ТВиМС_ИУ1-4_4s_М3_ДЗ (ТВиМС для ИУ 1-4 все для подготовки.)

iu1–4, 4-J SEMESTR, 2011–2012 U^.G.tEORIQ WEROQTNOSTEJ I MATEMATI^ESKAQ STATISTIKAmODULX 3, DOMA[NEE ZADANIEsLU^AJNYE WELI^INYzADA^A 1. zakony raspredeleniq (3 BALLA)w NEKOTOROM GOSUDARSTWE PO ZAKONU PODOHODNYM NALOGOM OBLAGA@TSQ GRAVDANE,IME@]IE GODOWOJ DOHOD NE MENEE 5000 U.E. dOHODY NALOGOPLATELX]IKOW RASPREDELENY PO ZAKONUpARETO S PARAMETROM k = 2. nAJDITE: A) PROCENT NALOGOPLATELX]IKOW, IME@]IH GODOWOJDOHOD BOLEE 10000 U.E.; B) SREDNIJ DOHOD NALOGOPLATELX]IKA; W) PROCENT NALOGOPLATELX]IKOW,IME@]IH GODOWOJ DOHOD BOLEE 10000 U.E. W SLU^AE, ESLI ZAKON IZMENITSQ I PODOHODNYM NALOGOMSTANUT OBLAGATXSQ GRAVDANE S DOHODOM BOLEE 6000 U.E.wARIANT 2.

pO DANNYM dps SKOROSTI AWTOMOBILEJ W POTOKE RASPREDELENY PO NORMALXNOMUZAKONU. iZWESTNO, ^TO 12% AWTOMOBILEJ DWIVETSQ SO SKOROSTX@ MENEE 60 KM/^ I 15% AWTOMOBILEJ DWIVETSQ SO SKOROSTX@ BOLEE 110 KM/^. oPREDELITE: A) SREDN@@ SKOROSTX AWTOMOBILQ WPOTOKE; B) PROCENT AWTOMOBILEJ, DWIVU]IHSQ SO SKOROSTX@ BOLEE 100 KM/^; W) PROCENT AWTOMOBILEJ, DWIVU]IHSQ SO SKOROSTQMI, OTKLONQ@]IMISQ OT SREDNEJ SKOROSTI POTOKA NE BOLEE, ^EMNA 15 KM/^; G) GRANICY INTERWALA SKOROSTEJ DWIVENIQ W SOOTWETSTWII S PRAWILOM ”TREH SIGM”.wARIANT 3. sLU^AJNAQ WELI^INA RASPREDELENA PO ZAKONU sIMPSONA (PRAWILU RAWNOBEDRENNOGO TREUGOLXNIKA) NA INTERWALE [−2, 2].

oPREDELITE: A) PLOTNOSTX RASPREDELENIQ SLU^AJNOJWELI^INY; B) WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SLU^AJNAQ WELI^INA NAHODITSQ W INTERWALE [1, 2]; W) MATEMATI^ESKOE OVIDANIE I DISPERSI@ SLU^AJNOJ WELI^INY.wARIANT 4. sLU^AJNAQ WELI^INA R — RASSTOQNIE OT TO^KI POPADANIQ DO CENTRA MI[ENI.oNA RASPREDELENA PO ZAKONU rELEQ c PLOTNOSTX@ fR (r) = Are−4r , r ≥ 0. oPREDELITE: A) KO\FFICIENT A; B) MODU SLU^AJNOJ WELI^INY, T.E. TO^KU MAKSIMUMA EE PLOTNOSTI RASPREDELENIQ;W) M[R] I D[R]; G) WEROQTNOSTX TOGO, ^TO W REZULXTATE WYSTRELA RASSTOQNIE OT TO^KI POPADANIQDO CENTRA OKAVETSQ MENX[E, ^EM MODA.wARIANT 5. nARABOTKA POD[IPNIKA NA OTKAZ IMEET LOGARIFMI^ESKI NORMALXNOE RASPREDELENIE S PARAMETRAMI µ = 6, σ = 1,5. oPREDELITX WEROQTNOSTX BEZOTKAZNOJ RABOTY W TE^ENIE100 EDINIC WREMENI I INTENSIWNOSTX OTKAZOW W TE^ENIE 150 EDINIC WREMENI.wARIANT 6.

iZWESTNO, ^TO KOLI^ESTWO TELEFONNYH ZWONKOW W SPRAWO^NOE B@RO RASPREDELENOPO ZAKONU pUASSONA I W SREDNEM SOSTAWLQET 5 ZWONKOW W MINUTU. oPREDELITE WEROQTNOSTI SOBYTIJ: A) W TE^ENIE MINUTY NE POSTUPIT NI ODNOGO ZWONKA; B) KOLI^ESTWO ZWONKOW W MINUTU BUDETZAKL@^ENO W INTERWALE [2, 6]. nAJDITE NAIBOLEE OVIDAEMOE KOLI^ESTWO ZWONKOW ZA 7 MINUT.wARIANT 7. wREMQ BEZOTKAZNOJ RABOTY USTROJSTWA RASPREDELENO PO POKAZATELXNOMU ZAKONU S PARAMETROM RASPREDELENIQ λ. nAJDITE: A) MATEMATI^ESKOE OVIDANIE WREMENI BEZOTKAZNOJ RABOTY USTROJSTWA; B) WEROQTNOSTX TOGO, ^TO DANNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA PRIMET ZNA^ENIEMENX[EE, ^EM EE MATEMATI^ESKOE OVIDANIE.wARIANT 8. wEROQTNOSTX BEZOTKAZNOJ RABOTY TAHOMETRA W TE^ENIE t = 150 ^ RAWNA P (t) =0,9. wREMQ ISPRAWNOJ RABOTY POD^INENO DWUHPARAMETRI^ESKOMU ZAKONU wEJBULLA S PARAMETROMλ = 2,6.

oPREDELITE: A) INTENSIWNOSTX OTKAZOW TAHOMETRA NA MOMENT WREMENI t = 150 ^;B) SREDN@@ NARABOTKU DO PERWOGO OTKAZA.wARIANT 9. mODULX SKOROSTI MOLEKULY GAZA QWLQETSQ SLU^AJNOJ WELI^INOJ X, RASPREDELENNOJ PO ZAKONU mAKSWELLA S PLOTNOSTX@ f (x) = Cx2e−4x , x ≥ 0. nAJDITE ZNA^ENIQ C, M[X],wARIANT 1.22D[X].sLU^AJNAQ WELI^INA IMEET RASPREDELENIE kO[I S PLOTNOSTX@ f (x) = x a+ 4 .nAJDITE KO\FFICIENT RASPREDELENIQ a, FUNKCI@ RASPREDELENIQ F (x), MEDIANU RASPREDELENIQwARIANT 10.2iu1–4, 4-J SEMESTR, twIms, mOD. 3, dz, ZADA^A 12I WEROQTNOSTX POPADANIQ SLU^AJNOJ WELI^INY W INTERWAL (−2, 2).

oPREDELITE, SU]ESTWU@T LIMATEMATI^ESKOE OVIDANIE I DISPERSIQ DANNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY.wARIANT 11. pOKUPATELX PRIOBRETAET LOTEREJNYE BILETY, WEROQTNOSTX WYIGRY[A KOTORYH SOSTAWLQET 0,1. ~ISLO X KUPLENNYH BILETOW DO PERWOGO WYIGRY[A QWLQETSQ SLU^AJNOJWELI^INOJ, POD^INQ@]EJSQ GEOMETRI^ESKOMU RASPREDELENI@. oPREDELITE M[X] I D[X].wARIANT 12. sLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET RASPREDELENIE lAPLASA S PLOTNOSTX@ fX (x) =−4|x|ae. oPREDELITE KO\FFICIENT a, FUNKCI@ RASPREDELENIQ FX (x), ZNA^ENIQ M[X] I D[X].wARIANT 13. wEROQTNOSTX OTKAZA PRIBORA PRI ISPYTANII NE ZAWISIT OT OTKAZOW OSTALXNYHPRIBOROW I RAWNA 0,18. iSPYTANO 12 PRIBOROW. sLU^AJNAQ WELI^INA h — ^ISLO PRIBOROW,OTKAZAW[IH ZA WREMQ ISPYTANIJ.

oPREDELITE S TO^NOSTX@ DO 4 ZNAKOW ZAKON RASPREDELENIQSLU^AJNOJ WELI^INY, MATEMATI^ESKOE OVIDANIE, DISPERSI@, A TAKVE WEROQTNOSTI P(X < 3) IP(X > 9).w UPAKOWKE IMEETSQ 15 LAMP, IZ KOTORYH 6 QWLQ@TSQ DEFEKTNYMI. iZ UPAKOWKIDOSTAETSQ 5 LAMP. oPREDELITE WEROQTNOSTX TOGO, ^TO KOLI^ESTWO DEFEKTNYH NE PREWYSIT 3;NAJDITE NAIBOLEE WEROQTNOE ^ISLO DEFEKTNYH LAMP W WYBORKE.wARIANT 15. sLU^AJNAQ WELI^INA X RASPREDELENA PO ZAKONU PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKAW INTERWALE (0, 3). oPREDELITE PLOTNOSTX RASPREDELENIQ, FUNKCI@ RASPREDELENIQ, WEROQTNOSTXP(1,5 < X < 3), MEDIANU RASPREDELENIQ, A TAKVE ZNA^ENIQ M[X] I D[X].wARIANT 16. sLU^AJNAQ WELI^INA X RASPREDELENA NA INTERWALE (−3, 3), A GRAFIK EE FUNKCII PLOTNOSTI PREDSTAWLQET SOBOJ POLU\LLIPS.

nAJDITE FUNKCI@ PLOTNOSTI SLU^AJNOJ WELI^INY, EE FUNKCI@ RASPREDELENIQ, MATEMATI^ESKOE OVIDANIE I DISPERSI@.wARIANT 17. dIAMETR WYPUSKAEMOJ DETALI — SLU^AJNAQ WELI^INA, POD^INENNAQ NORMALXNOMU ZAKONU RASPREDELENIQ S MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM 6 SM I SREDNEKWADRATI^NYM OTKLONENIEM 0,7 SM . oPREDELITE WEROQTNOSTI SOBYTIJ: A) SLU^AJNO OTOBRANNAQ DETALX IMEET DIAMETRW PREDELAH OT 5,5 DO 6,8 SM ; B) OTKLONENIE DIAMETRA OT MATEMATI^ESKOGO OVIDANIQ SOSTAWLQETNE BOLEE 0,3 SM . kAKOWY GRANICY IZMENENIQ DIAMETRA, WEROQTNOSTX POPADANIQ W KOTORYE SOSTAWLQET 0,97?wARIANT 18. wREMQ ISPRAWNOJ RABOTY STEKLOO^ISTITELQ POD^INENO GAMMA-RASPREDELENI@S PARAMETRAMI k = 3 I λ = 1,5 · 10−4 ^1 .

oPREDELITE WEROQTNOSTX BEZOTKAZNOJ RABOTY IZDELIQ WTE^ENIE 10 000 ^, ^ASTOTU I INTENSIWNOSTX OTKAZA NA MOMENT WREMENI t = 5000 ^ I SREDNEE WREMQRABOTY DO PERWOGO OTKAZA.wARIANT 19. pROIZWODITSQ S^ITYWANIE INFORMACII S NOSITELQ, KOTORYJ WREMQ OT WREMENIDAET SBOI. wSEGDA S^ITYWAETSQ WSQ INFORMACIQ, HOTQ S^ITYWANIE NEKOTORYH BIT UDAETSQ NE SPERWOGO RAZA. iZWESTNO, ^TO WEROQTNOSTX SBOQ L@BOGO BITA ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ, RAWNAQ0,2. oPREDELITE WEROQTNOSTX TOGO, ^TO POTREBUETSQ 10 POPYTOK DLQ S^ITYWANIQ 8 BIT I NAJDITENAIBOLEE WEROQTNOE ^ISLO POPYTOK PRI S^ITYWANII 16 BIT.wARIANT 20.

sLU^AJNAQ WELI^INA ξ IMEET PLOTNOSTX RASPREDELENIQ fξ (x) = C(x + 1)−3/2 ,x ≥ 0. nAJDITE KONSTANTU C, FUNKCI@ RASPREDELENIQ Fξ (x), ZNA^ENIQ M[ξ] I D[ξ], A TAKVEWEROQTNOSTX P(|ξ − 1/3| < 1).wARIANT 21. dANA FUNKCIQ RASPREDELENIQwARIANT 14.0,x < 0;πFξ (x) = arctg x, 0 ≤ x < 4 ;π 1,x> .4nAJDITE M[ξ] I D[ξ].iu1–4, 4-J SEMESTR, twIms, mOD. 3, dz, ZADA^A 13wARIANT 22. wREMQ BEZOTKAZNOJ RABOTY BATAREI AKKUMULQTOROW POSTOQNNOGO TOKA IMEETNORMALXNOE RASPREDELENIE S MATEMATI^ESKIM OVIDANIEM 30 ^ I SREDENEKWADRATI^NYM OTKLONENIEM 4 ^. oPREDELITE: A) WEROQTNOSTX BEZOTKAZNOJ RABOTY BATAREI W TE^ENIE 25 ^; B) WREMQZAMENY BATARE@ AKKUMULQTOROW, GARANTIR@]EE, ^TO WEROQTNOSTX OTKAZA BATAREI DO MOMENTAZAMENY NE PREWY[AET 10%.wARIANT 23.

w OPYTNOJ PARTII IMEETSQ 20 PRIBOROW, IZ KOTORYH 4 DEFEKTNYE. iZ UPAKOWKI DOSTAETSQ 8 PRIBOROW. oPREDELITE WEROQTNOSTX TOGO, ^TO KOLI^ESTWO DEFEKTNYH PRIBOROWW WYBORKE NE PREWYSIT 2. nAJDITE NAIBOLEE WEROQTNOE ^ISLO DEFEKTNYH PRIBOROW SREDI WYBRANNYH.wARIANT 24. nARABOTKA GIDRAWLI^ESKOGO CILINDRA NA OTKAZ IMEET LOGARIFMI^ESKI NORMALXNOE RASPREDELENIE S PARAMETRAMI µ = 4, σ = 1. oPREDELITE WEROQTNOSTX BEZOTKAZNOJRABOTY CILINDRA I INTENSIWNOSTX OTKAZOW W TE^ENIE 150 ^ RABOTY.wARIANT 25. ~ISLO NEISPRAWNOSTEJ, OBNARUVENNYH PRI TEHNI^ESKOM OSMOTRE AWTOMOBILQ,RASPREDELQETSQ PO ZAKONU pUASSONA S PARAMETROM µ.

eSLI NEISPRAWNOSTEJ NE OBNARUVENO, TOTEHNI^ESKIJ OSMOTR PRODOLVAETSQ W SREDNEM 2 ^. eSLI OBNARUVENA ODNA ILI DWE NEISPRAWNOSTI,TO NA USTRANENIE KAVDOJ IZ NIH TRATITSQ W SREDNEM E]E POL^ASA. eSLI OBNARUVENO BOLX[E DWUHNEISPRAWNOSTEJ, TO MA[INA STAWITSQ NA PROFILAKTI^ESKIJ REMONT, GDE ONA NAHODITSQ W SREDNEM4 ^. oPREDELITX ZAKON RASPREDELENIQ WREMENI NAHOVDENIQ MA[INY NA STOQNKE TEHNI^ESKOGOOBSLUVIWANIQ I EGO MATEMATI^ESKOE OVIDANIE.wARIANT 26. nARABOTKA PARTII POD[IPNIKOW NA OTKAZ IMEET DWUHPARAMETRI^ESKOE RASPREDELENIE wEJBULLA S PARAMETROM IZNOSA b = 1,8. wEROQTNOSTX BEZOTKAZNOJ RABOTY PARTIIPOD[IPNIKOW W TE^ENIE t = 100 ^ RAWNA P(t) = 0,95.

oPREDELITX INTENSIWNOSTX OTKAZOW W WTE^ENIE t = 100 ^ I SREDN@@ NARABOTKU NA OTKAZ.wARIANT 27. pLOTNOSTX RASPREDELENIQ ABSOL@TNOJ WELI^INY SKOROSTI MOLEKULY MASSOJ4xm ZADAETSQ RASPREDELENIEM mAKSWELLA S PLOTNOSTX@ p(x) = √ e−x /a , x ≥ 0. oPREDELITXa πSREDN@@ SKOROSTX MOLEKULY I SREDN@@ KINETI^ESKU@ \NERGI@.wARIANT 28. kOLI^ESTWO O[IBOK NA STRANICE, DOPUSKAEMYH MA[INISTKOJ PRI NABORE,RASPREDELENO PO ZAKONU pUASSONA. iZWESTNO, ^TO WEROQTNOSTX TOGO, ^TO ONA DOPUSTIT HOTQ BYODNU O[IBKU, RAWNA 0,8647.

oPREDELITE WEROQTNOSTX TOGO, ^TO NA STRANICE BUDET BOLEE DWUHO[IBOK. nAJDITE NAIBOLEE WEROQTNOE KOLI^ESTWO O[IBOK W DOKUMENTE IZ 5 STRANIC.wARIANT 29. nA PEREKRESTKE USTANOWLEN AWTOMATI^ESKIJ SWETOFOR, KOTORYJ PERIODI^ESKIDAET MINUTU ZELENYJ SWET I POLMINUTY KRASNYJ. aWTOMOBILX POD_EZVAET K SWETOFORU W SLU^AJNYJ MOMENT WREMENI, NE SWQZANNYJ S RABOTOJ SWETOFORA. oPREDELITE WEROQTNOSTX TOGO, ^TOON PROEDET PEREKRESTOK, NE OSTANAWLIWAQSX. nAJDITE ZAKON RASPREDELENIQ WREMENI OVIDANIQ UPEREKRESTKA, EGO MATEMATI^ESKOE OVIDANIE I DISPERSI@.wARIANT 30.

dIAMETR [ARIKA DLQ POD[IPNIKOW — SLU^AJNAQ WELI^INA, RASPREDELENNAQ PONORMALXNOMU ZAKONU. eSLI [ARIK NE PROHODIT ^EREZ OTWERSTIE DIAMETROM 2,5 MM , NO PROHODIT^EREZ OTWERSTIE DIAMETROM 3 MM , TO EGO RAZMER S^ITAETSQ PRIEMLEMYM, W PROTIWNOM SLU^AEON BRAKUETSQ. iZWESTNO, ^TO SREDNIJ RAZMER [ARIKA RAWEN 2,75 MM , A BRAK SOSTAWLQET 10%WYPUSKA. oPREDELITE SREDNEKWADRATI^NOE OTKLONENIE DLQ DIAMETRA [ARIKA.2322iu1–4, 4-J SEMESTR, twIms, mOD.

3, dz, ZADA^A 34zADA^A 2. mnogomernoe normalxnoe raspredelenie (3 BALLA)sLU^AJNYJ WEKTOR (ξ, η) RASPREDELEN NO NORMALXNOMU ZAKONU N (m, Σ). zAPI[ITE FUNKCI@PLOTNOSTI fξη (x, y) I NAJDITE: A) PLOTNOSTI WEROQTNOSTEJ fξ (x) I fη (x); B) KO\FFICIENT KORRELQCII rξη ; W) PLOTNOSTX SLU^AJNOJ WELI^INY ζ = aξ + bη. pOSTROJTE GRAFIKI NAJDENNYHFUNKCIJ.wAR.m1.