Курс лекций по аналитической геометрии, страница 7

Найти фундаментальную систему решений для системы, заданной в предыдущем примере.-3x2 - x4x1 =95x3 = x4 ,3значит, по формулам (6.14), вектор-решенияé 1ùé 1ùê- 9 úê 3úê úê ú0C1 = ê 1 ú ; C2 = ê úê 5 úê 0 úê úê úê 3 ú0ë ûëê 1 ûúобразуют фундаментальную систему решений.60Лекция № 7. Эквивалентностьи подобие матрицВ пункте 5.4 лекции 5 были определены элементарные преобразования матриц.Определение 1.

Матрицы A и B одинаковых размеров называютсяэквивалентными ( A : B ) , если матрицу B можно получить из матрицы A с помощью конечного числа элементарных преобразований.Определение 2. Матрицы A и B называются подобными, еслисуществует такая квадратная невырожденная матрица S , чтоB = S -1 AS .Из определения 2 следует, что если матрица A подобна матрицеB , то A и B – квадратные матрицы одного порядка.Действительно, пусть B = S -1 AS , где S – квадратная матрицапорядка n.Тогда A согласована с S , следовательно у A n столбцов, Sсогласована с A , следовательно, у A n строк.-1Теорема 7.1.

Пусть матрица A подобна матрице B . Тогдаdet B = det A .> B = S -1 AS , =det B det ( S -1 AS ) = = det ( S -1 ) det A det S1det A det S = det A. <det SТеорема 7.2. [2]. Пусть матрица A подобна матрице B . Тогдаслед trA матрицы A равен следу trB матрицы B .Свойства отношения подобия:1. Матрица A подобна A . Рефлексивность.2.

Если A подобна B , то B подобна A . Симметричность.3. Если A подобна B , B подобна C , то A подобна C . Транзитивность.61КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИНА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕЛекция № 8. Прямые и плоскости8.1 Прямые на плоскостиПусть дана прямая l и точка O , не лежащая на l . Возьмем некоторую точку M 0 Î l и вектор a = AB , коллинеарный данной прямой.Определение 1. Вектор a , коллинеарный прямой l , называетсянаправляющим вектором прямой l.BAMM0OРис. 8.1. Вектор AB являетсянаправляющим вектором прямой.Пусть M – произвольная точка прямой l . Приняв точку O за начало отсчета, будем иметь r 0 = OM= 0,rOM , r - r 0 = M 0 M . Таккак M 0 M коллинеарен a , то M 0 M = at , t Î R .Следовательно, r - r0 = at , или62r = r0 + atОпределение 2. Уравнение (8.1)параметрическим уравнением прямой.называется(8.1)векторно-nMM0OРис.

8.2. Вектор n перпендикулярен прямойВыберем теперь произвольный ненулевой вектор n , перпендикулярный к прямой l . Так как M 0 M перпендикулярен n , то скалярное()произведение M 0 M × n = 0 или r - r0 × n = 0, откудаr ×n + C = 0,(8.2)где C = - r0 × n .Определение 3. Уравнение (8.2) называется векторным уравнением прямой на плоскости в нормальной форме.63nyMM0rr0OxРис. 8.3. Фиксируем прямоугольную систему координатПусть на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с базисом(i, j ) заданы ненулевой вектор n = ( A, B) и точка M ( x , y ).111Теорема 8.1. Произвольной прямой на плоскости в прямоугольнойсистеме координат соответствует уравнение первой степени относительно координат любой ее точки, и обратно, всякому уравнениюпервой степени с двумя переменными на плоскости в прямоугольнойсистеме координат соответствует прямая.> Любая прямая l на плоскости определяется точкой M 0 и вектором n , нормальным к прямой.

Уравнение такой прямой имеет видn (r - r0 ) = 0 .y0 ) , r( A, B ) , M 0 ( x0 ,=nПустьимееткоординаты( x,=y ), r0 ( x 0 , y 0 ). Тогда уравнение прямой при-нимает вид A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) = 0 илиAx + By + C = 0,(8.3)где C = - Ax0 - By0 .Определение 4. Уравнение (8.3) первой степени относительно переменных x и y называется общим уравнением прямой.Обратно, пусть координаты точки M 0 ( x0 , y0 ) удовлетворяютуравнению Ax + By + C = 0, т. е.Ax0 + By0 + C = 0 ,64(8.4)Вычтемизуравнения (8.3) уравнение (8.4), получимA ( x - x0 ) + B ( y - y0 )= 0.

Это значит, что существуют векторыn = ( A, B ) и r - r0(=x - x0 , y - y0 )такие, что n ×( r - r0 ) = 0. Сле-довательно, рассматриваемая линия первого порядка есть прямая. <Уравнение (8.1) можно записать в координатной форме. Пустьa = ( a x , a y ) , M 0 ( x0 , y0 ) , M ( x, y ) . Тогда параметрические уравненияì x = x0 + a x t.=+yyat0yîпримут вид: íЕсли выразить t из обоих уравнений, то получим каноническоеуравнение прямой:x - x0 y - y0=.(8.5)axayПусть задана прямая l и на ней две точки M1 ( r1 ) и M 2 ( r2 ) .

Вектор M 1 M 2 = r2 - r1 может быть взят за направляющий вектор иуравнение прямой примет видr = r1 + t (r2 - r1 )или в координатной формеìï x = x1 + t ( x2 - x1 )íïî y = y1 + t ( y2 - y1 ) .Если M 1 ( a ,0 ) Î l и M 2 ( 0, b ) Î l , то уравнение прямой l приметвидx yx -a y=или + = 1(8.6)a b-abОпределение 5. Уравнение прямой (8.6) называется уравнениемпрямой в отрезках.Уравнение прямой в отрезках можно получить из общего уравнения прямой (8.3), разделив его на -C , если C ¹ 0 . Получим-ABx - y = 1.CC65Если прямая l не перпендикулярна к оси Ox, то B ¹ 0 в уравнении (8.3) и выразив y из этого уравнения, получим y = - A x - C . ВвеBBдя обозначения -AC= k , - = b , получим уравнениеBBy = kx + b,(8.7)которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.В этом уравнении k = tgj , где j – угол между прямой l и осью Ox.yljxOРис.

8.4. Угол j - угол междупрямой l и осью OxВ полярных координатах x = r cosj , y = r sin j и уравнение прямой (8.3) принимает вид(8.8)Ar cos j + B r sin j + C = 0Пусть даны две прямые l1 и l2 , заданные своими параметрическими уравнениями: x = x1 + a1t ,= y y1 + a2t и x = x2 + b1t ,=y y2 + b2tсоответственно. Тогда угол j между прямыми можно найти как уголмежду направляющими векторами:cos j =a1b1 + a2b2a + a22 b12 + b2221.(8.9)Здесь знак модуля берется, поскольку угол a между векторамиможет быть тупой, и тогда угол j между прямыми найдем так:j = 180o - a .66Рассмотрим теперь условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.Если две прямые l1 и l2 параллельны, то коллинеарны и их направляющие векторы a1 и a 2 , и их нормальные векторы n1 и n 2 .Так как вектор a1 коллинеарен a 2 , то их координаты пропорциональныa x1 = l a x 2 ; a y1 = l a y 2 .(8.10)Так как n1 коллинеарен n 2 , тоA1 = l A2 , B1 = l B2 .(8.11)Если прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, тоk1 = k 2(8.12)Каждое из условий (8.10), (8.11) и (8.12) необходимо и достаточнодля того, чтобы прямые были параллельны.Если прямые l1 и l2 взаимно перпендикулярны, то перпендикулярны и их направляющие векторы a1 и a 2 и нормальные векторыn1 и n 2 .

В координатах это условие можно записать такa x1a x 2 + a y1a y 2 = 0(8.13)Пусть n1 = ( A1 , B1 ) , n 2 = ( A2 , B2 ) , тогда условие их перпендикулярности можно записать так: n1 n 2 = 0 илиA1 A2 + B1B2 = 0 .(8.14)Угловые коэффициенты связаны соотношениемk2 = -1.k1(8.15)Каждое из условий (8.13), (8.14) и (8.15) необходимо и достаточно для перпендикулярности прямых l1 и l2 .8.2 Плоскости в пространствеПусть в пространстве даны плоскостьO за точку отсчета.67p и точка O Ï p . ПримемЗафиксируем на плоскости точку M 0 ( r0 ) и рассмотрим два вектора a и b , коллинеарных плоскостиp , причем a не коллинеаренb.BaM0ADpbMCOРис. 8.5. Векторы AB и CD параллельны плоскостиpВозьмем на плоскости произвольную точку M ( r ) и построимвектор M 0 M = r - r0 .Векторыr - r0 ,abикомпланарны,следовательно,M 0 M = ua + vb ( u, v Î R ) или r - r0 =ua + vb , откудаr = r 0 + ua + vbЕсли задан вектор n , перпендикулярный плоскости( r - r ) × n = 0 или r × n + D = 0 ,0(8.16)p , то(8.17)где D = - r 0 × n.Определение 6.

Уравнение (8.16) называется векторнопараметрическим уравнением плоскости, а уравнение (8.17) – уравнением плоскости в нормальной форме.Теорема 8.2. Всякая плоскость в пространстве задается уравнением первой степени относительно переменных x , y и z в прямо-68угольной декартовой системе координат, и обратно, всякое уравнениепервой степени относительно переменных x , y и z в прямоугольнойдекартовой системе координат есть уравнение плоскости.> Любая плоскость p в пространстве может быть задана вектором n , перпендикулярным к этой плоскости, и некоторой точкойM 0 Î p .

Уравнение такой плоскости может быть записано в видеn (r - r 0 ) = 0 . Пусть в некоторой прямоугольной декартовой системекоординатn = ( A, B, C ) , r0 = ( x0 , y0 , z0 ) , r = ( x, y , z ) .Тогда уравнение плоскости p примет видA ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0или(8.18)Ax + By + Cz + D = 0,где D = - Ax0 - By0 - Cz0 .Обратно, рассмотрим уравнение первой степени относительно x,y, z: Ax + By + Cz + D = 0 (8.18).Пусть x0 , y0 , z0 – некоторое решение уравнения (8.18)Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0(8.19)Вычтя из уравнения (8.18) уравнение (8.19), получим уравнениеA ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0 .

Значит, существуют векторыn = ( A, B, C ) и r - r0(=x - x0 , y - y0 , z - z0 )()такие, что n × r - r0 = 0Значит, уравнение это является уравнением плоскости. <Определение 7. Уравнение (8.18) называется общим уравнениемплоскости.Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей черезточку A(2;-3;-1) перпендикулярно к вектору n = (4, 2, 3) .Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярнокданномувектору,имеетвидA( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0 или 4( x - 2) + 2( y + 3) + 3( z + 1) = 0 .Раскрывая скобки, получаем 4 x - 8 + 2 y + 6 + 3 z + 3 = 0 . Приводя подобные, получим 4 x + 2 y + 3 z + 1 = 0 .692ПустьданытриM 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , M 3 x3 , y3 , zточкиx2 , y2 , z2 , M 3 ( x3 , y3 , z3 ) . Составим уравнение плоскости, проходящей черезэтитриточки.ВозьмемнаM ( x, y , z ) и рассмотрим векторыM 1 M = r - r1 ,=M 1M 2плоскостипроизвольнуюr 2 - r1 ,=M 1M 3точкуr 3 - r1 .Векторы r - r1 , r 2 - r1 , r 3 - r1 компланарны, а значит, смешанноепроизведение(8.20)r - r1 r 2 - r1 r 3 - r 1 = 0.()()()Определение 8.

Уравнение (8.20) – это уравнение плоскости, проходящей через три точки, в векторной форме. В координатах его можно переписать так:x - x1 y - y1 z - z1x2 - x1y2 - y1z2 - z1 = 0(8.21)x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1Пусть плоскость p пересекает оси координат в точкахA ( a,0,0 ) , B ( 0, b,0 ) , C ( 0,0, c ) . Запишем уравнение плоскостиx -ayzx y zp : - a b 0 = 0 или + + = 1 (8.22)a b c-a 0 cОпределение 9.