Белов и Чуев метода по ОИ, страница 3

При вычислении S1 угол ϕ изменяется от нижнейграницы α = 0 до верхней границы β = π/12 и следует использовать уравнение лемнискаты ρ = ρ2 (ϕ), а при вычислении S2угол ϕ меняется от β = π/12 до γ = π/4 и надлежит использоватьуравнение окружности ρ = ρ1 (ϕ). IПример 12. Вычислить площадь фигуры, расположенной внуρ1 = 2(1 − cos ϕ) и одновременно вне окружноститри кардиоиды√ρ2 = 2 3 sin ϕ, ϕ ∈ [0; 2π] (рис.

12).Рис. 12√J Из условияρ1 (ϕ) = ρ2 (ϕ), т. е. 1−cos ϕ = 3 sin ϕ, находим√ϕϕϕϕточки пересечения кривых: 2 sin2 = 2 3 cos sin ⇒ sin ×2222ϕ √ϕ= 0. Отсюда для ϕ ∈ [0; 2π] получаем× sin − 3 cos22√ϕϕϕϕ= 0;= π ⇒ ϕ1 = 0; ϕ2 = 2π и tg = 3 ⇒sin = 0 ⇒2222ϕπ2π.⇒ = ⇒ ϕ3 =23318Найденные значения ϕ определяют искомые пределы интегрирования. Обозначим: Si — площадь части кардиоиды при изменении ϕ от 2π/3 до 2π, S2 — площадь части круга при изменении ϕ от 2π/3 до π, а S — площадь заданной фигуры. ТогдаZ2πZπZ2π11122S = S1 −S2 =ρ1 (ϕ)dϕ−ρ2 (ϕ)dϕ = ∙4 (1−2 cos ϕ+2222π31+cos ϕ)dϕ− ∙1222−3Zπ2π3Zπ2π32sin (ϕ)dϕ = 22π3(1 − cos 2ϕ)dϕ =Z2π 2π32π3cos2 ϕ3dϕ−−2 cos ϕ+22sin 2 ϕ 2π3ϕ − 4 sin ϕ + 2π −23√√√33sin 2 ϕ π−3 ϕ−− 3π −+ 2π == 6π − 2π + 2 3 +2π2443√= 3π + 2 3.

IПример 13. Вычислить площадь S фигуры, расположеннойвнутри кардиоиды ρ(ϕ) = 4(1+cos ϕ) выше прямой x+2y −8 = 0(рис. 13).Рис. 13J Искомая площадь S = S1 − S2 , где S1 — площадь участка внутри кардиоиды ρ1 (ϕ) = 4(1 + cos ϕ) при изменении ϕ от19α = 0 до β = π/2, а S2 — площадь прямоугольного треугольникаZπ/2Zπ/212ρ1 (ϕ)dϕ = 8 (1 + 2 cos ϕ +OAB. Таким образом, S1 =20Zπ/20cos 2 ϕ33dϕ = 8ϕ+2 sin ϕ++cos ϕ)dϕ = 8+ 2 cos ϕ +222 π/2 0 sin 2 ϕ 13π+=8+2= 6π + 16, а S2 = S ΔOAB = OA ×24401×OB = ∙ 4 ∙ 8 = 16.2Отметим, что S ΔOAB можно вычислить, используя заданиепрямой x + 2y − 8 = 0 в полярных координатах ρ2 (ϕ) = 8/(cos ϕ +Zπ/2Zπ/21dϕ2+ 2 sin ϕ): S2 =ρ2 (ϕ)dϕ = 32=2(cos ϕ + 2 sin ϕ)22Zπ/20Zπ/20dϕ1d(2 tg ϕ + 1)= 32 ∙=2(2 tg ϕ + 1)2cos2 ϕ(1 + 2 tg ϕ)200 π/2 π/2ϕcos16=−16= −16(0 − 1) = 16.=−2 sin ϕ + cos ϕ 02 tg ϕ + 1 0Окончательно получаем S = S1 − S2 = 6π.

I= 322.4. Вычисление объема тела по площадямего поперечных сеченийЕсли известна площадь S(x) любого сечения тела плоскостью,перпендикулярной некоторой прямой (которую принимают за осьOX), в точке с абсциссой x, то объем этого тела можно вычислитьпо формулеZbV = S(x)dx,(6)aгде a и b — абсциссы крайних сечений тела (рис. 14). Для существования интеграла (6) достаточно, например, непрерывности функции S(x).20Рис. 14x2 y 2 z 2Пример 14. Вычислить объем эллипсоида 2 + 2 + 2 = 1.abcJ Сечением эллипсоида плоскостью, перпендикулярной осиOX, т. е.

параллельной плоскости Y OZ и отстоящей на расстояниеz2x2y2|x| от нее (при |x| 6 a), является эллипс 2 + 2 = 1 − 2 ,bcay2z2или p2 + p2 = 1 с полуосями bX =b 1 − x2 /a2c 1 − x2 /a2pp= b 1 − x2 /a2 и cX = c 1 − x2 /a2 . Площадь этого эллипса S(x)равна произведению длин полуосей, умноженному на число π (см.пример 10). Следовательно, S(x) = πbX cX = πbc(1 − x2 /a2 ) дляZax2x3 ax ∈ [−a, a]. Тогда V = πab 1 − 2 dx = πab x − 2 =a3a=4πabc. I3−a−a2.5.

Вычисление объемов тел вращенияЕсли криволинейная трапеция, ограниченная непрерывнойкривой y = y(x) = f (x), осью OX и двумя прямыми x = a иx = b (a < b), вращается вокруг оси OX (или вокруг оси OY )(рис. 15), то объемы полученных таким образом тел рассчитывают21соответственно по формуламиVOX = πZb2[y(x)] dx =πaVOY = 2πZbaZbf 2 (x)dx,(7)Zb(8)a|xy(x)| dx =2πa|xf (x)|dx.Рис.

15Замечание. Величина πy 2 (x) есть площадь S(x) поперечногокругового сечения (см. формулу (6)).Если же криволинейная фигура, ограниченная двумя прямымиx = a, x = b (a < b) и двумя непрерывными кривыми y = f1 (x)и y = f2 (x), причем 0 6 f1 (x) 6 f2 (x) при x ∈ [a, b] (рис. 16)вращается вокруг оси OX (или вокруг оси OY ), тоVOX = πZbaVOY = 2πZbaf22 (x) − f12 (x) dx,|x (f2 (x) − f1 (x))| dx.(9)(10)Заметим, что VOX = V2X − V1X , где ViX — объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси OX криволинейной22Рис. 17Рис.

16фигуры, ограниченной кривой y = fi (x), прямыми x = a, x = b(a < b) и осью OX (сравните с формулой (7)). Аналогичные рассуждения касаются и VOY (см. формулу (8)).Объем VOY тела, полученного вращением вокруг оси OY криволинейной трапеции, ограниченной осью OY двумя прямымиy = c, y = d и кривой, задаваемой уравнением вида x = g(y)(рис. 17), может быть вычислен по формулеZdVOY = π g 2 (y)dy.(11)сВ более общем случае вращения вокруг оси OY криволинейной трапеции с двумя криволинейными границами, задаваемымиуравнениями вида x = g1 (y), x = g2 (y) (0 6 g1 (y) 6 g2 (y))(рис. 18), объем полученного тела вращения рассчитывают по формулеZdVOY = π(12)g22 (y) − g12 (y) dy.сПример 15.

Вычислить объем VOX тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = f1 (x) == x2 и y = f2 (x) = 2 − x (рис. 19).J Заданные линии пересекаются в точках A(−2; 4) и B(1; 1).Объем тела, полученного при вращении вокруг оси OX фигуры AOB, может быть представлен как разность объемов тел,полученных вращением вокруг оси трапеции MABN и криволинейной трапеции MAOBN (см. формулу (9) и комментарий к ней):23Рис. 18VOX = V2X − V1X = πРис. 19Zbaf22 (x)−f12 (x)dx = πZ1 (2 − x)2 −−25 11164x+−−(x2 )2 dx = π − (2 − x)3 −= π −3335−272 π1 32=+−.I555Пример 16.

Вычислить объем V тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями f1 (x) = x2 + 1,f2 (x) = x, x = 0, x = 1 (рис. 20).Рис. 20J В данном случае целесообразнее воспользоваться формулой (10).24Поскольку выражение, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то знак модуля можно опустить. Область изменения переменной x определяет пределы интегрирования — x = 0 и x = 1:ZbZ1VOY = 2π |x (f1 (x) − f2 (x))| dx = 2π x (x2 + 1) − x dx =a= 2πZ1001x − x + x dx = 2π(x /4 − x /3 − x /2) = 5π/6. I324320Пример 17.

Вычислить объемVOX тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченнойлиниями: y = f1 (x) =√= 2 x − 1, y = f2 (x) = 4 − x и осьюOX (рис. 21).√J Кривые f1 (x) = 2 x − 1Рис. 21и f2 (x) = 4 − x пересекаютсяв точке (2; 2). √C осью OX линия f1 (x) = 2 x − 1 пересекается в точке (1; 0), а прямая f2 (x) = 4 − x — в точке (4; 0). Так как верхняя граница фигуры является составной, то объем искомого тела следует находить как сумму объемов V1X и V2X , гдеZ2Z42V1x = π f1 (x)dx, а V2x = π f2 (x)dx: VOX = V1X +1+ V2X = πZ21+πZ42+2√(2 x − 1)2 dx + π(4 − x)2 dx = 4π148ππ. I=33(x −2Z421)2(4 − x)2 dx = 4πZ21(x − 1)dx + 23 4 + π − (4 − x) = 2π +312Пример 18. Вычислить объем VOY тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями y 2 − 4y ++ x = 0 и x = 0 (рис.

22).25J Воспользуемся формулой (11).Точки пересечения параболы x == g(y) = 4y − y 2 с осью OY определяют пределы интегрирования: c = 0,Z4d = 4. Тогда VOY = π [g(y)]2 dx =0= πРис. 22Z40[4y − y 2 ]2 dx = π 163y 3 − 2y 4 +1 4512 π+ y5 =. Объем этого же тела можно найти и5150по формуле (10). Верхняя граница фигуры задается уравне√нием f2 (x) = 2 + 4 − x, а нижняя граница — уравне√нием f1 (x) = 2 − 4 − x. Поскольку выражение под знаком модуля в формуле (10) для рассматриваемого случая неотрицательно, знак модуля можно опустить.

Таким образом,ZbZ4 √VOY = 2π |x (f2 (x) − f1 (x))| dx = 2π x 2 + 4 − x − (2 −a√− 4 − x) dx = 4π0Z4Z4√√x 4 − xdx = 4π [4 − (4 − x)] 4 − xdx =0 √ 4 0512 π( 4 − x)5 4 √− ( 4 − x)3 =.I= 4π51530Пример 19. Вычислить объем VOY тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линиями y = arccos xи y = arccos (x/3) (рис. 23).J Интегрирование выполняем по переменной y, для этого находим другие задания кривых x = g1 (y) = cos y, x = g2 (y) = 3 cos y.Zβg22 (y) − g12 (y) dy =Тогда по формуле (12) получаем VOY = πα26Рис.

23π/2π/2RRcos2 y dy = 4π (1 +9 cos2 y − cos2 y dy = 8π00 π/2 0+ cos 2y)dy = 4π (y + (1/2) sin 2y) = 2π2 . I= ππ/2R02.6. Вычисление длины дуги плоской кривойЕсли кривая задана на отрезке [a, b] уравнением y = f (x), гдеf (x) — непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция,то длину этой кривой вычисляют по формулеZb pl=1 + [f 0 (x)]2 dx.(13)ax = ϕ(t), гдеy = ψ(t)t ∈ [α, β], ϕ (t) , ψ (t) — непрерывно дифференцируемые на отрезке [α, β] функции, то длину этой кривой вычисляют по формулеЕсли кривая задана в параметрическом видеl=Zβ q[x0 (t)]2α+[y 0 (t)]2 dt=Zβ q[ϕ0 (t)]2 + [ψ0 (t)]2 dt.(14)αФормулу (13) можно получить из (14), если в качестве параметраt взять x.Если кривая задана в полярных координатах уравнениемρ = ρ(ϕ), где ϕ ∈ [α, β], ρ (ϕ) — непрерывно дифференцируемая27на отрезке [α, β] функция, то длину дуги кривой вычисляют поформулеZβ qρ2 (ϕ) + (ρ0 (ϕ))2 dϕ.(15)l=αЗамечание.

В формулах (13) — (15) выражения, стоящие подзнаком интегралов, представляют собой дифференциалы длиныдуги dl при соответствующих заданиях кривых.Пример 20. Найти√ периметр P фигуры, ограниченной кривыми y 3 = x2 и y = 2 − x2 (рис. 24).Рис. 24J Первая из кривых — полукубическая парабола, вторая — полуокружность x2 + y 2 = 2 (y > 0). Найдем точки пересечениязаданных кривых M и N с помощью уравнения y 3 = 2 − y 2 . Отсюда M (−1; 1), N (1; 1). Поскольку обе кривые симметричныотносительно оси OY , lM R = lRN , lOM = lON , а следовательно,P = 2(lON + lRN ).

Вычислим длину дуги lRN :Zb q√√022y = 2 − x , y = −x/ 2 − x . Тогда lRN =1 + (yx0 )2 dx ==Z10sa1√ Z√dxx 1 √ πx21+dx = 2 √= 2 arcsin √ = 2 .2 − x242 02 − x20Более громоздко вычисление длины дуги lON : lON =√Zb qZ1 s324xy= =√1+ √=1 + (yx0 )2 dx = 0dx =33y = 2/(3 x)9 x2a280=Z1 qx2/33dx+ 4/9 1/3 =2x03=2Z1 qx2/3 + 4/9dx2/3 =Z1 q0x2/3+ 4/9d(x2/32/3+4/9) = (x3 1+4/9) 2 =00√1(13 13−8).27Как видно, интегрирование по переменной x весьма не просто.y за незавиВычислим вторым способом длину дугиp lON , приняв √симую переменную. При этом x(y) = y 3 , x0y (y) = 3 y/2. Тогда Zd qZ1 r2989 3/2 10lON =1 + xy dy =1+ y1 + ydy = =42740c√0= (13 13 − 8)/27.h √В итоге имеем P = 2(lON + lN R ) = 2 ∙ (13 13 − 8)/27 +√+ 2π/4.