Курс лекций по аналитической геометрии, страница 4

. . .úêúêë0 0 0 ... 1úûì1 при i = jобозначает символ Кронекера. Таким обраî0 при i ¹ jЗдесь d ij = íзом, символ Кронекера – это функция, принимающая значение 1 еслиi = j и 0, если i ¹ j .Определение 10. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. При этом матрицу видаéa11ê0êê0ê .êêë 0a12a220.0a13 ... a1n ùa23 ... a2 n úú называют верхней треугольной,a33 ... a3n ú... úú0 ... ann úûé a11 0êaa22а матрицу вида ê 21ê a31 a32ê ..êêë an1 an 200a33.an 30ù0úú - нижней треугольной.... 0 ú.. úú... ann úû......324.2 Операции над матрицамиСложение матрицОперация сложения вводится только для матриц одинаковых размеров.Определение 11.

Суммой двух матриц Am´n = (aij ) иBm´n = ( bij )называетсяматрицаCm´n= ( cij ) ,такая,чтоcij= aij + bij (i =1, m; j =1, n) .Сумма матрицAиBобозначается A + B .Умножение матрицы на числоОпределение 12. Произведением матрицыaназываетсяматрицаAm´n = (aij ) на числоBm=(bij ) ,´nтакая,что=bij a a=1, m=; j 1, n ). Обозначается B = a A .ij (iПример 2.

Произведение матрицыa = -4 есть матрица é4é -1 2 -3ùê0 1 4úëûна число-8 12 ù .ê0 -4 -16úëûМатрицу (-1)А назовем матрицей, противоположной матрице А, иобозначим –А.Легко проверить справедливость следующих свойств:1. A + B = B + A .2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (ассоциативность).3. A + 0 = A .4.

A + ( - A) = 0 .5. 1A = A. .6. a ( b A) = (ab ) A (ассоциативность относительно умножения на числа).7. a ( A + B ) =a A + a B (дистрибутивность умноженияна число относительно сложения матриц).33(a + b ) A= a A + b A (дистрибутивность умноженияна матрицу относительно сложения чисел).8.Умножение матрицОпределение 13. Пусть дана сумма n слагаемых a1 + a2 + ... + an .Ее кратко обозначают с помощью символаnnå a , т.

е. å ai= 1iii =1åследующим образом:= a1 + a2 + ... + an .iПри этом индексмер,называется индексом суммирования. Напри-nåai= 1ijnåaj= 1ij= a1 j + a2 j + ... + anj ;= ai1 + ai 2 + ... + ain .Легко проверить справедливость следующих свойств:1.nnåa = åai =1ih =1(сумма не зависит от обозначения индекса сум-hмирования).2.nni= 1i= 1åa ai = a å ai (множитель, не зависящий от знака суммиро-вания, можно выносить за знак суммы).nnn3.(a + b ) = a + b .åinni =14.=iåi 1=niåii 1nåå aij = åå aij (Здесьj =1 i =1==i 1 j 1nnnnj =1i 1åå aij = å (å aij ) ).j =1 i 1==Определение 14. Матрицу A будем называть согласованной с матрицей B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицыB.Пример 3.

Даны матрицы34écaéaA = ê 11 12ë a21 a22a13 ù;a23 úû11é b11 ùêcB = ê b21 ú ; C = ê 21ê úê c31êë b31 úûêë c41c12 ùc22 úú.c32 úúc42 ûМатрица A согласована с матрицей B, поскольку число столбцовматрицы A равно числу строк матрицы B.Матрица В не согласована с матрицей А, т. к. матрица В имеетодин столбец, а число строк матрицы А равно двум.Матрица А не согласована с матрицей С, но матрица С согласована с матрицей А.Матрица В не согласована с матрицей С, и матрица С также не согласована с матрицей В.Произведение матрицы А на матрицу В вводится только для согласованных матриц, т. е. А есть матрица размеров m ´ n , а В – размеров n ´ k .Определение 15.

Произведением матрицы Am´n = ( aij ) на мат-Bn´k = (bij ) называется матрица Cm´k = ( cij ) , такая, чторицуcij =nåa b=s 1is sj.Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.Из определения 15 следует, что элемент матрицы АВ, стоящий вi -й строке и j -м столбце, равен сумме произведений элементов i -йстроки на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.Замечание.

Если произведение АВ существует, то произведениеВА, вообще говоря, не существует. Если АВ и ВА существуют, то, возможно, AB ¹ BA .Определение 16. Если АВ = ВА, то матрицы называются перестановочными, или коммутируемыми.Пример 4. Найти произведение АВ, еслиé b11 b12 ùé a11é a11 a12a12 a13aù13 ùêúA2´A3 2=´3 ê= êú; Bú 3;´B2 3=´2 =b21ê b21b22b22 úaaaaaaë 21ë 21 22 22 23 û23 ûêë b31 b32 úû .Матрица A2´3 согласована с матрицей B3´2 , поэтому существуетматрица C2´2 = A2´3 B3´235é a11b11 + a12 b21 + a13b31 a11b12 + a12 b22 + a13b32 ùA2´3 B3´2 = êúëa21b11 + a22 b21 + a23b31 a21b12 + a22 b22 + a23b32 ûПример 5. Умножить матрицу А на матрицу В.é 2 1ùé 1 2 8ùA= ê;B = êúúë -2 3ûë -1 0 4 ûé 2 × 1 + 1 × ( -1)2 × 2 + 1× 02 × 8 + 1 × 4 ù é 1 4 20 ùAB = êú=êú.ë ( -2 ) × 1 + 3 × ( -1) -2 × 2 + 3 × 0 -2 × 8 + 3 × 4 û ë -5 -4 -4ûИз определения операции умножения матриц следует, чтоAE = EA = A, A0 = 0 A = 0.Определение 17. Если матрица А согласована с матрицей В, а матрица В согласована с матрицей С, то под произведением АВС трехматриц понимаем матрицу, полученную последовательным умножением данных матриц, т.

е. матрицу (АВ)С.Справедливы следующие свойства (при условии, что указанныеоперации имеют смысл)1) ( AB )C = A( BC ) (ассоциативность).2) a ( AB) = (a A) B = A(a B ) (обозначается a AB ).3) ( A + B )C= AC + BC (дистрибутивность умножениясправа относительно сложения матриц).4) C ( A + B ) = CA + CB (дистрибутивность умноженияслева относительно сложения матриц).В лекции 3 был рассмотрен поворот системы координат в пространстве. Старые координаты точки М выражаются через новые поформулам (3.6), (3.7), (3.8). В матричном виде можно записать этиформулы в виде одного матричного равенства:(xyz) = ( XYé a11Z ) êa21êêë a3136a12a22a32a13 ùa23 úúa33 úû(4.2)Транспонирование матрицыМатрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной кданной.

Матрицу, транспонированную к матрице А, обозначают AT .Еслиé a11 a12 ... a1n ùêaa22 ... a2 n ú21êúA=... úê .êaúë n1 an 2 ... ann û ,тоé a11êaAT = ê 12ê .êaë 1na21 ... an1 ùa22 ... an 2 úú... úa2 n ... ann úû.Справедливы следующие свойства:( AT )T = A .(a A)T = a AT .( A + B )T= AT + BT , где А и В – матрицы одинакового размера.( AB )T = B T AT , где матрица А согласована с матрицей В.Для произведения трех матриц имеем( ABC )T = (( AB )C )T = C T ( AB )T = C T B T AT .Блочные матрицыДо сих пор мы рассматривали матрицы, элементами которых являются числа.

Можно рассматривать матрицы, элементами которыхявляются, в свою очередь, матрицы. Такие матрицы называются блочными.Определение 18. Пусть дана матрица37é a11 a12 ... a1n ùêaa22 ... a2 n ú .úA = ê 21... úê .êaúë m1 am 2 ... amn ûРазобьем ее вертикальными и горизонтальными прямыми на несколько матриц. Полученные при этом матрицы называются блоками(клетками) матрицы А.Данную матрицу можно записать в виде матрицы, элементамикоторой являются блоки.Определение 19. Если элементами матрицы являются матрицы, тобудем говорить, что матрица записана в виде блочной матрицы.Пример 6.Пусть данная матрица А разбита на блоки следующим образомé a11êaê 21ê_A=êê a31ê a41êë a51| a12| a22_ _a13a23_|||a33a43a53a32a42a52| a14 ù| a24 úú_ _úú| a34 ú| a44 úú| a54 ûВведем обозначения:éa ùB = B2´1 = ê 11 ú ;ë a21 ûéa ùD = D2´1 = ê 14 ú ;ë a24 ûG = G3´2é a32= ê a42êêë a52a13 ùéaC = C2´2 = ê 12ú;ë a22 a23 ûé a31 ùF = F3´1 = ê a41 ú ;ê úêë a51 úûa33 ùa43 ú ;úa53 úûé a34 ùH = H 3´1 = ê a44 ú .ê úêë a54 úûТогда матрицу А можно записать в виде блочной:38é B2´1 C2´2A= êë F3´1 G3´2D2´1 ù илиéB CA= êúH 3´1 ûëF GDù.H úûОпределение 20.

Сумма элементов главной диагонали квадратнойматрицы А обозначается Tr ( A) и называется следом матрицы А.Легко проверить следующие свойства следа:T1) Tr ( A ) = Tr ( A) .2) Tr ( A + B ) Tr=( A) + Tr ( B ) (порядок матрицы А равен порядкуматрицы В).3) Tr (a A) = a Tr ( A) , где a – некоторое число.Определение 21. Квадратная матрица, для которой aij = a ji , называется симметричной.Матрица А является симметричной тогда и только тогда, когдаAT = A.Определение 22.

Квадратная матрица, у которой aij = - a ji , назы-вается антисимметричной.Из этого определения следует, что диагональные элементы антисимметричной матрицы равны нулю, напримерé0 -2 -1ù .A = ê2 0 4 úêúêë1 -4 0 úûОпределение 23. Квадратная матрица А видаé l 1 0 ... 0 ùê 0 l 1 ... 0 úúA= êê. . .

. .úê 0 0 0 ... l úëûназывается матрицей Жордана. У матрицы Жордана на главной диагонали стоит число l , а справа от этого числа стоит 1. Все остальныеэлементы матрицы Жордана равны нулю.39Лекция № 5. Определитель матрицы5.1 ПерестановкиОпределение 1. Перестановкой из n натуральных чисел(1,2,3,…,n) называется любое их расположение в определенном порядке.Произвольную перестановку из n чисел будем записывать в виде(a1, a2 ,..., a n ) , где каждое ai - одно из чисел 1,2,…,n и a i ¹ a j приi¹ j.Подсчитаем число различных перестановок из чисел (1,2,3,…,n).На первом месте можно поместить любое из n данных чисел, на втором – любое из n-1 оставшихся чисел и т. д., получаемn × ( n - 1) × ( n - 2) × ...

× 1 . Итак, число различных перестановок из чисел1,2,3,…,n равно произведению 1 × 2 × 3 × ... × ( n - 1) × n, которое обозначается n ! (“эн факториал”).Определение 2. Будем говорить, что два числа образуют инверсиюв перестановке, если большее число стоит левее меньшего.Например, в перестановке (2, 1, 4, 3, 5) пары (2, 1) и (4, 3) образуют инверсию.Число инверсий в перестановке (a1, a 2 ,...,a n ) будем обозначатьI (a1, a 2 ,..., a n ) .Определение 3.

Если число инверсий в перестановке четное, тоона называется четной, в противном случае – нечетной.Определение 4. Если в данной перестановке поменять местамидва числа ai и a j и оставить на месте другие, то будем говорить, чтомы произвели транспозицию чисел ai и a j .Теорема 5.1 [2]. Четность перестановки меняется, если произвести транспозицию.5.2 ОпределительРассмотрим квадратную матрицу40é а11 а12 ... а1n ùêаа22 ... а2 n ú .21êúA=MMM úê Mêúë аn1 аn 2 ... аnn ûВозьмем произведение элементов этой матрицы, взятых по одному элементу из каждой строки и столбца. Любое такое произведениебудет содержать n-элементов и может быть записано в видеa1a a2a ...ana .

Здесь первые индексы (n строк) упорядочены по возрас12nтанию, а вторые (n столбцов) образуют некоторую перестановку изчисел a1,a2 ,...,an . Всего таких произведений будет столько, сколькосуществует различных перестановок из n элементов, т.е. n!. Умноживкаждое из n! произведений на знак перестановки a1 , a 2 ,...,a n , получим(-1) I (a1 La n ) a1a1 a2a2 ...anan(5.1)Определение 5.

Сумма п! произведений вида (5.1) называется определителем матрицы А, или детерминантом.Определитель обозначается одним из следующих символова11 а12 ... а1nаа22 ... а2n∆ = detA = det(aij)= 21=MMMMаn1 аn 2 ... аnn=∑ ( -1) I (a1 La n ) a1a1a2a2 ...anan(5.2)Определение 6. Элементы, строки, столбцы матрицы называютсоответственно элементами, строками, столбцами определителя матрицы. Рассмотрим частные случаи.1) n = 1. Определитель первого порядка. a11 = a11 ;2) n = 2. Определитель второго порядка.a11a12a21a22= a11 × a22 - a12 × a21 ;41a11 a123) n = 3. Определитель третьего порядка aa2221a31 a323! = 6 слагаемыхa13a23 содержитa33× a11a22 a33 + ( -1)× a11a23a32 + ( -1)× a12 a21a33 +( -1)I ( 2,3,1)I (3,1,2)I (3,2,1)+ ( -1)× a12a 23a31 + ( -1)× a13a21a32 + ( -1)× a13a22 a31== ( a11a22 a33 + a12a 23a31 + a13a21a32 ) - ( a13a22 a31 + a12 a21a33 + a23a32 a11 )I (1,2,3)I (1,3,2)I (2,1,3)Эти определения согласуются с определениями, данными влекции 2.

Определитель третьего порядка можно вычислять по правилу треугольников:абРис. 5.1. а – эти три слагаемые берутся со знаком плюс;б – эти три слагаемые берутся со знаком минусБерутся три слагаемых со знаком плюс и три слагаемых со знакомминус:( a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 ) - (a13a22a31 + a12a21a33 + a23a32a11 ).5.3 Свойства определителя1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.Рассмотрим матрицу>é a11 a12 ... a1n ùêaa22 ... a2 n ú21êúA=ê .... úêúë an1 an 2 ... ann û42(5.3)После транспонирования получим матрицуé a11êaAT = ê 12ê .êë a1na21a22.a2 n...