Учебно-методическое пособие, страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Учебно-методическое пособие", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Ëåéáíèöà, äîêàçàòüèõ óñëîâíóþ ñõîäèìîñòü.3∞Pn=1579(−1)n+1√n2 − 2n + 5∞ (−1)nPn=1 n ln n∞P1(−1) sinnn=2∞Pn=1n(−1)nn · arctg n1517∞ (−1)n ln nPnn=2∞ (−1)n arctg nPnn=1√∞ (−1)n 3 nP√n+1n=1∞ (−1)nPn=2 ln n46∞P(−1)n+1n=18∞P(−1)n=110∞Pn=3(−1)n√12n ln n ln ln nÊn=3132à11∞P∞ (−1)nPn=1 4n − 1ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ1∞ (−1)n+1P√nn=11416n+1lnn + 1n1 tg √n+1(−1)n+1n ln n ln ln n∞ (−1)n+1 nPn2 + 1n=1∞ (−1)n+1Pn=1 n − ln n∞ (−1)n+1 nP√n3 + 3n=114Çàäà÷à 7Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü äàííûå çíàêîïåðåìåííûå ðÿäû.5791113Ê15∗∞Psin n2nn=1 (ln 5)∞ cos n + 2 sin n∞ (−1)n nPP42nn=1n=2 2n + 5∞ (−1)n−1 n3∞PP(−1)n n!62nn=1n=1 (2n − 1)!!nn∞∞PPn 2n + 1n 2n + 18(−1)(−1)3n+52n + 5n=2n=1√√∞ cos(17n) arctg(17n)∞ sin(5n)PPn+1− n−1√√104n3 + 1n3n=1n=1n2∞ cos(3n) ln n∞PP2√(−1)n1245n!nn=1n=1 πnn∞∞ sinPP4n e n!∗(−1) n14nnn=1n=1 πn∞ sin∞ sin(2n)PP∗√316nnn=1n=1ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ3∞ (−1)nP√n=1 n nà1Çàäà÷à 8Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè äàííîãî óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.1∞ 1Pxn=1 n2∞Pn=111 + xn15∞Pxsin n2n=1∞Pxnx tg n2n=1∞P2e−n x3571315178102n∞P112nxn=1 n∞ Pnx n142n=1 2nx + 1 2x + 1 n∞Pn163x + 5n=1∞P1√n + cos2 (nx)n=1n=1116ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ9n=1∞ sin(nx2 )P4∞ sin(nx)Pn2n=2∞ cos(nx)Penxn=1∞ nxPnxn=1 e∞P12 n 2 x2n=1 n e∞ 2x nPn=1 x + 1∞P2nnn=1 x + 1∞P12n=1 n + arctg (nx)Çàäà÷à 9ÊàÏîëüçóÿñü òåîðåìîé Âåéåðøòðàññà, äîêàçàòü, ÷òî äàííûé óíêöèîíàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â óêàçàííîé îáëàñòè.123∞ sin(πnx)P√nn+xn=1∞Px1√ sinnnn=1∞Pcos(nx)n2 2n=1 e + n xx ∈ [0, +∞)x ∈ [0, π]x ∈ (−∞, +∞)16∞P4xn√n 4 + x4x ∈ [−1, 1]xn√2n n4 + x2x ∈ [−2, 2]n=25∞Pn=1∞ sin(3nx2 )P22n=1 x + 3nx ∈ (−∞, +∞)ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ6∞ cos(nx)P√n=1 n n78910xn22n=1 n + x√∞ n 1 − x2nP2nn=1∞ n2 P1nx + nn!xn=1∞P∞P11∞Pàn=1Ê13141x ∈ ,22nx3n (1 + n2 x2 )x ∈ (−∞, +∞)nx3n 6 + x6x ∈ (−∞, +∞)nxn 6 + x6x ∈ (−∞, +∞)x2 e−nxx ∈ [0, +∞)x2n 4 + x4x ∈ (−∞, +∞)∞Pn=1∞P∞Pn=116x ∈ [−1, 1]x ∈ [0, +∞)n=115x ∈ [−1, 1]xn 3 + x3n=112x ∈ (−∞, +∞)∞Pn=117∞P17n=1∞P18n=119∞Pn=1nxn 4 + x4x ∈ (−∞, +∞)n 2 x2n 6 + x6x ∈ (−∞, +∞)nx2n 5 + x5x ∈ [0, +∞)nx3n 55n=1 2 (n + x )3∞Pn 2 x255n=1 n + xÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ∞P2021x ∈ [0, +∞)x ∈ [0, +∞)Çàäà÷à 10Íàéòè ðàäèóñ è èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà.
Èññëåäîâàòü ñõîäèìîñòü íà êîíöàõ èíòåðâàëà.357911∞Pxnnxn√2n2 + 1n=1 n + 1n=1∞∞PPx2n−12n xn√p4nn n + 13n(n2 + 1)n=1n=2∞∞ 2n nPPnn 2n + 1xnx6(−1)n(n + 1)n=1n=1 3n + 23n∞∞PP3n + 1n+1 p x(x + 1)n(−1)(−1)n−18n(n + 1)n(n + 1)n=1n=1∞∞PP1arctg nn(x − 1) sin10(x − 5)nn2n+1n=1n=1 2 (n + 1)∞∞ 2n (x − 3)nPPn+3n√n ln(x + 2) 12nnn=1n=1∞Pà1Ê181517∞ 2n 3nP(x + 4)nn=1 2n + 5∞Pn=11921232514(−1)(xnp+ 10)nn(n + 1)1618∞ n n2P(x − 2)nn=1 n + 3∞ (x + 1)2n+1P√n n+1n=1 n2∞ n(x + 100)nP√3n3 + 3n=1ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ131 nx+∞ 3P32n ln nn=2n∞ ln(n + 1)P(x + 7)nn+1n=1∞ (−1)n+1 (x + 17)nPn=1 (2n − 1)(2n − 1)!n∞Pn (x + 11)(−1)n2n ln nn=1 n + 2 n∞Pn!nn=12022∞P(nx)nn=1∞P 2n n!x2n(2n)!h∞Pn n inxn+1n=1n=124Çàäà÷à 11ÊàÈñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé, ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèÿ äàííûõ óíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû ïî ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé (x−x0).
Óêàçàòü îáëàñòè ñõîäèìîñòè ïîëó÷åííûõðÿäîâ.1y = e−xx0 = 02y = e2xx0 = −13y = e−x2+6xx0 = 319456x3x − 1xy= 24x + 33x + 2y= 22x + x − 32x − 3y=2 − 5x − 3x2y=x0 = 1x0 = 0x0 = 0x0 = −2ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ7y = (1 − x)e−3x89y = sin x cos xx0 = 010y = x cos(3x)x0 = 011y = sin(x2)x0 = 012y = sin2 xx0 = 013y = sin3 xx0 = 014y = cos(x3)x0 = 015y = cos2 (x2)x0 = 016y = cos3 xx0 = 017y = ch xx0 = 018y = sh xx0 = 219y = ln(3 − 2x)x0 = −4àÊx0 = −12020 y = ln(2x2 + 3x − 2)21221x23x + 1y=(x − 2)2y=x0 = −2x0 = 2x0 = 2ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ23y = ln(6 − x − x2)x0 = 12425y=x+2(x + 1)2x0 = −2√3xx0 = 1y=26√y = 1 + x2x0 = 0271y=√4 + x2x0 = 028y = arctg xx0 = 029y = arcsin xx0 = 0Êà√30 y = ln(x + 1 + x2 ) x0 = 0r1+x31y = lnx0 = 01−x2 + x32y = lnx0 = −12−xÇàäà÷à 12Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû, âû÷èñëèòü ñóììû ñëåäóþùèõ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ:21126789Ê10à5ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ3411121314∞ 1Pn=2 n!∞ (−1)n1 P+2 n=2 2n n!n∞Pn2(−1)n!n=0∞ (−1)nPn=0 (2n)!∞P1n=1 (2n)!∞ (−1)n+1Pnn=1∞ (−1)n+1Pn2nn=1∞P(−1)nn+1 (2n + 1)n=1 3111(−1)n+1− + − ...++ ...2! 3! 4!(n + 1)!9273n4+ ++ ...++...2! 3!n!1111− + + ...++...3! 5!(2n + 1)!1111+ + + ...++...3! 5!(2n + 1)!22n+123 25+ ...2 + + + ...+3! 5!(2n + 1)!1111+++...++ ...2 2 · 22 3 · 23n · 2n2+2217181920∗21∗22∗23∗24∗Ê25∗ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ16à151 1(−1)n1− + − ...++...3 52n + 11111+ 3 + 5 + .
. . + 2n−1+...2 23 252(2n − 1)23(−1)n(n + 1)1− + 2 − ...++...3 33n23(n + 1)1+ + 2 + ...++ ...5 55n34n+12+ 2 + 3 + ...+ n + ...2221·2 2·3 3·4n(n + 1)+ 2 + 3 +...++ ...4444nn(n + 1)1·2 2·3 3·4− 2 + 3 − . . . + (−1)n+1+ ...5555n23n+11+ + + ...++...3! 5!(2n + 1)!3!!(2n − 1)!!1++...++ ...1+3 · 8 · 1! 5 · 82 · 2!(2n + 1) · 8n · n!13!!(2n − 1)!!1+++...++ ...3 · 4 · 1! 5 · 42 · 2!(2n + 1) · 4n · n!33 3!!3n+1 (2n − 1)!!323+++...++ ...3 · 8 · 1! 5 · 82 · 2!(2n + 1) · 8n · n!Çàäà÷à 13Âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëàñ òî÷íîñòüþ äî 10−4 .10.5R0dx1 + x420.8R0dx1 + x523357R1 ex − 1dx4dxxx2xee0021R sin(x )R1 sin(x2 )6dxdxxx2000.3R1 1 − cos xR ln(1 + x)dx8dxx2x000.50.2R ln(1 + x2)R arctg xdx10dx2xx0020.50.6R arctg(x )R √3dx121 + x2 dx2x000.80.5R √R1√1 + x5 dx 14dx1 + x400R1cos(x3) dxÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ90.5R1113150Çàäà÷à 14 çàäàíèÿõ 1 10 ðàçëîæèòü óíêöèþ, çàäàííóþ íà èíòåðâàëå,â ðÿä Ôóðüå ïî êîñèíóñàì è â ðÿä Ôóðüå ïî ñèíóñàì.
Ïðè ïîìîùèïîëó÷åííûõ ðàçëîæåíèé âû÷èñëèòü ñóììû ÷èñëîâûõ ðÿäîâ:àk=0∞∞ 1PP11,,.(2k + 1)2 k=0 (2k + 1)4 k=1 k 2Ê∞P1 y = 2x − 1 x ∈ (0, 1)2 y = 4 − 2x x ∈ (0, 4)3 y = 3x − 3 x ∈ (0, 2)4 y = 2 − 4x x ∈ (0, 1)5 y = 2x − 3 x ∈ (0, 3)6 y = 6 − 4x x ∈ (0, 3)247y =x−2x ∈ (0, 4)9 y = 2x − 5 x ∈ (0, 5)8y =1−xx ∈ (0, 2)10 y = 6 − 3x x ∈ (0, 4) çàäàíèÿõ 11, 12 ðàçëîæèòü óíêöèþ, çàäàííóþ íà èíòåðâàëå,â ðÿä Ôóðüå ïî êîñèíóñàì. Ïðè ïîìîùè ïîëó÷åííûõ ðàçëîæåíèéâû÷èñëèòü ñóììó ÷èñëîâîãî ðÿäà∞Pk=11. Ïðîâåðèòü ðåçóëü4n2 − 1ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀòàò, âû÷èñëèâ ñóììó êàê ïðåäåë ÷àñòè÷íûõ ñóìì.x11) y = sin , x ∈ (0, π)2x12) y = cos , x ∈ (0, π)2213) àçëîæèòü óíêöèþ y = x , x ∈ (0, 1), â ðÿä Ôóðüå ïî êî-ñèíóñàì.
Ïðè ïîìîùè ïîëó÷åííîãî ðàçëîæåíèÿ âû÷èñëèòü ñóììû∞ (−1)k+1 P∞ 1 P∞∞ 1PP1÷èñëîâûõ ðÿäîâ,,,.224k2k=1k=1 kk=1 (2k + 1)k=1 k14) àçëîæèòü óíêöèþ y = x3 , x ∈ (0, 1), â ðÿä Ôóðüå ïîñèíóñàì. Ïðè ïîìîùè ïîëó÷åííîãî ðàçëîæåíèÿ âû÷èñëèòü ñóììó∞ 1P÷èñëîâîãî ðÿäà.6k=1 kÇàäà÷à 15a) àçëîæèòü óíêöèþ y = f (x), çàäàííóþ íà ïîëóïåðèîäå (0, l),Êàâ ðÿä Ôóðüå ïî êîñèíóñàì. Ïîñòðîèòü ãðàèêè 2-îé, 3-åé ÷àñòè÷íûõ ñóìì.
Çàïèñàòü ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ äëÿ ïîëó÷åííîãî ðÿäà.b) àçëîæèòü óíêöèþ y = f (x), çàäàííóþ íà ïîëóïåðèîäå (0, l),â ðÿä Ôóðüå ïî ñèíóñàì. Ïîñòðîèòü ãðàèêè 2-îé, 3-åé ÷àñòè÷íûõ ñóìì.) àçëîæèòü óíêöèþ y = f (x) â ðÿä Ôóðüå, ïðîäîëæàÿ åå íàïîëóïåðèîäå (−l, 0) óíêöèåé, ðàâíîé íóëþ. Ïîñòðîèòü ãðàèêè âòîðîé, ÷åòâåðòîé ÷àñòè÷íûõ ñóìì.2552 1 − x, 0 < x < 1y=0,1≤x≤2 2−x 2<x<3ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀπ0,0<x<3π2π1 y=1,<x≤33 0 2π < x < π3(2 − 2x, 0 < x ≤ 13 y=01<x<π4 y = |x − 1| − 1, 0 ≤ x < 2y = 5 − 2x, 0 < x < 3Çàäà÷à 16Ïðåäñòàâèòü èíòåãðàëîì Ôóðüå óíêöèþ, çàäàííóþ íà èíòåðâàëå (0, +∞), ïðîäîëæèâ åå íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü ÷åòíûì è íå÷åòíûì îáðàçîì.Êà1231, 0 < x < 11f (x) =,x=12 0x>1(1 − x, 0 < x ≤ 1f (x) =0x>1 1 − x, 0 < x ≤ 22f (x) =0,x>2264ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ52 2 − 3x, 0 < x ≤3f (x) =20x>31 4x − 1, 0 < x ≤4f (x) =10x>4(sin x, 0 ≤ x ≤ πf (x) =0x>πcos x, 0 < x < π1f (x) =x=π− ,20x>π678f (x) = e−x , x > 01,a2 + x2a > 0, è ïðåäñòàâèòü åå èíòåãðàëîì Ôóðüå íà èíòåðâàëå (0, +∞).110) Íàéòè ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå óíêöèè f (x) = 2,a + x2a > 0, è ïðåäñòàâèòü åå èíòåãðàëîì Ôóðüå íà èíòåðâàëå (0, +∞).Êà9) Íàéòè êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå óíêöèè f (x) =11) Ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ èíòåãðàëîâ Ôóðüå âû÷èñëèòü ñëåäóþùèå íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû:+∞R sin0xxdx,+∞R0+∞+∞+∞R sin3 xR x sin xR sin2 xcos xdx,dx,dx,dx221 + x2x1+xx000Çàäà÷à 17Ìåòîäîì Ôóðüå íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ñòðóíû27∂ 2U∂ 2U=äëèíû l = 2, çàêðåïëåííîé íà êîíöàõ: u(0, t) =∂t2∂x2u(2, t) = 0 è óäîâëåòâîðÿþùåé ñëåäóþùèì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì:U (x, 0) = f (x),(23−2x,0≤x≤12(x − 2), 1 ≤ x ≤ 240x,3à0≤x≤12−x, 1≤x≤2302x − x2 , 0 ≤ x ≤ 20x2 − 2x, 0 ≤ x ≤ 20Ê5x,0≤x≤12 − x, 1 ≤ x ≤ 20(ϕ(x)ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ1f (x)∂U (x, 0)= ϕ(x).∂t670(−x, 0 ≤ x ≤ 1x − 2, 1 ≤ x ≤ 24x − 2x2 , 0 ≤ x ≤ 2028f (x)ϕ(x)0x2 x− , 0≤x≤2428101112138x − 4x2 , 0 ≤ x ≤ 2x2− x, 0 ≤ x ≤ 22003x2 − 6x, 0 ≤ x ≤ 20Ê151600à142x,0≤x≤12(2 − x), 1 ≤ x ≤ 2ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ9(4x − 2x2 , 0 ≤ x ≤ 20(−3x,0≤x≤13(x − 2), 1 ≤ x ≤ 20x,50≤x≤12−x, 1≤x≤250−2x,30≤x≤12(x − 2), 1≤x≤2329f (x)ϕ(x)17x2−+ x, 0 ≤ x ≤ 220019x x2− , 0≤x≤2242023(24250≤x≤12−x, 1≤x≤23Ê22x,3à2100−x, 0 ≤ x ≤ 1x − 2, 1 ≤ x ≤ 20(5x,0≤x≤15(2 − x), 1 ≤ x ≤ 2ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ18(2x,0≤x≤12(2 − x), 1 ≤ x ≤ 20x− ,20≤x≤1(x − 2), 1≤x≤2204x − 2x2 , 0 ≤ x ≤ 20x2 x− , 0≤x≤2420304Òèïîâîé ðàñ÷åòÇàäà÷à 1Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîé ðÿä.791113151719212322nn=1 (n + 1)! + n∞ (n3 + 3) cos πP4n√59n n +1n=1∞P1√3n=2 (n + 2) ln n√5∞P3n2 + 4 + n!√5n2 + 5n + sin 3nn=1∞P2n + 1arcsin 33n + n + 5n=1∞P12n=2 (3n + 2) ln n∞Pn+2(n + 1) tg 2n +3n=1∞ ln(1 + 2−n )P−2n=1 arctg(n )∞ 3 + | sin 3n |P3nn=1∞ 5 + cos π nP 4π n∞PÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ5à3n4n2n=1 4 + n∞P2nn=1 (n + 1) ln(n + 1)∞Pnnn=1 (n + 1)!2∞ 2n n n2Pn=1 n! n + 1 2n n2∞Pn3 (2n + 1)2n + 1n=1∞P3−n 4n + 1 24nn=1 4n + 1√√∞ n + 2 n3Pπn√cosn+34n=13∞Pnnn=1 2 + 2n√∞P1n+2√√arctg33nn2 + 1n=1∞Pn2 2nnn=1 3 + 3r∞Pn√1e n − 1 sinn2 + 1n=1∞Pn!nn=1 n + 1∞PÊ14681012141618202224n=1∞P2n 22 n +2n4n=12∞ 9n sin π nP2n=1 (2n + 1)!312729312π ln cosnn=1∞ 2n5 + arctg n5Pn3n=1√∞Parctg n + 22n=1 (n + 1) ln (n + 1)1∞ 2n2 − arccosP22nn!n=1∞ 2n n n2P263 n+1n=2 n∞ 3n + n3P28n5n=1∞ 3 · 6 · .
