Лекции Линал (не подробно)

À.Þ. ÀíèêèíËåêöèè ïî ëèíåéíîé àëãåáðå (2 ñåìåñòð, ôàêóëüòåòû ÐÊ, ÌÒ)Ÿ1. Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà.Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî L íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì (èëè âåêòîð-íûì) ïðîñòðàíñòâîì, à åãî ýëåìåíòû a, b, . . . ∈ L âåêòîðàìè, åñëè âL îïðåäåëåíû äâå îïåðàöèè (íàçûâàåìûå ëèíåéíûìè):a) Ñëîæåíèå âåêòîðîâ: a + b ∈ L∀a, b ∈ L;∀a ∈ L, λ ∈ R,b) Óìíîæåíèå âåêòîðà íà ñêàëÿð: λa ∈ Lè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå 8 ñâîéñòâ (àêñèîì):1) (a + b) + c = a + (b + c)2) a + b = b + a∀a, b, c ∈ L;∀a, b ∈ L;(àññîöèàòèâíîñòü)(êîììóòàòèâíîñòü)3) ∃0 ∈ L òàêîé, ÷òî a = a + 0 = 0 + a∀a ∈ L;4) ∀ a ∃(−a) òàêîé, ÷òî 0 = a + (−a) = (−a) + a;5) λ(a + b) = λa + λb∀a, b ∈ L, λ ∈ R;(äèñòðèáóòèâíîñòü)6) (λ + µ)a = λa + µa∀a ∈ L, λ, µ ∈ R;(äèñòðèáóòèâíîñòü)7) (λµ)a = λ(µa)8) 1a = a∀a ∈ L, λ, µ ∈ R;∀a ∈ L.Ñôîðìóëèðóåì íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç àêñèîì:1) Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé âåêòîð 0, óäîâëåòâîðÿþùèé àêñèîìå 3).2) Äëÿ âñÿêîãî âåêòîðà a ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ïðîòèâîïîëîæíûéâåêòîð (−a).3) Åñëè a + a = a, òî a = 0.4) 0a = λ0 = 0∀a ∈ L, λ ∈ R5) Âåêòîð (−1)a ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì âåêòîðó a16) Âûðàæåíèå a1 + a2 + .

. . + an íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê è, òåìñàìûì, êîððåêòíî îïðåäåëåíî.Äîêàçàòåëüñòâî.1) Ïóñòü 01 , 02 äâà íóëåâûõ âåêòîðà. Òîãäà â ñèëó àêñèîìû 3):01 = 01 + 02 = 02 .Ñëåäîâàòåëüíî, 01 = 02 , ÷òî è òðåáîâàëîñü.2) Ïóñòü b1 , b2 äâà âåêòîðà, ïðîòèâîïîëîæíûõ âåêòîðó a ∈ L. Òîãäà âñèëó àêñèîìû 4), à òàêæå àêñèîì 1),2):b2 = (b1 + a) + b2 = b1 + (a + b2 ) = b1 .Ñëåäîâàòåëüíî, (−a1 ) = (−a2 ), ÷òî è òðåáîâàëîñü.3) Äåéñòâèòåëüíî,0 = a − a = (a + a) − a = a + (a − a) = a,÷òî è òðåáîâàëîñü (ïåðâîå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç àêñèîìû 3), âòîðîå èìååò ìåñòî ïî óñëâîèþ, òðåòüå èç àêñèîìû 1), ÷åòâåðòîå âíîâü èçàêñèîìû 3)).4)  ñèëó àêñèîìû 5)0a + 0a = (0 + 0)a = 0a.Ïî ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó 0a = 0. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òîλ0 = 0.5)  ñèëó ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà, à òàêæå àêñèîì 6),8):a + (−1)a = (1 − 1)a = 0.Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð (−1)a ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ê a, ÷òî èòðåáîâàëîñü.6) Âûâîäèòñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè èç àêñèîìû 1).Ïðèìåðû.21.

Ïðîñòðàíñòâî V3 . Åãî ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ ñâîáîäíûå ãåîìåòðè÷åñêèå âåêòîðû îáû÷íîãî òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Îïåðàöèÿìèÿâëÿþòñÿ ñòàíäàðòíîå ñëîæåíèå âåêòîðîâ è óìíîæåíèå âåêòîðà íàñêàëÿð. Ïðîñòðàíñòâî V2 ñâîáîäíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ íàïëîñêîñòè ââîäèòñÿ àíàëîãè÷íî.2. Ïðîñòðàíñòâî Rn àðèôìåòè÷åñêèõ âåêòîðîâ. Ýëåìåíòàìè â íåì ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû-ñòîëáöû: a1a  2 a = (a1 a2 . . . an )T =   ,a1 , a2 , . . . , an ∈ R. . .

.anÑëîæåíèå ñòîëáöîâ è óìíîæåíèå ñòîëáöîâ íà ñêàëÿð ïîíèìàåòñÿ âñìûñëå îáû÷íûõ îïåðàöèé íàä ìàòðèöàìè. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òîâñå 8 àêñèîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà âûïîëíåíû.3. Ïðîñòðàíñòâî Mm×n ìàòðèö èç m ñòðîê è n ñòîëáöîâ.  êà÷åñòâå îïåðàöèé ââîäÿòñÿ ñòàíäàðòíûå ñëîæåíèå ìàòðèö è óìíîæåíèåìàòðèöû íà ÷èñëî.4. Ïðîñòðàíñòâî C[a, b]. Ýëåìåíòàìè ýòîãî ïðîñòðàíñòâà (âåêòîðàìè)ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå íà îòðåçêå [a, b].  êà÷åñòâå ëèíåéíûõ îïåðàöèé ìû ââîäèì ñëîæåíèå ôóíêöèé è óìíîæåíèå ôóíêöèè íà ÷èñëî.

Èç ñâîéñòâ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òî C[a, b]ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì.Îïðåäåëåíèå 2. Ïîäìíîæåñòâî X ⊂ L ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Líàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì, åñëè X ñàìî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé, îïðåäåëåííûõ â L.Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî X ⊂ L ÿâëÿåòñÿïîäïðîñòðàíñòâîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ îïåðàöèé, à èìåííî åñëèa + b ∈ X,λa ∈ XŸ2.

Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü.3∀a, b ∈ X, λ ∈ RÎïðåäåëåíèå 3. Ñèñòåìà âåêòîðîâ {a1 , a2 , . . . , an } íàçûâàåòñÿ ëèíåé-íî íåçàâèñèìîé, åñëè äëÿ âñÿêèõ ÷èñåë λ1 , λ2 , . . . , λn , íå ðàâíûõ íóëþîäíîâðåìåííî,nXλk ak = λ1 a1 + λ2 a2 + . . . + λn an 6= 0.(1)k=1Âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè (1) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ a1 , a2 , .

. . , an . Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè:λ1 = λ2 = . . . = λn = 0 íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé.Òàêèì îáðàçîì îïðåäåëåíèå 3 ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèìîáðàçîì. Ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé, åñëè ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíà íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà òðèâèàëüíàÿ.Îïðåäåëåíèå 4. Ñèñòåìà âåêòîðîâ {a1 , a2 , . . . , an } íàçûâàåòñÿ ëèíåé-íî çàâèñèìîé, åñëè ñóùåñòâóþò ÷èñëà λ1 , λ2 , . . .

, λn , íå ðàâíûå íóëþîäíîâðåìåííî, äëÿ êîòîðûõnXλk ak = λ1 a1 + λ2 a2 + . . . + λn an = 0.k=1Äðóãèìè ñëîâàìè, ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà, åñëè ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ âåêòîðîâ, ðàâíàÿ íóëþ.Òåîðåìà 1 (Îáùèé êðèòåðèé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè). Ñèñòåìà âåêòî-ðîâ {a1 , a2 , . .

. , an } ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â íåéñóùåñòâóåò âåêòîð ak , ÿâëÿþùèéñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõâåêòîðîâ ñèñòåìû.Äîêàçàòåëüñòâî. ⇒ Ïóñòü ñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà. Òîãäà, ïîPîïðåäåëåíèþ, nk=1 λk ak = 0, ïðè÷åì ∃λk 6= 0. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè,ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ1 6= 0. Òîãäàa1 = −nXλkk=2λ1ak ,òî åñòü a1 ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ âåêòîðîâ ñèñòåìû.4⇐ Ïóñòü a1 =Pnk=2µk ak .

Òîãäàa1 + (−µ2 )a2 + . . . + (−µn )an = 0.Òàêèì îáðàçîì, ìû íàøëè íåòðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ, ðàâíóþ íóëþ. Ñëåäñòâèå 1. Äâà ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìû òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè êîëëèíåàðíû. Òðè ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâëèíåéíî çàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè êîìïëàíàðíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 1 äâà âåêòîðà a, b ëèíåéíî çàâèñèìû âòîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà âåêòîð a ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåéâåêòîðà b. Ýòî çíà÷èò, ÷òî a = λb èëè, ÷òî âåêòîðû êîëëèíåàðíû.Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ óòâåðæäåíèå äëÿ òðåõ âåêòîðîâ.

Îïðåäåëåíèå 5. Ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâ a1 , a2 , . . . , an ïðîñòðàí-ñòâà L íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, îáîçíà÷àåìîå X = Span(a1 , a2 , . . . , an ),âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ýòèõ âåêòîðîâ. Òàêæå ãîâîðÿò, ÷òî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà X ïîðîæäàåòñÿ âåêòîðàìè a1 , a2 , . . . , an .Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà X ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â L.Ÿ3. Áàçèñ. Êîîðäèíàòû. Ðàçìåðíîñòü.Îïðåäåëåíèå 6.

Áàçèñîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L íàçûâàåòñÿ óïî-ðÿäî÷åííûé íàáîð âåêòîðîâ{ek }nk=1 = {e1 , e2 , . . . , en },óäîâëåòâîðÿþùèé ñâîéñòâàì:1) ñèñòåìà {e1 , e2 , . . . , en } ëèíåéíî íåçàâèñèìà;2) ëþáîé âåêòîð a ∈ L ìîæíî âûðàçèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèåéâåêòîðîâ ñèñòåìû:nXa=αk ek .(2)k=1Âûðàæåíèå âèäà (2) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì âåêòîðà a ïî áàçèñó{ek }nk=1 .5Òåîðåìà 2.

Ðàçëîæåíèå âåêòîðà ïî áàçèñó åäèíñòâåííî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âåêòîð a ðàçëîæåí ïî áàçèñó äâóìÿ ñïîñî-áàìè:a=nXαk ek =k=1nXβk ek .k=1PÑëåäîâàòåëüíî, nk=1 (αk − βk )ek = 0. Ïîñêîëüêó âåêòîðû {e1 , e2 , . . . , en }ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òîα 1 = β1 ,÷òî è òðåáîâàëîñü.α2 = β2...αn = βn ,Òåîðåìà 3. Ïóñòü {ek }nk=1 è {fk }mk=1 äâà áàçèñà ëèíåéíîãî ïðîñòðàí-ñòâà L. Òîãäà n = m.Äîêàçàòåëüñòâî. á/ä.PnÎïðåäåëåíèå 7.

Ïóñòü a =k=1 αk ek . Òîãäà ÷èñëà α1 , α2 , . . . , αn íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà a â áàçèñå {ek }nk=1 .Äëÿ êîîðäèíàò âåêòîðà a â áàçèñå E = {ek }nk=1 áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿîáîçíà÷åíèå: a = (α1 , α2 , . . . , αn )EÒåîðåìà 4. Ïóñòü ñèñòåìà E = {ek }nk=1 îáðàçóåò áàçèñ â ëèíåéíîìïðîñòðàíñòâå L. Åñëè a = (α1 , α2 , . . . , αn )E è b = (β1 , β2 , . . . , βn )E , òîa + b = (α1 + β1 , α2 + β2 , . . . , αn + βn )E è λa = (λα1 , λα2 , . .

. , λαn )E .Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî.Óïðàæíåíèå. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáóþ ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó {ek }mk=1 ìîæíî äîïîëíèòü äî áàçèñà âñåãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâàn{ek }k=1 .Îïðåäåëåíèå 8. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîìåð-íûì, åñëè îíî èìååò êîíå÷íûé áàçèñ E = {ek }nk=1 . ×èñëî n íàçûâàåòñÿðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà L è îáîçíà÷àåòñÿ n = dim L. Ñàìî ïðîñòðàíñòâî â òàêîì ñëó÷àå íàçûâàþò n-ìåðíûì.Ïðèìåðû.61.  ïðîñòðàíñòâå Rn ñóùåñòâóåò áàçèñ E = {ek }, ñîñòàÿùèé èç âåêòîðîâ:100 0  1  0 e1 =  .

. .  , e2 =  . . .  , . . . , e1 =  . . .  .001Òàêîé áàçèñ E íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì áàçèñîì â Rn .2. Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà Mm×n ðàâíà mn.  Mm×n ìîæíî ââåñòèáàçèñ, ñîñòîÿùèé èç âñåâîçìîæíûõ ìàòðèö ñ åäèíñòâåííûì íåíóëåâûì ýëåìåíòîì, ðàâíûì åäèíèöå.Ÿ4. Ìàòðèöà ïåðåõîäà.Ïóñòü E = {ek }nk=1 è E 0 = {e0k }nk=1 äâà áàçèñà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L. Áóäåì íàçûâàòü áàçèñ E ñòàðûì (èëè èñõîäíûì), à áàçèñ E 0 íîâûì.Ðàçëîæèì âåêòîðû áàçèñà E 0 ïî áàçèñó E : 0e1 = α1 1 e1 + α1 2 e2 + . . .

+ α1 n en e0 = α e + α e + . . . + α e21 122 22n n2... 0en = αn 1 e1 + αn 2 e2 + . . . + αn n enèëèα1 1 α2 1 α1 2 α2 2P = ... ...α1 n α2 n(e01 e02 . . . e0n ) = (e1 e2 . . . en )P,. . . αn 1. . . αn 2 .... ... . . . αn n(3)Â ôîðìóëå (3) ïîä óìíîæåíèåì ïîíèìàåòñÿ ñòàíäàðòíîå ïðîèçâåäåíèåìàòðèö.Îïðåäåëåíèå 9. Ìàòðèöà P ∈ Mn×n â ôîðìóëå (3) íàçûâàåòñÿ ìàò-ðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà E ê áàçèñó E 0 .Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå: P ìàòðèöà ïåðåõîäà îò E ê E 0 , åñëè âk -ì ñòîëáöå P çàïèñàíû êîîðäèíàòû âåêòîðà e0k â áàçèñå E .7Òåîðåìà 5. Ìàòðèöà ïåðåõîäà P îò áàçèñà E ê áàçèñó E 0 íåâûðîæäåíà.Íàîáîðîò, ïóñòü âåêòîðû ñèñòåì E = {ek }nk=1 è E 0 = {e0k }nk=1 ñâÿçàíûñîîòíîøåíèåì (3) ñ íåêîòîðîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé P .

Òîãäà åñëèñèñòåìà E ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì, òî E 0 òàêæå áàçèñ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿP (i) = (αi 1 αi 2 . . . αi n )T ,i = 1, . . . , näëÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû P . Äîêàæåì, ÷òî P (1) , P (2) , . . . , P (n) ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì èõ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ è ïðèðàâíÿåìåå ê íóëþ:nXλi P (i) = 0.(4)i=1Çàïèøåì ýòî âåêòîðíîå ðàâåíñòâî â êîîðäèíàòàõ:nXnXλi αi 1 = 0,i=1λi αi 2 = 0,...,nXi=1λi αi n = 0.i=1Äîìíîæèì ïåðâîå ðàâåíñòâî íà e1 , âòîðîå íà e2 , è ò.ä.

Ïîëó÷åííûå nðàâåíñòâ ñëîæèì:0=nXejj=1Äàëåå, ó÷èòûâàÿ, ÷òînXλi α i j =nXi=1Pn0=j=1λii=1nXαi j ej .j=1αi j ej = e0i , ïîëó÷àåì:nXλi P(i)i=1=nXλi e0i .(5)i=1Èç ýòîãî ðàâåíñòâà â ñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè e01 , e02 , . . . , e0n âûòåêàåò, ÷òî λ1 = λ2 = . . . = λn = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ(4) òðèâèàëüíà, ò.å. ñòîëáöû ìàòðèöû P ëèíåéíî íåçàâèñèìû. ÏîýòîìóP íåâûðîæäåíà.Îáðàòíî.

Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ ñèñòåìû E 0 :λ1 e01 + λ2 e02 + . . . + λn e0n = 0.8Ïîâòîðÿÿ âûêäàäêè èç ïåðâîé ÷àñòè äîêàçàòåëüñòâà, ïîëó÷èì ôîðìóëó(5). Èç íåå, â ñèëó íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû P (à, ñëåäîâàòåëüíî, ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñòîëáöîâ P (i) ), ñëåäóåò, ÷òî λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.Ïîýòîìó âåêòîðû ñèñòåìû E 0 ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ò.å. ñèñòåìà E 0 ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì. Ïðèìåðû.1. Ïóñòü íîâûé áàçèñ E 0 ñîâïàäàåò ñ èñõîäíûì E . Òîãäà e0k = ek . Ïîýòîìó P = E (E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà). Âûâîä: ìàòðèöà ïåðåõîäàîò ëþáîãî áàçèñà ê ñàìîìó ñåáå åäèíè÷íàÿ.2. Ïóñòü E = {ek }nk=1 èñõîäíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà L.