Белов и Чуев метода по ОИ, страница 5

y = x + 4, y = 2 − x, y = 0.8. y = arctg x, y = arctg(2x − 4), y = 0.9. y = −4, y = ln x и касательная к этой линии в точкепересечения ее с осью OX.10. y = ln(−x), y = ln(x + 4), y = ln 6.11. y 2 = x/4, y 2 = x − 3.12. y = ln(x + 1), y = 2 ln(x − 1), y = 0.√13. y = 1 − x, y = 1 − x/3.14. y = ex − 1, y = e2x − 3, x = 0.15. y = 3 − x2 , y = 2x.16.

y = arcsin x и прямая, проходящая через концы этой линии.17. y 2 = x + 2, y 2 = 4 (3 − x).18. x = 0, y = ex − e и касательная к этой линии в точкепересечения ее с осью OX.19. y = ex − 1, y = 2e−x , x = ln 4.20. y = arcsin x, y = − arcsin(x − 2), y = −π/2.21. y = ex − 1, y = ex /4, y = 1/4.22. y = 2 ln x, y = − ln x, x = e.23. (y − 3)2 = 4x, y = x.24. y 2 = − 4x, y 2 = 3 − x.25. y = π/4, y = arctg x и касательная к этой линии в началекоординат.26. y = ln(xx, y = 0.√ + 2), y = 2 ln√227. y = 4 1 − x , y = 1/ 1 − x2 .28. y = 2/(x + 2)2 , y = 1/2 − 5x.29. y = xe2x , y = xe−2 .30.

y = arcsin x, y = arctg 2x.Задача 2. Фигура, расположенная на плоскости OXY, вращается около координатной оси. Вычислить объем полученного телавращения.Для каждого номера варианта заданы линии, ограничивающиефигуру, и ось вращения.39Таблица 1НомерУравнения линий, ограничивающих фигуруварианта√1y = arcsin x, y = (π/2) 3 x√√2y = x, y = 2x − 4, y = 0√√3y = x + 4, y = 2 − x, y = 0√4y = 3 x, y = 0, x = 8√5y = 2 − x, y = (x/2)2 − 4, x = 0OYOYOXOYOY6y=x , y=x7y = ln(x + 1), x = 5, y = 0√√x = 6 − y при y > 2, x = 4 − 2y при y 6 2,x = 0, y = 0OYy = (x − 2)2 , y = 4 − x2OX89101112131415161718192021222340Осьвращения31/32OYOY2OXy = e − 1, y = 2, x = 0OXy = 2 − x /2, y = 4 − 5x /2x2(y − 2) = 4 − x, x = 0OXy = arctgx, x = 1, y = 0√√y = 2x, y = 8 − 2x, y = 0OYy = 4x2 − 4, y = x2 − 1OXy = ln x, y = 2 − ln x, y = 0y = 2 sin x и ветвь тангенсоиды y = tg x, проходящая через начало координат√√y = 2 x, y = 6 − x, x = 0√√y = 5 − x, y = 2 x − 1, x = 0x = 4, y = ln x и касательная к этой кривой вточке пересечения ее с осью OX√√y = x + 1, y = 3 x + 12y = (x/2) , y = x − 1, x = 0y = 0,y = 1+sin x (между двумя соседнимиточками касания этой линии с осью OX)OYOYOXOYOYOYOYOYOXОкончание табл.

1НомерУравнения линий, ограничивающих фигурувариантаОсьвращенияy = ex , y = 4e−x , y = 4√√x = y, x = 4 − y, y = 0√√y = x, y = 2 − x − 4, y = 0OX24252627282930y = ln(x − 1), x = 3, y = 0x = 2, y = arcsin(x/2) и касательная к этойкривой в начале координат√x = 0, y = 4 − 2 x и касательная к этой линиив точке ее пересечения с осью OX√√y = 2 x, y = 6 − x, y = 0OXOYOYOYOYOXЗадача 3. Вычислить площадь фигуры. Для каждого номераварианта задана соответствующая фигура.√1.

Внутри окружности ρ = 6 cos ϕ и одновременно внелемнискаты ρ2 = 9 cos 2ϕ.2. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos ϕ и одновременно внутриокружности ρ = 1.3. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos ϕ и одновременно вне кардиоиды ρ = 3 (1 − cos ϕ).√4. Внутри окружности ρ = 6 cos ϕ и одновременно внутрилемнискаты ρ2 = 9 cos 2ϕ.5. Внутри кардиоидыρ = 1 + cos ϕ и одновременно внутри√окружности ρ = 3 sin ϕ.6. Внутри окружности ρ = 1 и одновременно внутри кардиоиды ρ = 2(1 − cos ϕ).7. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos ϕ и одновременно вне окружности ρ = − cos ϕ.8.

Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos ϕ и одновременно внутриокружности ρ = 3 cos ϕ.√9. Внутри окружности ρ = 3 sin ϕ и одновременно внутрикардиоиды ρ = 1 − cos ϕ.10. Внутри√ кардиоиды ρ = 1−cos ϕ и одновременно вне окружности ρ = 3 sin ϕ.11. Внутри кардиоиды ρ = 1 − cos ϕ и одновременно внутриокружности ρ = cos ϕ.4112. Между двумя лемнискатами ρ2 = 4 cos 2ϕ и ρ2 = cos 2ϕ.ρ2 = cos 2ϕ и одновременно внутри13. Внутри лемнискаты√окружности ρ = 2 sin ϕ.14. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos ϕ и одновременно слева отпрямой ρ = 3/(4 cos ϕ).15. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos ϕ и одновременно вне кардиоиды ρ = 1 − cos ϕ.16. Внутри окружности ρ = 3 и одновременно вне кардиоидыρ = 2(1 + cos ϕ).17. Внутри лемнискаты ρ2 = 2 cos 2ϕ и одновременно внеокружности ρ = 1.√18.

Внутри окружности ρ = 3 sin ϕ и одновременно внекардиоиды ρ = 1 − cos ϕ.19. Внутри правой ветви√лемнискаты ρ2 = 9 cos 2ϕ и одновременно вне окружности ρ = 6 cos ϕ.√2 |sin 2ϕ| и20. Внутри четырехлепестковой розы ρ =одновременно внутри окружности ρ = 1.21. Внутри окружности ρ = cos ϕ и одновременно вне кардиоиды ρ = 1 − cos ϕ.22. Внутри окружности ρ = sin ϕ и одновременно вне трехлепестковой розы ρ = sin 3ϕ.23. Внутри окружности ρ = 1 и одновременно внутри кардиоиды ρ = 2(1 + cos ϕ).24.

Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos ϕ и одновременно внекардиоиды ρ = 1 + sin ϕ.25. Внутри кардиоиды ρ = 1 + cos ϕ и одновременно справа отпрямой ρ = 3/(4 cos ϕ).26. Внутри окружности ρ = sin ϕ и одновременно вне четырехлепестковой розы ρ = |sin 2ϕ|.27. Внутри окружностиρ = 2(sin ϕ − cos ϕ) и одновременно√вне окружности ρ = 6.28. Внутри√кардиоиды ρ = 1+cos ϕ и одновременно вне окружности ρ = (1/ 3) sin ϕ.29.

Внутри окружности ρ = 3/2 и одновременно вне кардиоиды ρ = 3(1 − cos ϕ).30. Внутри кардиоиды ρ = 3(1+cos ϕ) и одновременно внутрикардиоиды ρ = 1 − cos ϕ.42Задача 4. Вычислить длину дуги кривой.Таблица 2НомервариантаУравнение кривойВнутри ветвей гиперболыxy = 41x2 + y 2 = 172y = ch(2x)/2√y = e2x + 1/23456y 6 (1/2) ch 61 ex − e−xy = ln x−x( 2 e +ex = a cos3 ty = a sin3 tOграничения на переменные,(1/2) ln 3 6 x 6 (1/2) ln 24(1/4) ln 2 6 x 6 (1/4) ln 5–a>0y 2 = 2(x − 1)3 /3Внутри параболы y 2 = x/3y = 1/ cos 2x0 6 x 6 π/8y = x2 /8 − ln x16x62ρ = a/ cos3 (ϕ/3), a > 006 ϕ6 π10y 2 = 4x3Внутри окружностиx2 + y 2 = 3x/211ρ = 3 (1 + sin ϕ)12ρ = a sin (ϕ/4), a > 013x2 + 2x − y = 078914151617184–ϕ ∈ [0; 2π]y60y = 2 ln[sin(x/2)]2π/3 6 x 6 4π/3ρ = a cos (ϕ/3), a > 0(x = t − sin tϕ ∈ [0; 3π/2]3y = 1 + cos t√y = 2 ln(2 − x2 ),√y = (3 − x) x/306t6 π−1 6 x 6 1y>043Окончание табл.

2НомервариантаУравнение кривойOграничения на переменные19y = 6/ sin(x/3)π/2 6 x 6 2π20ρ = 1 − cos ϕВнутри окружностиρ = cos ϕ21y = 6/cos(x/3)y 6 1222ρ = 2(1 + cos ϕ)Вне окружности ρ = 1235x3 = y 2Внутри окружности x2 ++ y2 = 624y = 4 ln[sin(x/4)]√y = (x − 12) x/6252627282930x2 + y 2 = 10(x = t2y = t − t3 /3√√y = arccos x − x − x2y = 1/ sin 2x(x = a (3 cos t − cos 3t)y = a (3 sin t − sin 3t)a>0π 6 x 6 3πy60Внутри ветвей гиперболыxy = 3Между точками пересеченияс осью OX06x61π/6 6 x 6 π/3где 0 6 t 6 π/2Задача 5. Вычислить площадь поверхности, полученной привращении заданных линий вокруг заданной оси.Таблица 3Номерварианта123444Уравнение кривой√y = ex + 1√√y = (1/3) x2 − x2y =4+x22x + (y − 2) = 8Oграничения напеременныеОсьвращения06x63OXy60OXx62OXy>0OXПродолжение табл.

3НомервариантаУравнение кривой5y = x3 /36y = (1/2) ch(2x)789101112y=e−x/2y 6 (1/2) ch 6OXx>0OXOXy = 2px, p > 0x 6 p/2(x = a cos3 t–, a>0y = a sin3 t√y = 4 − x и касательная кэтой кривой в точке ее пере- x > 0сечения с осью OY√y = 2 x, касательная к этой–кривой в точке с абсциссойx0 = 1 и ось OXOX2y = cos x159x2 + y 2 = 919OXx + (y − 4) = 11418−2 6 x 6 22y = x3 ,17Осьвращения–21316Oграничения напеременныеy = 4xy = (x + 2)3 и касательная кэтой кривой в точке ее пересечения с осью OY(√ 2x=3tмежду точy = t − t3ками пересечения с осьюOXx2 + (y + 3)2 = 4(x = t3 /3y = 4 − t2 /2OXOXOXx>0OX−π/2 6 x 6 π/2OX–OX–OX–OX–OXx > 0, y > 0OX204x2 + y 2 = 4–OX21ρ2 = 9 cos 2ϕ√y = (1/2) e−2x + 1–полярнаяось220 6 x 6 ln 4OX45Окончание табл. 3Номерварианта2324252627Уравнение кривойx2 + (y − 1)2 = 4√√y = 2x,y = 8 − 2xρ = a(1 − cos ϕ), a > 0py = x/2(6 − x)/32Oграничения напеременныеОсьвращенияy>0OXy=0OX–y=0OX–2x + 4y = 4полярнаяосьOX28y = 4(x + 4)x60OX29y = sin(x/2)0 6 x 6 2πOXy65OX302y=ex/4+ 4e−x/4СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.

Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральноеисчисление функции одного переменного. М.: Изд-во МГТУим. Н.Э. Баумана, 1999.2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления:В 2 т. Т. 1. М.: Интеграл-Пресс, 2001.3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988.4. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 1985.5. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.:Высш. шк., 1989.6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 ч.Ч.

1. М.: Высш. шк., 1982.7. Морозова В.Д. Введение в анализ. М.: Изд-во МГТУим. Н.Э. Баумана, 1996.8. Определенный интеграл. Метод. указания для выполнения домашнего задания / Я.Г. Ковалев, Ю.Г. Киреева, М.С. Лунева, А.А. Тесалина М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1987.9. Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А. Определенный интеграл. Метод. указания к выполнению домашнего задания. М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.ОГЛАВЛЕНИЕ1. Основные теоретические сведения .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Основные свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Вычисление определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.2. Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . .2.1. Вычисление площади плоской фигуры в декартовойсистеме координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Вычисление площади плоской фигуры, заданнойв параметрическом виде . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Вычисление площади плоской фигуры в полярныхкоординатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Вычисление объема тела по площадям его поперечныхсечений . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5. Вычисление объемов тел вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6. Вычисление длины дуги плоской кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7. Вычисление площади поверхности вращения . . . .

. . . . . . . . . . .3. Задания типового расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3357991416202127333847.