Белов и Чуев метода по ОИ

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаМетодические указанияВ.Н. Белов, А.В. Косова, В.Ю. ЧуевОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаВ.Н. Белов, А.В. Косова, В.Ю. ЧуевОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛМетодические указанияк выполнению типового расчетаМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2009УДК 517.3ББК 22.161.1Б435РецензентЕ.А. ВласоваБ435 Белов В.Н., Косова А.В., Чуев В.Ю.Oпределенный интеграл: Метод.

указания к выполнению типового расчета. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. –48 с.В методических указаниях изложены основные понятия, свойстваи способы вычисления определенного интеграла, указания к их применению, а также примеры использования формул; даны условиявариантов типового расчета.Для студентов 1-го курса технических вузов.УДК 531.3ББК 22.161.1Учебное изданиеБелов Владимир НиколаевичКосова Анна ВладимировнаЧуев Василий ЮрьевичОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛРедактор А.К.

ЯковлеваКорректор Г.С. БеляеваКомпьютерная верстка В.И. ТовстоногПодписано в печать 04.02.2009. Формат 60×84/16.Усл. печ. л. 2,79. Тираж 3000 экз. Изд. № 33.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. БауманаТипография МГТУ им. Н.Э. Баумана105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20091. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ1.1. Основные понятияПонятие об определенном интеграле проиллюстрируем на примере вычисления площади S криволинейной трапеции, т. е.

фигуры, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции y = f (x), вертикальными прямыми x = a, x = b и осью OX(рис. 1). Разобьем отрезок [a, b] на n произвольных частей точками xi такими, что a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b.В каждом из полученных отрезков разбиения [xi−1 , xi ] возьмемпроизвольную точку ξ[xi−1 , xi ] и обозначим Δxi = xi − xi−1 ,λ = max Δxi , i = 1, 2, . . . , n.iРис. 1Составим сумму σn = f (ξ1 )Δx1 +f (ξ2 )Δx2 +.

. .+f (ξn )Δxn =nX=f (ξi )Δxi , которую назовем интегральной суммой дляi=1функции f (x) на отрезке [a, b], соответствующей данному разбиению отрезка [a, b] и данному выбору промежуточных точек ξi .3Геометрический смысл интегральной суммы σn при f (x) ≥≥ 0 очевиден — это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δx1 , Δx2 , . . . , Δxn и высотами f (ξ1 ), f (ξ2 ), .

. . , f (ξn ). Суммуσn можно принять за приближенное значение площади S криволинейной трапеции, т. е. σn ≈ S.Очевидно, что чем мельче разбиение отрезка [a, b], a ≤ b, темточнее будет вычислена искомая площадь S, т. е. S = lim σn .λ→0Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b]называют предел интегральных сумм σn при стремлении длинымаксимального отрезка разбиения λ к нулю, если этот предел существует, конечен и не зависит как от выбора разбиения отрезка [a, b], так и от выбора точек ξi на отрезках разбиения, т.

е.ZbnXf (x)dx =limf (ξi )Δxi = lim σn . При этом число amax Δxi →0ai=1λ→0является нижним пределом интегрирования, число b — верхнимпределом интегрирования,отрезок [a, b] — отрезком интегрирования, a 6 b, x — переменной интегрирования, f (x) — подынтегральной функцией. Еще раз отметим, что определенный интеграл — эточисло!ZbЕсли f (x)dx существует и конечен, то функцию f (x) назыaвают интегрируемой на отрезке [a, b].Функция кусочно-непрерывна на отрезке [a, b], если она имеет на нем только конечное число точек разрыва и притом толькопервого рода.Теорема существования определенного интеграла: любаякусочно-непрерывная функция на отрезке [a, b] является интегрируемой на этом отрезке.В частности, любая непрерывная на отрезке [a, b] функцияf (x) также является интегрируемой на этом отрезке.ZbГеометрический смысл определенного интеграла f (x)dxaпри f (x) ≥ 0 очевиден: этот интеграл численно равен площа-4Рис.

2ди криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной графикомнепрерывной функции y = f (x), вертикальными прямыми x = a,x = b и осью OX (рис. 2).Отметим также некоторые физические приложения определенного интеграла:1) путь, пройденный телом при прямолинейном движении с переменной скоростью v(t) от момента времени t1 до момента вреZt2мени t2 , равен S = v(t)dt (переменной интегрирования являетсяt1время t);2) работа переменной силы F (x) по перемещению материальной точки из точки x1 в точку x2 , если направление силы, а такженаправление перемещения совпадают с положительным направлеZx2нием оси OX, равна A = F (x)dx (переменной интегрированияx1является координата материальной точки x).1.2.

Основные свойства определенного интеграла∗1.Zabf (x)dx = −Zbaf (x)dx,Zaf (x)dx = 0;a∗Справедливо, если все входящие в них определенные интегралы существуют и конечны.52.Zb3.Zbcf (x)dx = caZbf (x)dx,aa[f (x) + g(x)]dx =a4.ZbZbZbcdx = c(b − a);f (x)dx +aZbg(x)dx;a[c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x)]dx = c1a+ c2ZbZbf1 (x)dx +af2 (x)dx + . . . + cnaZbafn (x)dx, c1 , с2 , . .

. , cn ∈ R.Свойства 2 и 3 называют свойствами линейности. В общемслучае линейность определенного интеграла описывает выражение 4.5. Аддитивность определенного интеграла:ZbZcZbf (x)dx = f (x)dx + f (x)dx при любом расположенииaaточек a, b, c.c6.

Если a < b, а f (x) ≥ 0 при всех x ∈ [a, b], тоZba7. Если a < b, а f (x) 6 g(x) при всех x ∈ [a, b], то6Zbf (x)dx ≥ 0.Zbf (x)dx 6ag(x)dx. b ZbZ8. Если a < b, то f (x)dx 6 | f (x)| dx.aa9. Теорема об оценке определенного интеграла: eсли функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], a < b и m 6 f (x) 6 M ,Zbто m(b − a) 6 f (x)dx 6 M (b − a).aa610.

Теорема о среднем значении определенного интеграла:пусть функции f (x) и ϕ(x) непрерывны на отрезке [a, b], причемфункция ϕ(x) не меняет знак на этом отрезке, тогда существуетZbZbточка c ∈ [a, b] такая, что f (x)ϕ(x)dx = f (c) ϕ(x)dx.aa11. Следствие теоремы о среднем: eсли функция f (x) является непрерывной на отрезке [a, b], то существует точка c ∈ [a, b]Zbтакая, что f (x)dx = f (c)(b − a).a12. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна значению подынтегральной x0 функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.Z f (t)dt = f (x).ax1.3.

Вычисление определенного интеграла1.3.1. Формула Ньютона — ЛейбницаЕсли функция F (x) является первообразной для функцииf (x) на отрезке [a, b], т. е. F 0 (x) = f (x) для всех x ∈ (a, b), тоZbbf (x)dx = F (x) = F (b) − F (a).aaПример 1. JZπ0πsin xdx = − cos x = −(−1 − 1) = 2. I01.3.2.

Интегрирование по частямЕсли функции u(x) и v(x) имеют на отрезке [a, b] непрерывныеZbZbbпроизводные, тоudv = (uv) − vdu или в другой записиaaa7Zbab Zbu(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] − v(x)u0 (x)dx.0Пример 2. JaZ1aarctg xdx =dx 1u(x) = arctg x; du(x) = 2== (x arctg x) −x +1 dv(x) = dx;0v(x) = xZ1Z11πxdx1d(x2 + 1) π12lnx−+1==−−x2 + 12x2 + 1 4240000π 1= − ln 2. I241.3.3.

Теорема о замене переменной в определенном интегралеПусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогдапри следующих условиях:1) функция x = ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке[α, β] и ϕ0 (t) 6= 0 при всех t ∈ [α, β];2) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b;3) ϕ(t) ∈ [a, b] при ∀t ∈ [α, β]справедливо равенство:Zbf (x)dx =Zβf [ϕ(t)]ϕ0 (t) dt.(1)αaВ первом условии требование ϕ0 (t) 6= 0 на отрезке [α, β] обеспечивает, в частности, строгую монотонность функции ϕ(t), поскольку на всем отрезке [α, β] либо ϕ0 (t) > 0, либо ϕ0 (t) < 0.Отметим, что при использовании замены переменной в определенном интеграле меняются пределы интегрирования и возврат кисходной переменной не нужен.√Z3dxpПример 3.

Вычислить. J Сделаем замену пе(x2 + 1)31ременной x = tg t для эффективного использования формулы (1).8√При изменении аргумента x от 1 до 3 переменная t меняется отπ/4 до π/3, т. е. t ∈ [π/4; π/3]. Так как cos t > 0 при t ∈ [π/4; π/3],p√111=. Поскольку=то x2 + 1 = tg2 t + 1 = √2|cos t|cos tcos√tZ3dxdtpdx ==, то в итоге получим:2cos t(x2 + 1)31√ x = 3 ⇒ t = π/3=x = 1 ⇒ t = π/4√√= ( 3 − 2)/2. I Zπ/3Zπ/3 π/3dt3=costcostdtsint==2cos tπ/4π/4Пример 4. Вычислитьπ/42π/3Zdx. J Очевидно, что02π/3 2 π=. С другой стороны,= x30=2π/3Z0dxcos2 x(tg2 x+ 1)=2π/3Zdx =02π/3Zdx =02π/3Z0dx=sin x + cos2 x2d(tg x)=tg2 x + 10 t = tg x, x = 0 ⇒ t = 0√= x = 2π/3 ⇒ t = − 32π/3Z√−Z=03−√3πdt=− .= arctg t2t +130Однако этот результат неверен потому, что функция tg x имеетв точке x = π/2 разрыв второго рода и, следовательно, заменапеременной вида t = tg x не удовлетворяет условиям рассматриваемой теоремы.

I2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА2.1. Вычисление площади плоской фигуры в декартовойсистеме координатРанее было показано, что площадь криволинейной трапеции,ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке9[a, b] функции f (x), вертикальными прямыми x = a, x = b и осьюOX, рассчитана по формулеS=Zb(2)f (x)dx.aЕсли же f (x) 6 0 при всех x ∈ [a, b], то площади фигур,ограниченных графиками функций y = f (x) и y1 = −f (x) (рис. 3),а также вертикальными прямыми x = a, x = b и осью OX, равнымежду собой, при этом f1 (x) = −f (x) > 0 для всех x ∈ [a, b].ZbZbВ итоге получаем S = f1 (x)dx = − f (x)dx.aaРис. 3Рис.