Курс лекций по аналитической геометрии

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯНА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕЛекция № 1. Координаты и векторыв трехмерном евклидовом пространстве1.1 ВекторыВ курсе элементарной физики некоторые физические величины,например температура, объем, масса тела, плотность и другие вполнеопределяются числом. Такие величины называются скалярами. Дляопределения же некоторых других величин, например силы, скорости,ускорения и т. д. кроме числовых значений, необходимо задать еще инаправление их в пространстве.

Такие величины называются векторными.Определение 1. Направленный отрезок, одна из граничных точеккоторого принята за начало, а другая за конец, называется вектором.На чертеже вектор изображается отрезком прямой, на которойстрелкой отмечено направление. Направленный отрезок, началом которого является точкаA , а концом точка B ,··будем обозначать AB .ABОпределение2.Направленный отрезок,начало и конец которого совпадают, называРис. 1.1. Вектор ABется нулевым. НаправBление нулевого отрезка неопределенно, длина его считается равной нулю,обозначается он 0 .DОпределение 3.

Расстояние межAду началом и концом вектора называется его длиной, или модулем. Длина вектора AB обозначается | AB | .CОпределение 4. Векторы, параллельные одной прямой, называются4Рис. 1.2.Векторы AB и CD равныколлинеарными, а векторы, расположенные в одной плоскости илипараллельные одной и той же плоскости, – компланарными.Определение 5.

Два вектора AB и CD называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.Если векторы AB и CD равны, то записывают AB = CD . Иногдаrвекторы обозначают одной буквой с чертой или стрелкой: a, b .Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Поэтомуначало вектора можно помещать в любую точку пространства. В статике и геометрии векторы, начало которых при параллельном переносеможно помещать в любую точку пространства, называют свободными.В дальнейшем мы будем рассматривать только свободные векторы.Рассмотрим векторы AB и DE .

Пусть вектор AC равен векторуDE .Определение 6. Под углом между векторами AB и DE мы понимаем угол jмежду векторамиBРис. 1.3. УголC j – уголAB и AC , велиEчина которого немеждувекторами AB и DEjбольше p .Определение7. Если угол jAмежду векторамиDpравен , то векто2ры называются ортогональными.1.2 Действия над векторамиПусть вектор a изображает перемещение точки, тогда под вектором 3a естественно понимать перемещение в том же направлении1втрое большее, под вектором a – втрое меньшее перемещение, под3вектором - 3a – втрое большее перемещение, но в противоположномнаправлении и т. д.5Определение 8. Произведением вектора a наa3aчисло m называется вектор b , имеющий (приa ¹ 0 ) направление вектораРис.

1.4. Вектор 3a в три раза длиннееa , если m положительно,вектора a и одинаково с ним направлен.и противоположное наВектор-3a-3a направленправление, если m отривпротивоположнуюсторонуцательно. Длина этого вектора равна произведениюдлины вектора a на модуль числа m . Записывается это так: b = m a .Определение 9. Для заданного вектора a вектор ( -1) a называется противоположным и обозначается -a .Свойство 1. Для любых чисел m и n и любого вектора a справедливо равенствоm(na ) = (mn)a .(1.1)Действительно,векторы,стоящие в обеих частях равенстваA(1.1), имеют одинаковую длинуb| m | × | n | × | a | . Кроме того, этиBaвекторы коллинеарны и одинаковонаправлены, т.

к. их направлениеOcсовпадает с направлением a , еслииодногознака,ипротивопоm nCложно направлению a , если m иRn разных знаков.Свойство 2. Если вектор a неРис. 1.5. Вектор R равенравен нулю, то для любого коллисумме векторов a + b + cнеарного ему вектора b существует, и при этом только одно, число l , удовлетворяющее равенствуb = la .Пусть движущаяся точка прошла сначала путь OA = a , затемAB = b и BC = c . В результате точка переместилась из точки O вточку C . Вектор OC = R естественно назвать суммой всех данныхперемещений.6Определение 10.

Суммой векторов a, b, c,..., l называется новыйвектор R , который замыкает ломаную линию, построенную из данныхвекторов так, что начало каждого из последующих векторов суммысовмещается с концом предыдущего. Замыкающий вектор R направлен из начала первого вектора суммы к концу последнего. Записывается сумма так: R = a + b + c + ...

+ l .Легко проверяются следующие свойства сложения векторов.Свойство 1. a + b = b + a , т. е. сложение векторов коммутативнодля любых двух векторов a и b .Свойство 2. ( a + b) + c = a + (b + c) , т. е. сложение векторов ассоциативно.Свойство 3. 0 × a = 0 для любого вектора a .( )Свойство 4. a b a = (ab ) a для любых чисел a , b и вектора a .Свойство 5. 1× a = a для любого вектора a .Свойство 6.

a + -a = 0 для любого вектора a .( )Свойство 7. m( a + b) = m a + mb , т. е. сложение векторов дистрибутивно по отношению к умножению на число.Свойство 8. ( m + n )a = ma + n a для любых чисел m и n и вектора a .1.3 БазисОпределение 11. Пусть заданы векторы a 1 , a 2 ,..., a m и числаc1 , c2 ,..., cm . Вектор c1 a1 + c2 a 2 ... + cm a m называется линейной комбинацией векторов a1 , a 2 ,..., a m . Числа c1 , c2 ,..., cm называются коэффициентами линейной комбинации.Определение 12.

Система векторов a 1 , a 2 ,..., a m называется линейно зависимой, если существуют такие постоянные c1 ,..., cm , одновременно не равные нулю, что имеет линейная комбинация равна нулевому вектору c1 a 1 + c2 a 2 + ... + cm a m = 0 .Определение 13. Система векторов a 1 , a 2 ,..., a m называется линейно независимой, если из равенства некоторой линейной комбина-7ции векторов a 1 , a 2 ,..., a m нулевому вектору ( c1 a1 + c2 a 2 ...

+ cm a m = 0 )()следует, что все c = 0 i = 1, m .iТеорема 1.1. [6]. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и, наоборот, два неколлинеарных вектора линейно независимы.Теорема 1.2. [6]. Три компланарных вектора линейно зависимы,и, наоборот, три некомпланарных вектора линейно независимы.Теорема 1.3. [6]. Каждые четыре вектора линейно зависимы.Определение 14.

Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.Теорема 1.4. [6]. Если на плоскости векторыe1 и e 2 выбраны забазис, то любой с ними компланарный вектор a можно представить, ипритом единственным образом, как линейную комбинацию векторовбазиса.Определение 15. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.Теорема 1.5.

[6]. Если в пространстве векторы e 1 , e 2 и e 3 выбраны за базис, то любой вектор l пространства можно представить, ипритом единственным образом, как линейную комбинацию векторовбазиса.Из этой теоремы следует, что каждому вектору в пространстве базис позволяет сопоставить однозначно упорядоченную тройку чисел.Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел a1 ,a 2 ,a3 с помощью базиса e 1 , e 2 , e 3 мы сопоставим единственный вектор пространства a1 e1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 .Определение 16.Еслиe1 ,e 2 ,e 3–базисивекторa = a1 e1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 , то числа a1 ,a 2 ,a 3 называются координатамивектора a в данном базисе.Свойство 1. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.Свойство 2.

При сложении векторов складываются их соответствующие координаты.81.4 Декартова система координатЗафиксируем в пространстве точку O и рассмотрим произвольнуюточку M .Вектор OM называется радиус-вектором точки M по отношениюк точке O.Если выбран базис e 1 , e 2 , e 3 , то точке M можно сопоставитьупорядоченную тройку чисел, которые являются координатами ее радиус-вектора.Определение 17. Декартовой системой координат в проzстранстве называется совокупность точки O и базисаe 1 ,e 2 ,e 3 .Определение 18. Точка Oe3называется началом координат.Прямые, проходящие через O вOye2направлении базисных векторов,называются осями координат.e1Прямая Ox называется осью абсцисс, Oy – осью ординат, Oz –осью аппликат.

Плоскости, проходящие через оси координат,xназываютсякоординатнымиплоскостями.Определение 19. КоординаРис. 1.6. Пример непрямоугольнойты радиус-вектора точки M посистемы координат Oxyzотношению к выбранному базисуe1 , e2 , e3 называются координатами точки M в рассматриваемой системе координат.Координаты точки пишут в круглых скобках после буквы, обозначающей точку. Например, M (1,2,3) означает, что точка M имееткоординаты 1, 2, 3 в ранее выбранной декартовой системе координат.Если базисные векторы попарно ортогональны и имеют длину, равнуюединице, то базис называется ортонормированным; обозначаются базисные векторы i, j , k , а на плоскости через i, j .9Пусть вектор M 1 M 2 имеет началом точку M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , а концом - точку M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Тогда M 1M 2 = OM 2 - OM 1 , и координаты вектораM 1 M 2 будут ( x 2 - x1 , y 2 - y1 , z 2 - z1 ) .zM2M1kOiyjxРис.

1.7. Вектор M 1 M 2в ортонормированной системе координатРасстояние между точками M 1 и M 2 – это длина вектора M 1 M 2с координатами ( x 2 - x1 , y 2 - y1 , z 2 - z1 ) . Перенесем начало вектораM 1 M 2 в начало координат. Вектор OB1 является диагональю параллелепипеда OABCO1 A1 B1C1 на рисунке 8.10zM2M1O1C1A1B1yOAСBxРис. 1.8. Вектор OB1 равен вектору M 1 M 2 и является диагональюпараллелепипеда ABCOA1 B1C1O1По свойству диагоналиOB1 = OA2 + OC 2 + OO1=2( x2 - x1 )2+ ( y2 - y1 ) + ( z2 - z1 ) ,22т. к.

OA = x2 - x1 ,=OC y2 - y1 ,=OO1 z2 - z1 .Отсюда следует правило: расстояние между двумя точками равнокорню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат данных точек .Пример 1. Найти модуль радиус-вектора точки M(2;1;-2).| OM |= 2 2 + 12 + ( -2) 2 = 3 .Пусть даны точки A( x1 , y1 , z1 ) и B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . На прямой ABтребуется найти точку M ( x , y , z ) , делящую отрезок AB в отношенииl так, чтобы(1.2)AM = l MB11zAMr1rBr2yxРис. 1.9.

Деление отрезка в заданном соотношенииОпределение 20. Если искомая точка M лежит между точками A иB, то такое деление отрезка AB называется внутренним, и l в этомслучае положительно. Если точка M вне отрезка AB (на его продолжении), то такое деление называется внешним, и l при этом отрицательно.AM = r - r1 , =MB r2 - rУсловие (1.2) перепишется в видеx=x1 + l x2y + l y2z + l z2,y = 1,z = 1,1+ l1+ l1+ l(1.3)Формулы (1.3) известны под названием формул деления отрезка взаданном отношении.При l = 1 точка M делит отрезок AB пополам, и формулы (1.3)x + x2y + y2z +zпринимают вид xср = 1, yср = 1, zср = 1 2 , т. е. коорди222наты середины отрезка равны полусумме соответствующих координатего концов.12Лекция № 2.

Основы векторной алгебры2.1 Скалярное произведение векторовОпределение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей векторов-сомножителей накосинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, тоугол не определен, и скалярное произведение по определению полагается равным нулю.Скалярное произведение векторов a и b обозначается (a , b ) илиa ×b .æ Ù ö(2.1)a × b a × b= × cos j , j = ç a , b ÷ .èøПроекцией вектора OB на вектор OA называется длина вектораOB ' , где B ' - проекция точки B на прямую OA , взятая со знакомплюс, если угол j между векторами OB и OA удовлетворяет соотношениям: £ j < p и минус, если p < j £ p .022Спроецировав вектор OB= b на вектор OA= a , получимпрa b= OC= | b | cosj , ( a, b)= | a | × | b | × cos j = | a | ×прa b= | b | ×прb a .BbjOпрb aB`aAРис. 2.1.

Длина отрезка OB` – это проекциявектора b на вектор aОпределение 2. Проекцией вектора AB на ось Ox называется проекция вектора AB на направляющий вектор i этой оси.13BAOiB`jxDCBAjB`ODiCxРис 2.2. а – длина отрезка CD – это проекция векторана ось Ox . Проекция положительна, поскольку угол j острыйб – проекция отрицательна, поскольку угол j тупойТеорема 2.1. [6]. Проекция вектора на ось равна длине вектора,умноженной на косинус угла между вектором и осью.Следовательно, скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора напервый.В результате скалярного произведения получается число, а не новый вектор.Свойство 1. a × b = b × a , т. е. скалярное произведение коммутативнодля любых векторов a и b .Свойство 2.

Для любого вектора a выполняется соотношение:2a×a = a .Свойство 3. Скалярное произведение равно нулю тогда и толькотогда, когда векторы перпендикулярны или один из сомножителейравен нулю.Свойство 4. Скалярное произведение обладает свойством ассоциативности относительно скалярного множителя:l a × b a=× l b = l a × b .( )( ) ( )Свойство 5. Скалярное умножение дистрибутивно относительносложения, т. е. для любых трех векторов a , b, c имеет место равенство14()a × b + c = a ×b + a ×c .Используя эти свойства, запишем произведение векторов ортонормированного базиса.222i = j = k = 1, т.