Лекции Линал (не подробно), страница 3

Îïåðàöèÿ ñîïîñòàâëåíèÿ âåêòîðó åäèíè÷íîãî âåêòîðà, êîëëèíåàðíîãî äàííîìó íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâêîé.Òåîðåìà 10. Ïóñòü E = {ek }nk=1 îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ïðîñòðàí-ñòâà L. Åñëè a = (a1 , a2 , . . . , an )E , b = (b1 , b2 , . . . , bn )E , òî1) ak = (a, ek );2) (a, b) = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn ;p3) kak = a21 + a22 + . . . + a2n .Äîêàçàòåëüñòâî.161) Ïî îïðåäåëåíèþ a = a1 e1 + a2 e2 + . . . + an en . Ïîýòîìó(a, ek ) = ak (ek , ek ) = ak .2) Ïî îïðåäåëåíèþa = a1 e1 + a2 e2 + . . .

+ an en , b = b1 e1 + b2 e2 + . . . + bn en .PPÏîýòîìó (a, b) = nk=1 ak bk (ek , ek ) = nk=1 ak bk .3) Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ íîðìû è ñâîéñòâà 2).Ÿ10. Ìàòðèöà Ãðàìà.Îïðåäåëåíèå 19. Ïóñòü F = {fk }nk=1 ïðîèçâîëüíûé áàçèñ â åâêëèäî-âîì ïðîñòðàíñòâå. Ìàòðèöà ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé âèäà(f1 , f1 ) (f1 , f2 ) . . . (f1 , fn ) (f2 , f1 ) (f2 , f2 ) . . .

(f2 , fn ) G = (gi j )ni,j=1 =  ............ (fn , f1 ) (fn , f2 ) . . . (fn , fn )íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé Ãðàìà áàçèñà F .Òåîðåìà 11. Ïóñòü F = {fk }nk=1 áàçèñ ïðîñòðàíñòâà L ñ ìàòðèöåéÃðàìà G. Åñëè a = (a1 , a2 , . . . , an )F , b = (b1 , b2 , . . . , bn )F , òî b1 b 2(a, b) = (a1 a2 . . . an )G   . . . .bnÄîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî,(a, b) =nXk=1=nXi=1aiak fk ,nX!bk fki,j=1k=1nX=nXai bj (fi , fj ) =nXai bj gi j =i,j=1!gi j b j= (a1 a2 .

. . an )G(b1 b2 . . . bn )T . j=117(9)Çàìå÷àíèå 6.1) Ìàòðèöà Ãðàìà ñèììåòðè÷íà, òî åñòü G = GT .2) Åñëè F îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, òî ìàòðèöà Ãðàìà G ÿâëÿåòñÿåäèíè÷íîé ìàòðèöåé E .  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (9) ïðèîáðåòàåò âèä êàê â òåîðåìå 10.3) Åñëè F îðòîãîíàëüíûé áàçèñ, òî G äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà.Òåïåðü ïîêàæåì, êàê èñïîëüçîâàòü ìàòðèöó Ãðàìà äëÿ âû÷èñëåíèÿäëèí è óãëîâ â êîñîóãîëüíîì áàçèñå, íà ïðîñòîì ïðèìåðå èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè.Çàäà÷à.dÏóñòü kak = 1, kbk = 2, (a,b) = π3 . Íàéòè k5a − 3bk.Ðåøåíèå.

Ðàññìîòðèìêîñîóãîëüíûé áàçèñ {a, b}. Åãî ìàòðèöà Ãðà1 1ìà èìååò âèä: G =. Òîãäà ïî ôîðìóëå (9):1 4k5a − 3bk2 = (5 − 3)Îòâåò: k5a − 3bk =√1 11 4!5= (2 − 7)−3!5= 31.−331. Ÿ11. Îðòîãîíàëèçàöèÿ Ãðàìà-Øìèäòà. ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ìû âèäåëè, ÷òî îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû ÿâëÿþòñÿ âåñüìà óäîáíîé êîíñòðóêöèåé. Äåéñòâèòåëüíî, èç òåîðåìû10 è ôîðìóëû (9) âèäíî, ÷òî ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèí, óãëîâ èò.ä. èìåþò ñàìûé ïðîñòîé âèä â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå.Çàìåòèì, ÷òî â ïðîèçâîëüíîì êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâîâàíèå îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà íå ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûìóòâåðæäåíèåì.

Ñêàæåì, òåîðåìà 9 óòâåðæäàåò, ÷òî ëþáûå k íåíóëåâûõîðòîãîíàëüíûõ âåêòîðà ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ïðè ýòîì íè÷åãî íå ãîâîðèòñÿ î òîì, ÷òî â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî îòûñêàòü ðîâíî n îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ.Èìååò ìåñòîÒåîðåìà 12.  ëþáîì êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùå-ñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.18Çàìå÷àíèå 7. Äîêàçàòåëüñòâî íîñèò êîíñòðóêòèâíûé õàðàêòåð. À èìåííî, ìû ïðåäúÿâèì àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà E ={e0k }nk=1 èç èñõîäíîãî ïðîèçâîëüíîãî áàçèñà F = {fk }nk=1 . Òàêîé àëãîðèòìíàçâàåòñÿ ïðîöåññîì îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàìà-Øìèäòà.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü F = {fk }nk=1 ïðîèçâîëüíûé áàçèñ åâêëè-äîâà ïðîñòðàíñòâà L. Ïîñòðîèì îðòîãîíàëüíûé áàçèñ {ek }nk=1 â òîì æåïðîñòðàíñòâå L.Øàã 1. Ïîëîæèì e1 := f1 .Øàã 2. Áóäåì èñêàòü e2 â âèäå e2 := f2 + αe1 ñ óñëîâèåì (e2 , e1 ) = 0.Ýòî óñëîâèå ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó: (f2 , e1 )+α(e1 , e1 ) = 0. Âûâîä: åñëè1)α = − (fke2 ,e2 , òî âåêòîðû e1 , e2 îáðàçóþò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â ëèíåé1kíîé îáîëî÷êå Span(f1 , f2 ). Äåéñòâèòåëüíî, âåêòîðû f1 , f2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû.

Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà Span(f1 , f2 ) ðàâíà äâóì.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî òåîðåìå 9 íåíóëåâûå îðòîãîíàëüíûå âåêòîðû e1 , e2ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ñëåäîâàòåëüíî, îíè îáðàçóþò áàçèñ â Span(f1 , f2 ).Øàã 3. Áóäåì èñêàòü âåêòîð e3 â âèäå e3 := f3 + β1 e1 + β2 e2 ñ óñëîâèåì(e3 , e1 ) = (e3 , e2 ) = 0. Ïîñêîëüêó âåêòîðû e1 è e2 îðòîãîíàëüíû, ýòîóñëîâèå ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó:(f3 , e1 ) + β1 (e1 , e1 ) = (f3 , e2 ) + β2 (e2 , e2 ) = 0.(f3 ,e2 )1)Âûâîä: åñëè β1 = − (fke3 ,e2 , β2 = − ke k2 , òî âåêòîðû e1 , e2 , e3 îáðàçóþò îð1k2òîãîíàëüíûé áàçèñ â ëèíåéíîé îáîëî÷êå Span(f1 , f2 , f3 ) (ñì.

ðàññóæäåíèåíà ïðåäûäóùåì øàãå)....PØàã k. Áóäåì èñêàòü âåêòîð ek â âèäå ek := fk + k−1i=1 γi ei ñ óñëîâèåì (ek , e1 ) = . . . = (ek , ek−1 ) = 0. Ïîñêîëüêó ñèñòåìà {e1 , e2 , . . . , ek−1 }îðòîãîíàëüíà (ïî ïîñòðîåíèþ íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ), ýòî óñëîâèå ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó:(fk , e1 ) + γ1 (e1 , e1 ) = . . . = (fk , ek−1 ) + γk−1 (ek−1 , ek−1 ) = 0.Âûâîä: åñëèγ1 = −(fk , e2 )(fk , ek−1 )(fk , e1 ), γ2 = −, . . .

, γk−1 = −,22ke1 kke2 kkek−1 k2òî âåêòîðû e1 , e2 , . . . , ek îáðàçóþò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â ëèíåéíîé îáîëî÷êå Span(f1 , f2 , . . . , fk ).19...Íà ïîñëåäíåì øàãå k = n ìû ñòðîèì îðòîãîíàëüíûé áàçèñ âî âñåìïðîñòðàíñòâå L.Íàêîíåö, ïîëîæèâ e0k = keekk k , ìû ïîëó÷èì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñE = {e0k }nk=1 ïðîñòðàíñòâà L. Çàìå÷àíèå 8.1) Åñëè èñõîäíûé áàçèñ F = {fk }nk=1 ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, òîîðòîãîíàëèçàöèÿ äàñò òîò æå ñàìûé áàçèñ ek = fk . Ëåãêî âèäåòü, ÷òîêîýôôèöèåíòû α, β1 , β2 , .

. . ðàâíû íóëþ.2) Åñëè àëãîðèòì Ãðàìà-Øìèäòà ôîðìàëüíî ïðèìåíèòü ê ëèíåéíî çàâèñèìîé ñèñòåìå, òî íà íåêîòîðîì øàãå ïîëó÷èòñÿ ek = 0.Çàäà÷à.Íàéòè îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ëèíåéíîé îáîëî÷êè ñëåäóþùèõ âåêòîðîâ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà R4 :   212 1 −2 0   f1 =   , f2 =   , f3 =   . −2 0 10−22Ðåøåíèå. Ïîëîæèì, e1 = f1 . Äàëåå, ïîñêîëüêó âåêòîðû f1 , f2 îðòîãîíàëüíû, e2 = f2 .Íàéäåì âåêòîð e3 = f3 + β1 e1 + β2 e2 , îðòîãîíàëüíûé âåêòîðàì e1 , e2 .Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 12 ñëåäóåò, ÷òîβ1 = −(f3 , e1 )2=− ,2ke1 k9β2 = −(f3 , e2 )2= .2ke2 k9Òàêèì îáðàçîì, îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â Span(f1 , f2 , f3 ) èìååò âèä:  2116 −2 11   −6e1 =   , e2 =   , e3 = .9  13 −2 00−142Ïîñëå íîðìèðîâêè e01 = kee11 k , e02 = kee22 k , e03 =îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ {e01 , e02 , e03 }.

20e3ke3 kïîëó÷àåì òðåáóåìûéŸ12. Ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ è ëèíåéíûå îïåðàòîðû.Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ, ñâÿçàííûå ñ âàæíåéøèì ïîíÿòèåì ìàòåìàòèêè îòîáðàæåíèåì. Îòîáðàæåíèåì (èëè ôóíêöèåé) íàçûâàåòñÿ çàêîí, ñîïîñòàâëÿþùèé ëþáîìó ýëåìåíòó x èç ìíîæåñòâà Xîïðåäåëåííûé åäèíñòâåííûì îáðàçîì ýëåìåíò y = f (x) èç ìíîæåñòâà Y .Ïðè ýòîì X íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ, Y ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé, è èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü âèäà: f : X → Y, êîòîðàÿ÷èòàåòñÿ òàê: f îòîáðàæàåò ìíîæåñòâî X â ìíîæåñòâî Y ïî ïðàâèëó”x 7→ y = f (x)“ .Îïðåäåëåíèå 20.

Îòîáðàæåíèå A : L1 → L2 ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ,äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëó x 7→ y = Ax, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè îíîóäîâëåòâîðÿåò äâóì ñâîéñòâàì:1) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax22) A(λx) = λ(Ax)∀x1 , x2 ∈ L1 ;∀x ∈ L, λ ∈ R.Çàìå÷àíèå 9. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü áåç ñêîáîê: y = Ax âìåñòî y = A(x). Ïðè÷èíó òàêîãî îáîçíà÷åíèÿìû îáúÿñíèì ÷óòü ïîçæå.Îïðåäåëåíèå 21. Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå A : L → L íàçûâàþò ëè-íåéíûì îïåðàòîðîì. Ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå A : L → R íàçûâàåòñÿëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì.Îïðåäåëåíèå 22.

ßäðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A : L → L íàçûâàåòñÿìíîæåñòâî, îáîçíà÷àåìîå Ker A, ñîñòîÿùåå èç òàêèõ x ∈ L, ÷òî Ax =0.Îïðåäåëåíèå 23. Îáðàçîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A : L → L íàçûâà-åòñÿ ìíîæåñòâî, îáîçíà÷àåìîå Im A, ñîñòîÿùåå èç òàêèõ y ∈ L, äëÿêîòîðûõ ñóùåñòâóåò x ∈ L òàêîé, ÷òî y = Ax.Óïðàæåíåíèå.L.Ìíîæåñòâà Ker A è Im A ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè âÏðèìåðû.1. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå A : L → L, äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëóAx ≡ 0. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî ëèíåéíûé îïåðàòîð, è Ker A =L, Im A = {0}.

Òàêîé îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ íóëåâûì.212. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå A : L → L, äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëóAx = x. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòî ëèíåéíûé îïåðàòîð, è Ker A ={0}, Im A = L. Òàêîé îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì è îáîçíà÷àåòñÿ I .3. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå A : V3 → V3 ïðîñòðàíñòâà ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ, ñîïîñòàâëÿþùåå x âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå Ax =a × x, ãäå âåêòîð a ôèêñèðîâàí. Èç ñâîéñòâ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì, ïðè ýòîì,Ker A = Span(a), à Im A ýòî ïëîñêîñòü âñåõ âåêòîðîâ, îðòîãîíàëüíûõ a.4. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå A : V3 → V3 ïðîñòðàíñòâà ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ, ñîïîñòàâëÿþùåå x åãî îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ íàòðåòèé êîîðäèíàòíûé îðò: Ax = (x, k)k.

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì, ïðè ýòîì, Im A = Span(k), à Ker A =Span(i, j).5. Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî C ∞ [a, b] âñåõ ôóíêöèé,èìåþùèõ ëþáîå ÷èñëî ïðîèçâîäíûõ, íà îòðåçêå [a, b]. Ïóñòü îòîáðàæåíèå f (x) 7→ Af (x) = f 0 (x) ñîïîñòàâëÿåò ôóíêöèè åå ïðîèçâîäíóþ. Òàêîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì, íàçûâàåìûì îïåðàòîðîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.6.

Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî C(−∞, +∞) ôóíêöèé,íåïðåðûâíûõ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè R. Îòîáðàæåíèå, äåéñòâóþùååïî ïðàâèëó f (x) 7→ Af (x) = f (x − a), ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì è íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ñäâèãà.Óïðàæåíåíèå.Êàêèå ÿäðà è îáðàçû èìåþò ëèíåéíûå îïåðàòîðû èç ïîñëåäíèõ äâóõïðèìåðîâ?Ÿ13. Òåîðåìà î ðàçìåðíîñòè ÿäðà è îáðàçà.Òåîðåìà 13. Ïóñòü dim L = n. Òîãäà dim Ker A + dim Im A = n.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {e1 , e2 , .

. . , ek } áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Ker A.Äîïîëíèì åãî äî áàçèñà {e1 , e2 , . . . , en } âñåãî ïðîñòðàíñòâà L (ñì. óïðàæåíåíèå ⠟3). Äîêàæåì, ÷òî Aek+1 , . . . , Aen ëèíåéíîPn íåçàâèñèìû. Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ýòèõ âåêòîðîâ:i=k+1 λi Aei = 0. Ïî22ñâîéñòâó ëèíåéíîñòè:AnX!λi e i⇒=0nXb=i=k+1λi ei ∈ Ker A.i=k+1Ðàçëîæèì b ïî áàçèñó ïðîñòðàíñòâà Ker A:b=nXλi ei =kXµi e i .i=1i=k+1Èç ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè e1 , e2 , . . . , en ñëåäóåò, ÷òî λk+1 = . . . = λn =0. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû Aek+1 , . . .

, Aen ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Äîêàæåì, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà Im A è Span(Aek+1 , . . . , Aen ) ñîâïàäàþò.Âî-ïåðâûõ, ÿñíî, ÷òî Span(Aek+1 , . . . , Aen ) ⊂ Im A. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïîðîæäàþùèå âåêòîðû Aek+1 , . . . , Aen ëèíåéíîé îáîëî÷êè ëåæàòâ ïðîñòðàíñòâåIm A. Äàëåå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî y = Ax ∈ Im A. ÏóñòüPnx = i=1 αi ei . Òîãäà!!!nnnXXXαi Aei ∈ Span(Aek+1 , . . . , Aen ).y=Aαi ei =αi e i = Ai=1i=k+1i=k+1Òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî Im A ⊂ Span(Aek+1 , . . .

, Aen ). Ñëåäîâàòåëüíî,Im A = Span(Aek+1 , . . . , Aen ).Ïîñêîëüêó âåêòîðû Aek+1 , . . . , Aen ëèíåéíî íåçàâèñèìû,dim Im A = dim Span(Aek+1 , . . . , Aen ) = n − k,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ÿ14. Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.Îïðåäåëåíèå 24. Ïóñòü A : L → L îïåðàòîð, à E = {ek }nk=1 ïðîèç-âîëüíûé áàçèñ. Ïóñòü Aek = (ak 1 , ak 2 , . . . , ak n )E . Ìàòðèöà âèäàa1 1 a2 1 . . . a n 1 a1 2 a2 2 .