Курс лекций по аналитической геометрии, страница 11

Отметим, что нужное преобразование исходных переменных x1 , x2 ,..., xn можно получить путемперемножения найденных в процессе рассуждений преобразований.Теорема доказана. <103Пример 2. Привести методом Лагранжа к каноническому видуквадратичную формуf ( x1 , x2 , x3 ) = x12 - 3x1 x2 + 4 x1 x3 + 2 x2 x3 + x32113f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x12 - x1 (3x2 - 4 x3 ) + (3x2 - 4 x3 )2 ) - (3x2 - 4 x3 )2 + 2 x2 x3 + x32 ( x=1 - x2 + 2 x3 )2 4429393- x22 + 6 x2 x3 - 4 x32 + 2 x2 x3 + x32 (=x1 - x2 + 2 x3 ) 2 - x22 + 8 x2 x3 - 3 x32 =( x1 - x2 + 2 x3 ) 2 424232256 2 64 23916379x3 ) + x3 - 3 x32 ( x=1 - x2 + 2 x3 )2 - ( x2 - x3 )2 + x32 .- ( x22 - x2 x3 +981924994316y1 = x1 - x2 + 2 x3 , = y2 x2 - x3, = y3 x329приводит данную квадратичную форму к каноническому виду937 2f1 ( y1 , y 2 , y 3 ) = y12 - y 22 +y3 .49Заметим, что для данной квадратичной формы канонический видопределяется не единственным образом.Однако все канонические формы, к которым может быть приведена данная квадратичная форма, обладают рядом общих свойств, одноиз которых называется законом инерции квадратичных форм: все канонические формы, к которым может быть приведена данная квадратичная форма, имеют:1) одно и то же число нулевых коэффициентов;2) одно и то же число положительных коэффициентов;3) одно и то же число отрицательных коэффициентов.Определение 4.

Если в канонической форме квадратичной формыf ( x1 ,..., x n ) все коэффициенты больше нуля, то она называется положительно определенной; если все коэффициенты меньше нуля, тоона называется отрицательно определенной.nПустьипусть=D1 a11f ( x , x ,..., x ) = a x xНеособое преобразование1a11 a12=D2,...,=Dna21 a222nåij =1a11 ... a1n... ... ... .an1 ...

annijij- угловые миноры и определительматрицы ( aij ) . Справедливо следующее утверждение:Теорема 11. 3. (критерий Сильвестра) [7]. Для того, чтобы квадратичная форма f ( x1 ,..., xn ) была положительно определенной, необ-104ходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенстваD 1 > 0, D 2 > 0,..., D n > 0. . Для того, чтобы квадратичная форма былаотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знакиугловых миноров чередовались, причем D 1 < 0.Определение 5. Сигнатурой квадратичной формы называетсяупорядоченная пара чисел (p, q), где p - число положительных коэффициентов в канонической форме, q - число отрицательных коэффициентов.Определение 6. Число p называется положительным индексоминерции, q – отрицательным индексом инерции данной формы.Замечание: иногда сигнатурой называют разность p-q.105Лекция № 12.

Линейные пространства12.1 Определение линейного пространстваРассмотрим множество V элементов x, y, z … и множество всехдействительных чисел R. Пусть задан закон, по которому каждой пареx, y элементов множества V ставится в соответствие элемент этого жемножества.Определение 1. Элемент z называют суммой и пишут z = x + y.Кроме того, пусть задана операция умножения на число, т.е. каждому элементу x и числу a Î R ставится в соответствие элемент a x.Допустим, что для введенных операций выполняются следующиеаксиомы:1. x + y = y + x "x, y ÎV .2. ( x + y ) + z = x + ( y + z )= x + y + z , "x , y , z ÎV .3. В множестве V существует элемент(который называется нулеx+0=x,"x Î V .вым и обозначается 0 ) такой, что4.

Для каждого элемента x Î V существует элемент (которыйобозначим -x и назовем противоположным x) такой, что x + ( - x ) = 0 .5. Для любого x Î V 1 × x = x .Для любых чисел a , b Î R и любых x , y Î V :.6. a ( bx ) = (ab x)7. a ( x + y ) = ax + ay.8. (a + b ) x = ax + b x.Определение 2. Множество V с операцией сложения и умноженияна число, удовлетворяющее указанным аксиомам, называется вещественным линейным пространством.

Такое множество V также называют векторным пространством. Элементы из V называются векторами.Из определения 2 линейного пространства следуют следующиеутверждения:1. В линейном пространстве существует единственный нулевойвектор.2. В линейном пространстве для каждого вектора x существуетединственный противоположный – x.3. Для элемента – x противоположным будет x.1064.

Произведение числа 0 на любой элемент x есть нулевой элемент.5. Произведение ( -1) × x равно элементу - x .6. Произведение любого числа a на нулевой элемент есть нулевой элемент.-ax = 0 и a ¹ 0, то x = 0 .8. Если ax = 0 и x ¹ 0 , то a = 0 .Пример 1. Пусть M 3 – множество свободных векторов. Свобод7. Еслиный вектор - это класс равных между собой векторов, называемых егопредставителями. Для операций сложения и умножения на число берутся представители классов. Эти операции удовлетворяют аксиомам1-8, следовательно, M 3 является вещественным линейным пространством.nПример 2.

Пусть R – множество, элементами которого являютсявсе возможные упорядоченные наборы n вещественных чиселx1 , x2 ,..., xn . Определим сложение и умножение на число:( x1; x2 ;...; xn ) + ( y1; y2 ;...;= yn )( x1 + y1 ; x2 + y2 ;...; xn + yn );l ( x1; x2 ;...; xn ) = (l x1; l x2 ;...; l xn ) ( l Î R ).nАксиомы 1-8 выполняются. Значит, множество R с введеннымиоперациями является линейным пространством.Пример 3. Рассмотрим множество всех вещественных матриц размеров m ´ n , которое обозначим Rm´n .Операции сложения и умножения на число были введены в лекции4. Эти операции удовлетворяют аксиомам 1-8, значит, множествоRm´n с этими операциями является вещественным линейным пространством.Определение 3.

Множество V1 элементов линейного пространстваV называется подпространством пространства V, если выполняютсяследующие условия:1. В множестве V1 операции сложения и умножения на число определяются так же, как в пространстве V.2. Если x, y Î V1 , то x + y Î V1 .3. Если x Î V1 , тоax Î V1 , a Î R .107Легко убедиться в том, что всякое подпространство V1 в свою очередь является линейным пространством, т. е. для V1 выполняются аксиомы 1-8.Пример 4.

Если в M 3 из примера 1 рассмотреть множество M 2векторов, параллельных некоторой плоскости, то M 2 будет подпространством M 3 .12.2 Линейная зависимость и линейнаянезависимость векторовРассмотрим векторы x1 , x2 ,..., x n Î V .Определение 4. Вектор y = a1 x1 + a 2 x2 + ... + a n xn также принадлежит V и называется линейной комбинацией векторов x1 , x2 ,..., xn .Числа a1 ,..., a n называются коэффициентами этой комбинации.Определение 5.

Комбинация называется тривиальной, если всеai = 0 ; если есть ненулевые коэффициенты, то она называется нетривиальной.Определение 6. Система векторов называется линейно зависимой,если существует нетривиальная комбинация этих векторов, равнаянулевому вектору. Если только тривиальная комбинация равна нулевому вектору, то система называется линейно независимой.Система, состоящая из одного ненулевого вектора x, линейно не-зависима т. к.ax = 0 возможно лишь при a = 0 .

Система, состоящая---из нулевого вектора 0 , линейно зависима, т. к. a 0 = 0 даже приa ¹ 0.Пример 5. В линейном пространстве M 3 любые два коллинеар--ных вектора линейно зависимы. Пусть векторы x и y коллинеарны.Из этого следует, что существует такое числоl , что--y = l x . Тогдаy - l x – нетривиальная комбинация, равная нулевому вектору.Для векторов линейного пространства справедливы следующиеутверждения:1081. Если к системе n линейно зависимых векторов присоединитьлюбые m векторов, то получим систему n + m линейно зависимых векторов.2. Если в системе, содержащей n линейно независимых векторов,убрать любые m векторов (m ‹ n), то оставшиеся векторы образуютлинейно независимую систему.3.

Если среди векторов x1 ,..., xn имеются xk и xl ( k ¹ l ) такие,l xl , где l – число, то векторы x1 ,..., xn линейно зависимы.4. Если среди векторов x1 ,..., xn имеется нулевой, то эти векторычто xk =линейно зависимы.Теорема 12.1. (Критерий линейной зависимости векторов). Длятого, чтобы векторы x1 ,..., xn ( n > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлсялинейной комбинацией остальных.12.3 Размерность и базислинейного пространства. ИзоморфизмОпределение 7. Пусть в линейном пространстве V выполняютсяследующие условия:1) существует n линейно независимых векторов;2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.Тогда число n называется размерностью пространства V.

Еслипространство состоит из одного элемента, то ее размерность положимравной 0.Обозначается размерность dimV (от англ. dimension – размерность).Определение 8. Пространство V размерности n будем называть nмерным пространством.Определение 9. Базисом n-мерного пространства называется любой упорядоченный набор из n линейно независимых векторов.Теорема 12.2. [6]. Если e1 , e2 ,..., en – базис n-мерного простран-ства V, то любой вектор x этого пространства линейно выражается через векторы e1 , e2 ,..., en , т.

е.109x = a1e1 + ... + a n en.-> Пусть x Î V . Тогда система e1 , e2 ,..., en , x из n + 1 векторалинейно зависима, т. е. b1 e1 + b 2 e 2 + ... + b n e n + b n +1 x = 0 .Числоb n +1 ¹ 0 , т. к. иначе получилась бы нетривиальная комби---нация векторов e1 ,..., e n , равная нулю. Выражаем вектор x из этогоуравнения:b b b x = - 1 e1 - 2 e 2 - ...

- n e n , что и требовалось доказать. <b n +1b n +1b n +1---Теорема 12.3. [6]. Если e1 , e 2 ,..., e n – система линейно независи-мых векторов пространства V и любой вектор x этого пространст---ва линейно выражается через e1 , e 2 ,..., e n , то пространство V является n-мерным.Пример 6. В пространстве M 3 из примера 1 базис образуют три- - -вектора i , j , k . Они линейно независимы, и каждый вектор линейновыражается через них. Следовательно, размерность пространства M 3равна трем.Пусть заданы два линейных пространства V и V ` . Если междуэлементами этих пространств установлено взаимнооднозначное соответствие, причем x ÎV соответствует x `Î V ` , то пишут x « x` .Определение 10.