) (ñì. [113], à òàêæå ñïèñêè ëèòåðàòóðû â ýòèõ ìîíîãðàôèÿõ). Èñòîðè÷åñêè èíòåíñèâíîå ðàçâèòèå òåîðèè è ïðèëîæåíèé ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî áûëî ñâÿçàíî ñðåøåíèåì àêòóàëüíûõ çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ â ïÿòèäåñÿòûõ ãîäàõ äâàäöàòîãî ñòîëåòèÿ.

Çà ïîñëåäíèå ïîëâåêà ñôåðà ïðèìåíèìîñòè ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèëàñü. Ðàçðàáîòàíà òåîðèÿ âåðîÿòíîñòíûõïðåäñòàâëåíèé ðåøåíèé çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, íà îñíîâå êîòîðîé ïîñòðîåíûñîîòâåòñòâóþùèå ÷èñëåííûå ñòîõàñòè÷åñêèå îöåíêè.

Ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ðàçðàáîòàíû òàêæå â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå (ìåòîä Ìåòðîïîëèñà, ñõåìà Èçèíãà), â ôèçè÷åñêîé è õèìè÷åñêîé êèíåòèêå (ìíîãî÷àñòè÷íûå çàäà÷è, ðåøåíèå óðàâíåíèé Áîëüöìàíàè Ñìîëóõîâñêîãî, ìîäåëèðîâàíèå ðåàêöèé è ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ), â òåîðèè ìàññîâîãîîáñëóæèâàíèÿ, â ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå, â òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè, â ìàòåìàòè÷åñêîéáèîëîãèè è äð.Ïîä ÷èñëåííûì ñòàòèñòè÷åñêèì ìîäåëèðîâàíèåì îáû÷íî ïîíèìàþò ðåàëèçàöèþ ñïîìîùüþ êîìïüþòåðà âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè íåêîòîðîãî îáúåêòà ñ öåëüþ îöåíèâàíèÿèçó÷àåìûõ èíòåãðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê íà îñíîâå çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë. ñàìîì îáùåì âèäå ñõåìà ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïóñòü íàì òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü íåêîòîðóþ âåëè÷èíó I . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìîæíîïîñòðîèòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ζ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì Eζ , ðàâíûì I , è ñ êîíå÷íîé äèñïåðñèåé Dζ , ïðè÷åì âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ζj ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ζ äîñòàòî÷íî ïðîñòî ðåàëèçóþòñÿ íà êîìïüþòåðå.

Ïîñòðîèâ áîëüøîå êîëè÷åñòâî n âûáîðî÷íûõçíà÷åíèé ζ1 , . . . , ζn , íà îñíîâå çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë ïîëó÷àåì ïðèáëèæåíèå èñêîìîé âåëè÷èíû:ζ1 + . . . + ζn.(0.1)I = Eζ ≈ ζ̄n =nÎñíîâíûìè ïðèìåðàìè âåëè÷èí I , äîïóñêàþùèìè òàêîå ïðåäñòàâëåíèå, ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëZI=è ëèíåéíûé ôóíêöèîíàëg(x) dxZIh = (ϕ, h) =ϕ(x)h(x) dxîò ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäàZϕ(x) = k(x0 , x)ϕ(x0 ) dx0 + f (x).Ïðè ýòîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ èç (0.1) èìååò âèä ζ = q(ξ), ãäå ξ ñëó÷àéíûé âåêòîðèëè ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (íàïðèìåð, îáðûâàþùàÿñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöàöåïü Ìàðêîâà) ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì.Êëþ÷åâûì ìîìåíòîì ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðèáëèæåíèÿ (0.1) ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòüýôôåêòèâíîé ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è âåêòîðîâ íà ÝÂÌ.Îïèñàíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ àëãîðèòìîâ ïîñâÿùåíà ãëàâà 1 "Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõâåëè÷èí". ×åòêî âûäåëåíû îñíîâíûå ìåòîäû è èõ ìîäèôèêàöèè (â òîì ÷èñëå, ðàçðàáîòàííûå íå òàê äàâíî ìåòîä Óîëêåðà, äâóñòîðîííèé ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ, äèñêðåòíîñòîõàñòè÷åñêèå ìåòîäû è äð.).

Âî âòîðîé ãëàâå â êðàòêîé ôîðìå îòðàæåíû ñîâðåìåííûå ÷èñëåííûå ìîäåëè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è ïîëåé.  òðåòüåé ãëàâå îñîáîå âíèìàíèåóäåëåíî ìåòîäàì óìåíüøåíèÿ òðóäîåìêîñòè àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ è àíàëèçó ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äåòåðìèíèðîâàííûìè êóáàòóðíûìè ôîðìóëàìè è ìåòîäàìè Ìîíòå-Êàðëî. Äîñòàòî÷íî ìíîãî ïðèíöèïèàëüíûõ òåîðåòè÷åñêèõè ìåòîäè÷åñêèõ óëó÷øåíèé (ïî ñðàâíåíèþ ñ èçäàííûìè ðàíåå ó÷åáíèêàìè è ïîñîáèÿìè) ïðåäñòàâëåíî â ÷åòâåðòîé ãëàâå "Âû÷èñëåíèå ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèÿèíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà". Ïðèâåäåí ðÿä íîâûõ êðàòêèõ îáîñíîâàíèé (â÷àñòíîñòè, óñëîâèé îáðûâà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà è êîíå÷íîñòè ÷èñëà ïåðåõîäîâ äëÿöåïè Ìàðêîâà ñ ïîãëîùàþùèìè ñîñòîÿíèÿìè), ïîêàçàíû âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ ðåêóððåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé, âåêòîðíûõ è ëîêàëüíûõ îöåíîê, à òàêæå ñïåöèàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (ðàñøèðåíèå ìíîæåñòâà êîîðäèíàò ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ðàíäîìèçàöèÿ,ïàðàìåòðè÷åñêîå äèôôåðåíöèðîâàíèå).

Òðàäèöèîííî âàæíîå ìåñòî çàíèìàþò âîïðîñûîïòèìèçàöèè âåñîâûõ ìåòîäîâ Ìîíòå-Êàðëî (ìîäåëèðîâàíèå ïî öåííîñòè, ìåòîäû ïîíèæåíèÿ äèñïåðñèè è äð.). Íîâûé ñîâðåìåííûé òåîðåòè÷åñêèé ðàçäåë "Ôóíêöèîíàëüíûåîöåíêè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî"ïðåäñòàâëÿåò ïÿòàÿ ãëàâà ó÷åáíèêà. Ñëåäóþùèå äâå ãëàâûïîñâÿùåíû îñíîâíûì ïðèëîæåíèÿì ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî. Íàçâàíèå ãëàâû 6 'Ðåøåíèå çàäà÷ òåîðèè ïåðåíîñà ÷àñòèö' è íàçâàíèå ãëàâû 7 'Ðåøåíèå êðàåâûõ çàäà÷ äëÿýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé' ÿâëÿþòñÿ òðàäèöèîííûìè, îäíàêî ìíîãèå èç ðåçóëüòàòîâ,êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû â ýòèõ ãëàâàõ, ÿâëÿþòñÿ ïðèíöèïèàëüíî íîâûìè ïî ñðàâíåíèþñ îïóáëèêîâàííûìè ðàíåå ó÷åáíèêàìè è ïîñîáèÿìè.

 ÷àñòíîñòè, ïîñòðîåíèå è èññëåäîâàíèå êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà "áëóæäàíèÿ ïî ñôåðàì"îñóùåñòâëÿþòñÿ ïîëíîñòüþ íàîñíîâå ÷àñòè÷íîãî îñðåäíåíèÿ èçâåñòíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ïðåäñòàâëåíèé ðåøåíèé êðàåâûõ çàäà÷.Îòìåòèì, ÷òî ìàòåðèàëû äàííîãî ó÷åáíèêà ïðîøëè øèðîêóþ àïðîáàöèþ â Íîâîñèáèðñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ñòóäåíòîâ 4-ãî êóðñàìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ ìíîãèå ãîäû ÷èòàåòñÿ îñíîâíîé ïîëóãîäîâîé êóðñ "Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî", â êîòîðûé âõîäÿò ìàòåðèàëû èç ïîäðàçäåëîâ 1.1.12, 1.1.4, 1.2.13, 1.3.12, 1.4.1, 1.4.3, 1.5.12, 1.6.13, 1.7.12, 1.8.1, 1.8.34, 1.9.1, 1.9.4,1.10.14; 2.1.14, 2.2.12, 2.6.1, 3.1.13, 3.2.12, 3.4.12, 3.5.14, 3.6.1, 3.6.3, 4.1, 4.2, 4.3.16, 4.4, 4.5.1, 4.7.12, 4.9.1, 5.2.1, 6.1, 6.2.12, 6.3, 6.5, 7.1.13, 7.2.12, 7.3.

Íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñåìèíàðàõ äåòàëüíî ïðîðàáàòûâàþòñÿ àëãîðèòìû ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî äëÿìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ. Ðàçäåëû, íå âîøåäøèå âîñíîâíîé êóðñ ñëóæàò îñíîâîé ÷èòàåìûõ â ÍÃÓ ñïåöèàëüíûõ êóðñîâ "Äîïîëíèòåëüíûåñâåäåíèÿ î ìîäåëèðîâàíèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ÷èñëåííîì ñòîõàñòè÷åñêîì èíòåãðèðîâàíèè", "Ìîäåëèðîâàíèå ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ"è "Ôóíêöèîíàëüíûå îöåíêè ìåòîäàÌîíòå-Êàðëî".Ïðè íàïèñàíèè äàííîãî ó÷åáíèêà èñïîëüçîâàíû ìíîãî÷èñëåííûå êíèãè è ñòàòüè ïî÷èñëåííîìó ñòàòèñòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ, â òîì ÷èñëå, ìîíîãðàôèè è ó÷åáíèêè [113].  ñâÿçè ñ ýòèì ìàòåðèàëû äàííîãî ó÷åáíèêà íåëüçÿ ñ÷èòàòü íîâûìè, îðèãèíàëüíûìè. Ïðåäñòàâëåíû ïðåæäå âñåãî ìåòîäè÷åñêè âûâåðåííûå, àïðîáèðîâàííûå â ó÷åáíîìïðîöåññå ìàòåðèàëû.