Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Курс лекций по аналитической геометрии

Курс лекций по аналитической геометрии

PDF-файл Курс лекций по аналитической геометрии Линейная алгебра и аналитическая геометрия (105010): Лекции - 1 семестрКурс лекций по аналитической геометрии: Линейная алгебра и аналитическая геометрия - PDF (105010) - СтудИзба2021-06-13СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Курс лекций по аналитической геометрии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯНА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕЛекция № 1. Координаты и векторыв трехмерном евклидовом пространстве1.1 ВекторыВ курсе элементарной физики некоторые физические величины,например температура, объем, масса тела, плотность и другие вполнеопределяются числом. Такие величины называются скалярами. Дляопределения же некоторых других величин, например силы, скорости,ускорения и т. д. кроме числовых значений, необходимо задать еще инаправление их в пространстве.

Такие величины называются векторными.Определение 1. Направленный отрезок, одна из граничных точеккоторого принята за начало, а другая за конец, называется вектором.На чертеже вектор изображается отрезком прямой, на которойстрелкой отмечено направление. Направленный отрезок, началом которого является точкаA , а концом точка B ,··будем обозначать AB .ABОпределение2.Направленный отрезок,начало и конец которого совпадают, называРис. 1.1. Вектор ABется нулевым. НаправBление нулевого отрезка неопределенно, длина его считается равной нулю,обозначается он 0 .DОпределение 3.

Расстояние межAду началом и концом вектора называется его длиной, или модулем. Длина вектора AB обозначается | AB | .CОпределение 4. Векторы, параллельные одной прямой, называются4Рис. 1.2.Векторы AB и CD равныколлинеарными, а векторы, расположенные в одной плоскости илипараллельные одной и той же плоскости, – компланарными.Определение 5.

Два вектора AB и CD называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.Если векторы AB и CD равны, то записывают AB = CD . Иногдаrвекторы обозначают одной буквой с чертой или стрелкой: a, b .Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Поэтомуначало вектора можно помещать в любую точку пространства. В статике и геометрии векторы, начало которых при параллельном переносеможно помещать в любую точку пространства, называют свободными.В дальнейшем мы будем рассматривать только свободные векторы.Рассмотрим векторы AB и DE .

Пусть вектор AC равен векторуDE .Определение 6. Под углом между векторами AB и DE мы понимаем угол jмежду векторамиBРис. 1.3. УголC j – уголAB и AC , велиEчина которого немеждувекторами AB и DEjбольше p .Определение7. Если угол jAмежду векторамиDpравен , то векто2ры называются ортогональными.1.2 Действия над векторамиПусть вектор a изображает перемещение точки, тогда под вектором 3a естественно понимать перемещение в том же направлении1втрое большее, под вектором a – втрое меньшее перемещение, под3вектором - 3a – втрое большее перемещение, но в противоположномнаправлении и т. д.5Определение 8. Произведением вектора a наa3aчисло m называется вектор b , имеющий (приa ¹ 0 ) направление вектораРис.

1.4. Вектор 3a в три раза длиннееa , если m положительно,вектора a и одинаково с ним направлен.и противоположное наВектор-3a-3a направленправление, если m отривпротивоположнуюсторонуцательно. Длина этого вектора равна произведениюдлины вектора a на модуль числа m . Записывается это так: b = m a .Определение 9. Для заданного вектора a вектор ( -1) a называется противоположным и обозначается -a .Свойство 1. Для любых чисел m и n и любого вектора a справедливо равенствоm(na ) = (mn)a .(1.1)Действительно,векторы,стоящие в обеих частях равенстваA(1.1), имеют одинаковую длинуb| m | × | n | × | a | . Кроме того, этиBaвекторы коллинеарны и одинаковонаправлены, т.

к. их направлениеOcсовпадает с направлением a , еслииодногознака,ипротивопоm nCложно направлению a , если m иRn разных знаков.Свойство 2. Если вектор a неРис. 1.5. Вектор R равенравен нулю, то для любого коллисумме векторов a + b + cнеарного ему вектора b существует, и при этом только одно, число l , удовлетворяющее равенствуb = la .Пусть движущаяся точка прошла сначала путь OA = a , затемAB = b и BC = c . В результате точка переместилась из точки O вточку C . Вектор OC = R естественно назвать суммой всех данныхперемещений.6Определение 10.

Суммой векторов a, b, c,..., l называется новыйвектор R , который замыкает ломаную линию, построенную из данныхвекторов так, что начало каждого из последующих векторов суммысовмещается с концом предыдущего. Замыкающий вектор R направлен из начала первого вектора суммы к концу последнего. Записывается сумма так: R = a + b + c + ...

+ l .Легко проверяются следующие свойства сложения векторов.Свойство 1. a + b = b + a , т. е. сложение векторов коммутативнодля любых двух векторов a и b .Свойство 2. ( a + b) + c = a + (b + c) , т. е. сложение векторов ассоциативно.Свойство 3. 0 × a = 0 для любого вектора a .( )Свойство 4. a b a = (ab ) a для любых чисел a , b и вектора a .Свойство 5. 1× a = a для любого вектора a .Свойство 6.

a + -a = 0 для любого вектора a .( )Свойство 7. m( a + b) = m a + mb , т. е. сложение векторов дистрибутивно по отношению к умножению на число.Свойство 8. ( m + n )a = ma + n a для любых чисел m и n и вектора a .1.3 БазисОпределение 11. Пусть заданы векторы a 1 , a 2 ,..., a m и числаc1 , c2 ,..., cm . Вектор c1 a1 + c2 a 2 ... + cm a m называется линейной комбинацией векторов a1 , a 2 ,..., a m . Числа c1 , c2 ,..., cm называются коэффициентами линейной комбинации.Определение 12.

Система векторов a 1 , a 2 ,..., a m называется линейно зависимой, если существуют такие постоянные c1 ,..., cm , одновременно не равные нулю, что имеет линейная комбинация равна нулевому вектору c1 a 1 + c2 a 2 + ... + cm a m = 0 .Определение 13. Система векторов a 1 , a 2 ,..., a m называется линейно независимой, если из равенства некоторой линейной комбина-7ции векторов a 1 , a 2 ,..., a m нулевому вектору ( c1 a1 + c2 a 2 ...

+ cm a m = 0 )()следует, что все c = 0 i = 1, m .iТеорема 1.1. [6]. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и, наоборот, два неколлинеарных вектора линейно независимы.Теорема 1.2. [6]. Три компланарных вектора линейно зависимы,и, наоборот, три некомпланарных вектора линейно независимы.Теорема 1.3. [6]. Каждые четыре вектора линейно зависимы.Определение 14.

Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.Теорема 1.4. [6]. Если на плоскости векторыe1 и e 2 выбраны забазис, то любой с ними компланарный вектор a можно представить, ипритом единственным образом, как линейную комбинацию векторовбазиса.Определение 15. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке.Теорема 1.5.

[6]. Если в пространстве векторы e 1 , e 2 и e 3 выбраны за базис, то любой вектор l пространства можно представить, ипритом единственным образом, как линейную комбинацию векторовбазиса.Из этой теоремы следует, что каждому вектору в пространстве базис позволяет сопоставить однозначно упорядоченную тройку чисел.Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел a1 ,a 2 ,a3 с помощью базиса e 1 , e 2 , e 3 мы сопоставим единственный вектор пространства a1 e1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 .Определение 16.Еслиe1 ,e 2 ,e 3–базисивекторa = a1 e1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 , то числа a1 ,a 2 ,a 3 называются координатамивектора a в данном базисе.Свойство 1. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.Свойство 2.

При сложении векторов складываются их соответствующие координаты.81.4 Декартова система координатЗафиксируем в пространстве точку O и рассмотрим произвольнуюточку M .Вектор OM называется радиус-вектором точки M по отношениюк точке O.Если выбран базис e 1 , e 2 , e 3 , то точке M можно сопоставитьупорядоченную тройку чисел, которые являются координатами ее радиус-вектора.Определение 17. Декартовой системой координат в проzстранстве называется совокупность точки O и базисаe 1 ,e 2 ,e 3 .Определение 18. Точка Oe3называется началом координат.Прямые, проходящие через O вOye2направлении базисных векторов,называются осями координат.e1Прямая Ox называется осью абсцисс, Oy – осью ординат, Oz –осью аппликат.

Плоскости, проходящие через оси координат,xназываютсякоординатнымиплоскостями.Определение 19. КоординаРис. 1.6. Пример непрямоугольнойты радиус-вектора точки M посистемы координат Oxyzотношению к выбранному базисуe1 , e2 , e3 называются координатами точки M в рассматриваемой системе координат.Координаты точки пишут в круглых скобках после буквы, обозначающей точку. Например, M (1,2,3) означает, что точка M имееткоординаты 1, 2, 3 в ранее выбранной декартовой системе координат.Если базисные векторы попарно ортогональны и имеют длину, равнуюединице, то базис называется ортонормированным; обозначаются базисные векторы i, j , k , а на плоскости через i, j .9Пусть вектор M 1 M 2 имеет началом точку M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , а концом - точку M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Тогда M 1M 2 = OM 2 - OM 1 , и координаты вектораM 1 M 2 будут ( x 2 - x1 , y 2 - y1 , z 2 - z1 ) .zM2M1kOiyjxРис.

1.7. Вектор M 1 M 2в ортонормированной системе координатРасстояние между точками M 1 и M 2 – это длина вектора M 1 M 2с координатами ( x 2 - x1 , y 2 - y1 , z 2 - z1 ) . Перенесем начало вектораM 1 M 2 в начало координат. Вектор OB1 является диагональю параллелепипеда OABCO1 A1 B1C1 на рисунке 8.10zM2M1O1C1A1B1yOAСBxРис. 1.8. Вектор OB1 равен вектору M 1 M 2 и является диагональюпараллелепипеда ABCOA1 B1C1O1По свойству диагоналиOB1 = OA2 + OC 2 + OO1=2( x2 - x1 )2+ ( y2 - y1 ) + ( z2 - z1 ) ,22т. к.

OA = x2 - x1 ,=OC y2 - y1 ,=OO1 z2 - z1 .Отсюда следует правило: расстояние между двумя точками равнокорню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат данных точек .Пример 1. Найти модуль радиус-вектора точки M(2;1;-2).| OM |= 2 2 + 12 + ( -2) 2 = 3 .Пусть даны точки A( x1 , y1 , z1 ) и B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . На прямой ABтребуется найти точку M ( x , y , z ) , делящую отрезок AB в отношенииl так, чтобы(1.2)AM = l MB11zAMr1rBr2yxРис. 1.9.

Деление отрезка в заданном соотношенииОпределение 20. Если искомая точка M лежит между точками A иB, то такое деление отрезка AB называется внутренним, и l в этомслучае положительно. Если точка M вне отрезка AB (на его продолжении), то такое деление называется внешним, и l при этом отрицательно.AM = r - r1 , =MB r2 - rУсловие (1.2) перепишется в видеx=x1 + l x2y + l y2z + l z2,y = 1,z = 1,1+ l1+ l1+ l(1.3)Формулы (1.3) известны под названием формул деления отрезка взаданном отношении.При l = 1 точка M делит отрезок AB пополам, и формулы (1.3)x + x2y + y2z +zпринимают вид xср = 1, yср = 1, zср = 1 2 , т. е. коорди222наты середины отрезка равны полусумме соответствующих координатего концов.12Лекция № 2.

Основы векторной алгебры2.1 Скалярное произведение векторовОпределение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей векторов-сомножителей накосинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, тоугол не определен, и скалярное произведение по определению полагается равным нулю.Скалярное произведение векторов a и b обозначается (a , b ) илиa ×b .æ Ù ö(2.1)a × b a × b= × cos j , j = ç a , b ÷ .èøПроекцией вектора OB на вектор OA называется длина вектораOB ' , где B ' - проекция точки B на прямую OA , взятая со знакомплюс, если угол j между векторами OB и OA удовлетворяет соотношениям: £ j < p и минус, если p < j £ p .022Спроецировав вектор OB= b на вектор OA= a , получимпрa b= OC= | b | cosj , ( a, b)= | a | × | b | × cos j = | a | ×прa b= | b | ×прb a .BbjOпрb aB`aAРис. 2.1.

Длина отрезка OB` – это проекциявектора b на вектор aОпределение 2. Проекцией вектора AB на ось Ox называется проекция вектора AB на направляющий вектор i этой оси.13BAOiB`jxDCBAjB`ODiCxРис 2.2. а – длина отрезка CD – это проекция векторана ось Ox . Проекция положительна, поскольку угол j острыйб – проекция отрицательна, поскольку угол j тупойТеорема 2.1. [6]. Проекция вектора на ось равна длине вектора,умноженной на косинус угла между вектором и осью.Следовательно, скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора напервый.В результате скалярного произведения получается число, а не новый вектор.Свойство 1. a × b = b × a , т. е. скалярное произведение коммутативнодля любых векторов a и b .Свойство 2.

Для любого вектора a выполняется соотношение:2a×a = a .Свойство 3. Скалярное произведение равно нулю тогда и толькотогда, когда векторы перпендикулярны или один из сомножителейравен нулю.Свойство 4. Скалярное произведение обладает свойством ассоциативности относительно скалярного множителя:l a × b a=× l b = l a × b .( )( ) ( )Свойство 5. Скалярное умножение дистрибутивно относительносложения, т. е. для любых трех векторов a , b, c имеет место равенство14()a × b + c = a ×b + a ×c .Используя эти свойства, запишем произведение векторов ортонормированного базиса.222i = j = k = 1, т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5368
Авторов
на СтудИзбе
411
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее