Учебно-методическое пособие (1021371), страница 6
Текст из файла (страница 6)
óíêöèîíàëüíûå ðÿäû, àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàìè? àññìîòðèì ïðèìåð.Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä∞Pn=0x2(1 + x2 )nïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðè x 6= 0 ñóììó ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè1, 0 < q < 1. Âñå ÷ëåíû ýòîãî ðÿäà1 + x2ðàâíû íóëþ ïðè x = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííûé ðÿä îïðåäåëåí èñõîäèòñÿ ïðè âñåõ x, ïðè÷åì åãî ñóììàÊàñî çíàìåíàòåëåì q =S(x) =x211−1 + x2S(0) = 0.= 1 + x2x 6= 0,Òàêèì îáðàçîì, ñóììà ðÿäà òåðïèò ðàçðûâ ïðè x = 0, íåñìîòðÿíà òî, ÷òî ÷ëåíû ðÿäà íåïðåðûâíû ïðè âñåõ x.67Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñóììû ðÿäà çàâèñÿò îò õàðàêòåðàñõîäèìîñòè ñàìîãî ðÿäà.Ïóñòü óíêöèîíàëüíûé ðÿä∞Pun (x) ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâån=0X .
Sn (x), S(x) ÷àñòè÷íàÿ ñóììà è ñóììà ýòîãî ðÿäà ñîîòâåò-ñòâåííî.∞Pun (x) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿÔóíêöèîíàëüíûé ðÿän=0ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀùèìñÿ íà ìíîæåñòâå X , åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè âñåõ x, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó X , è äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîéíîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N è äëÿ ëþáîãî x ∈ X áóäåòâûïîëíåíî íåðàâåíñòâî|Sn (x) − S(x)| < ε.Äðóãèìè ñëîâàìè, ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X , åñëè ðàçíîñòü ìåæäó ÷àñòè÷íîé ñóììîé è ñóììîé ðÿäà ñòàíîâèòñÿñêîëü óãîäíî ìàëîé, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, îäíîâðåìåííîäëÿ âñåõ x, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó X .
àññìîòðèì ïðèìåðû.∞ (−1)n+1Pñõîäèòñÿ ïðè âñåõ x êàê çíàêî÷åðåÏðèìåð 1. ÿä2nn+xn=0Êàäóþùèéñÿ ðÿä Ëåéáíèöà. ñëó÷àå, êîãäà |x| = 1 èëè |x| > 1 ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî÷ëåíû ðÿäà ìîíîòîííî óáûâàþò ïî ìîäóëþ, ò.ê. ñ ðîñòîì n óâåëè÷èâàåòñÿ çíàìåíàòåëü äðîáè.  ñëó÷àå, êîãäà |x| < 1 ïðîâåðèì,÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî11<,n + 1 + x2n+2n + x2nêîòîðîå ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâón + x2n < n + 1 + x2n+2,êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó x2n (1 − x2 ) <1 à ïîñëåäíåå âåðíî ïðè x ∈ (−1, 1). Îáùèé ÷ëåí äàííîãî ðÿäàñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ ðîñòîì n ïðè âñåõ x.
Âîñïîëüçóåìñÿ îöåíêîéîñòàòêà ðÿäà Ëåéáíèöà|Sn (x) − S(x)| < |un+1 (x)| =11≤< ε.n + 1 + x2n+2n+168àçðåøàÿ äàííîå íåðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî n, ïîëó÷èì n >1− 1.ε êà÷åñòâå íîìåðà N ìîæíî âûáðàòü, íàïðèìåð, ÷èñëî, íà åäèíè-1. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåεñòâóåò òàêîé íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > N áóäåò âåðíîöó áîëüøåå öåëîé ÷àñòè ÷èñëàíåðàâåíñòâî|Sn (x) − S(x)| < ε,ò.å. äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà âñåé ÷èñëîâîé îñè.∞PÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÏðèìåð 2. ÿäxn ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðî-n=1ãðåññèè è ñõîäèòñÿ ïðè âñåõ x ∈ (−1, 1).Âû÷èñëèì ñóììó îñòàòêà ýòîãî ðÿäàrn (x) = xn+1+xn+2Åñëè çàèêñèðîâàòü íîìåð n, òî1lim |rn (x)| = ,x→1+02xn+1.+ ...
=1−xlim |rn (x)| = +∞.x→1−0Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ (−1, 1) íåâîçìîæíî îñóùåñòâèòüâûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà |rn (x)| < ε, íàïðèìåð, äëÿ ε =1, ïðè25.3Êàîäíîì è òîì æå íîìåðå n. Òàêèì îáðàçîì, äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿíà èíòåðâàëå (−1, 1) íåðàâíîìåðíî.Ïðè èññëåäîâàíèè óíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ íà ïðàêòèêå óäîáíîïîëüçîâàòüñÿ äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè.Òåîðåìà ÂåéåðøòðàññàÒåîðåìà Âåéåðøòðàññà (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè).
Åñëè ÷ëåíû óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà∞Pn=1un (x) ïðè âñåõ x,ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó X , óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó|un (x)| ≤ an ,n = 1, 2, 3, . . . ,69ãäå an ÷ëåíû íåêîòîðîãî ñõîäÿùåãîñÿ ÷èñëîâîãî ðÿäàóíêöèîíàëüíûé ðÿäíà ìíîæåñòâå X .∞P∞Pan , òîn=1un (x) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíîn=1Äîêàçàòåëüñòâî. Àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ïðè âñåõ x ∈ X ñëåäóåò èç ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ è èç ñõîäèìî-ñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà.
Ïîêàæåì, ÷òî óíêöèîíàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X . Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî äëÿëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k è äëÿ ëþáîãî x ∈ X âåðíî íåðàâåí-ñòâî|un+1 (x) + un+2 (x) + . . . + un+k (x)| ≤ |un+1(x)| + |un+2 (x)|++ . . . + |un+k (x)| ≤ an+1 + an+2 + . . . + an+k ≤ ρn ,ãäå ρn îñòàòîê ÷èñëîâîãî ðÿäà. Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå êïðåäåëó ïðè óñëîâèè k → ∞, ïîëó÷èì |rn (x)| ≤ ρn , ãäå rn (x) îñòàòîê óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.Ò.ê. ïî óñëîâèþ òåîðåìû ÷èñëîâîé ðÿä ñõîäèòñÿ, òî äëÿ ëþáîãîÊàε > 0 íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n > Náóäåò âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî ρn < ε, à, çíà÷èò, è äëÿ îñòàòêàóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà âåðíî, ÷òî |rn (x)| < ε äëÿ âñåõ x ∈ X , ò.å.óíêöèîíàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X .∞PÇàìå÷àíèå.
×èñëîâîé ðÿäan , óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿìn=1òåîðåìû Âåéåðøòðàññà, íàçûâàåòñÿ ìàæîðèðóþùèì ÷èñëîâûì ðÿ-äîì äëÿ óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà∞Pun (x) èëè ÷èñëîâîé ìàæîðàí-n=1òîé.∞ cos nxPÏðèìåð 1. Äîêàçàòü, ÷òî óíêöèîíàëüíûé ðÿäñõî2n=1näèòñÿ ðàâíîìåðíî ïðè âñåõ x.Ìàæîðèðóþùèì ÷èñëîâûì ðÿäîì äëÿ äàííîãî óíêöèîíàëü-70∞ 1Pcos nx1,ò.ê.|ïðè âñåõ x.íîãî ðÿäà ÿâëÿåòñÿ ðÿä|≤2n2n2n=1 n∞ 1PÀ òàê êàê ðÿäñõîäèòñÿ, òî äàííûé óíêöèîíàëüíûé ðÿä2n=1 nñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà âñåé ÷èñëîâîé îñè.Ïðèìåð 2. Äîêàçàòü, ÷òî óíêöèîíàëüíûé ðÿä∞Pn=1xñõîn 3 + x3ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ïðîìåæóòêå [0, +∞).×ëåíû äàííîãî óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà íåîòðèöàòåëüíû ïðèx ∈ [0, +∞). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàæîðàíòû íàéäåì ïðè êàæäîìèêñèðîâàííîì n ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå óíêöèè un (x) =Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèìx.n 3 + x3n3 3−2 x −n3 + x3 − 3x3−2x3 + n32 .′un (x) == 3=3323233(n + x )(n + x )(n + x )2nè ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìàêñèìóìàu′n (x) = 0 ïðè x = √32óíêöèè un (x).n√√3314 1n22√·un (x) max = un √===· 2.3332n3nn23 2n3 +2ÊàÇíà÷èò, ÷ëåíû óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà íà ìíîæåñòâå [0, +∞) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó√34 10 ≤ un (x) ≤· .3 n2∞ 1PÀ ò.ê.
÷èñëîâîé ðÿäñõîäèòñÿ, òî ÷èñëîâîé ðÿä, îáùèé ÷ëåí2nn=1√34 1êîòîðîãî ðàâåí· 2 , òàêæå ñõîäèòñÿ.  ñèëó òåîðåìû Âåé3nåðøòðàññà äàííûé óíêöèîíàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íàïðîìåæóòêå [0, +∞).716 Ñâîéñòâà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâàññìàòðèâàÿ ðÿä∞Pn=1x2, êîòîðûé ñõîäèòñÿ ïðè âñåõ x è âñå(1 + x2 )n÷ëåíû êîòîðîãî íåïðåðûâíû íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, ìû îáíàðóæè-ëè, ÷òî ñóììà ðÿäà òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå x = 0. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿíåðàâíîìåðíîñòüþ ñõîäèìîñòè äàííîãî ðÿäà íà ëþáîì ìíîæåñòâå,ïðè x 6= 0ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀñîäåðæàùåì òî÷êó x = 0. Ïîêàæåì ýòî, îöåíèâàÿ îñòàòîê ðÿäàx2x2x2(1 + x2)nrn (x) ==++...=1(1 + x2 )n (1 + x2 )n+11−1 + x211=,limr(x)=lim= 1.nx→0 (1 + x2 )n−1(1 + x2)n−1 x→0Ò.å.
îñòàòîê ðÿäà íå ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî ìàë îäíîâðåìåííîïðè âñåõ x íè äëÿ êàêîãî íîìåðà n.ÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå, ñîäåðæàùåì òî÷êóx = 0.Íåïðåðûâíîñòü ñóììû ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäàÊ6.1àÏåðåéäåì ê èçó÷åíèþ ñâîéñòâ óíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, ñõîäÿùèõñÿ ðàâíîìåðíî íà íåêîòîðîì îòðåçêå.Òåîðåìà. Ïóñòü óíêöèè un (x) (n = 1, 2, 3, . . .) îïðåäåëåíû èíåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b], à ðÿä∞Pn=1un (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåð-íî íà ýòîì îòðåçêå. Òîãäà ñóììà ðÿäà S(x) íåïðåðûâíà íà ýòîìîòðåçêå.Äîêàçàòåëüñòâî. Çàèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x0 , ïðèíàäëåæàùóþ îòðåçêó [a, b], è äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ x, òàêæå ïðèíàä-72ëåæàùåãî îòðåçêó [a, b], îöåíèì ðàçíîñòü|S(x) − S(x0)| == S(x) − Sn (x) − S(x0 ) − Sn (x0 ) + Sn (x) − Sn (x0 ) ≤≤ |S(x) − Sn (x)| + |S(x0 ) − Sn (x0)| + |Sn (x) − Sn (x0 )|.Âûáåðåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ε > 0.
 ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà ìîæíî èêñèðîâàòü íîìåð n òàêîé, ÷òî íåðàâåíñòâîε|S(x)−Sn(x)| < áóäåò âûïîëíåíî äëÿ âñåõ x ∈ [a, b], â òîì ÷èñëåÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ3è äëÿ x0. Ïðè èêñèðîâàííîì n ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà Sn (x) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [a, b] êàê ñóììà êîíå÷íîãî ÷èñëàíåïðåðûâíûõ óíêöèé. Ïîýòîìó äëÿ âûáðàííîãî ε > 0 íàéäåòñÿòàêîå ÷èñëî δ > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî x, óäîâëåòâîðÿþùåãî íåðàâåíñòâó |x − x0 | < δ , áóäåò âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî|Sn (x) − Sn (x0)| <ε3Òîãäà ðàçíîñòü|S(x) − S(x0)| <ε ε ε+ + = ε,3 3 3Ïî÷ëåííîå èíòåãðèðîâàíèåÊ6.2à÷òî äîêàçûâàåò íåïðåðûâíîñòü ñóììû ðÿäà â òî÷êå x0, à ò.ê. x0âûáðàíî ïðîèçâîëüíî íà îòðåçêå [a, b], òî S(x) íåïðåðûâíà íà [a, b].Äðóãèå ñâîéñòâà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ ñîðìóëèðóåìáåç äîêàçàòåëüñòâà.Òåîðåìà.
Åñëè óíêöèè un (x) (n = 1, 2, 3, . . .) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b], à ðÿä∞Pun (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ýòîì îòðåçêå,n=1òî èíòåãðàë îò ñóììû ðÿäà S(x) íà îòðåçêå [a, b] ïðåäñòàâëÿåòñÿâ âèäå ñóììû èíòåãðàëîâ îò ÷ëåíîâ ýòîãî ðÿäàRbaS(x)dx =∞ RbPn=1 aun (x)dx.73Çàìå÷àíèå. Èíòåãðèðîâàíèå ìîæíî âûïîëíèòü íà ëþáîì îòðåçêå, ïðèíàäëåæàùåì îòðåçêó [a, b].∞ nP.Ïðèìåð. Âû÷èñëèòü ñóììó ÷èñëîâîãî ðÿäànn=1 3Ïóñòü S èñêîìàÿ ñóììà, ïðåäñòàâèì S â âèäå∞1PnS=3 n=1 3n−1n · xn−1. Íà ëþáîì îòðåçêå,ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀàññìîòðèì óíêöèîíàëüíûé ðÿä∞Pn=1ïðèíàäëåæàùåì èíòåðâàëó (−1, 1), ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî, ò.ê. ìàæîðèðóåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì. Ïóñòü σ(x) ñóììà ýòîãî ðÿäà, òîãäà1 1S= σ.33Ïðèìåíèì ê ïîñòðîåííîìó óíêöèîíàëüíîìó ðÿäó òåîðåìó î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè.
Èíòåãðèðîâàíèå âûïîëíèì íà îòðåçêå [0, x],ïîëàãàÿ, ÷òî x ∈ (−1, 1).Rx0Òîãäàσ(x)dx =∞ RxPn=1 0n·xn−1dx =∞Pxn =n=1x.1−xÊà x ′1σ(x) =.=1−x(1 − x)2131=Èñêîìàÿ ñóììà S = · .1 2341−36.3Ïî÷ëåííîå äèåðåíöèðîâàíèåÒåîðåìà. Ïóñòü óíêöèè un (x) (n = 1, 2, 3, . . .) îïðåäåëåíû èíåïðåðûâíû íà îòðåçêå [a, b] è èìåþò íà ýòîì îòðåçêå íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûåu′n (x).ÿä∞Pn=1un (x) ñõîäèòñÿ, à ðÿä74∞Pn=1u′n (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [a, b].
Òîãäà ñóììà S(x)ðÿäà∞Pun (x) äèåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a, b], ïðè÷åì ïðîèç-n=1âîäíàÿ ñóììû ðàâíà ñóììå ðÿäà èç ïðîèçâîäíûõS ′ (x) =∞Pn=1u′n (x).1.2n nÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÏðèìåð. Âû÷èñëèòü ñóììó ÷èñëîâîãî ðÿäà∞Pn=1∞ xnP, êîòîðûé ñõîäèòñÿ íààññìîòðèì óíêöèîíàëüíûé ðÿänn=1èíòåðâàëå (−1, 1). Îáîçíà÷èì èñõîäíóþ ñóììó ÷èñëîâîãî ðÿäà S ,1. àññìîòà ñóììó óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà S(x). Òîãäà S = S2∞Pxn−1.
Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîðèì ðÿä èç ïðîèçâîäíûõn=1íà ëþáîì îòðåçêå, ïðèíàäëåæàùåì èíòåðâàëó (−1, 1), ò.ê. ìàæîðèðóåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì, Ïðèìåíèì ê äàííîìó ðÿäóòåîðåìó î ïî÷ëåííîì äèåðåíöèðîâàíèèS ′ (x) =∞Pxn−1 =n=1∞Pn=0xn =1.1−xÓ÷èòûâàÿ, ÷òî S(0) = 0, ïîëó÷èì S = − ln(1 − x). Èñêîìàÿ ñóììàà1S=S= − ln 1 −= ln 2.22Ê17 Ñòåïåííûå ðÿäûÑòåïåííûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ óíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà∞Pan xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .n=0àññìàòðèâàþòñÿ òàêæå ñòåïåííûå ðÿäû áîëåå îáùåãî âèäà∞Pn=0an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0 )2 + . . .75êîòîðûå ñ ïîìîùüþ çàìåíû (x−x0 ) íà íîâóþ ïåðåìåííóþ ñâîäÿòñÿ∞Pê ðÿäàì âèäàan xn , èçó÷åíèåì êîòîðûõ ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ.n=0Âûÿñíèì, êàêîé âèä èìååò îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà.7.1Òåîðåìà ÀáåëÿÒåîðåìà Àáåëÿ. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä∞Pan xn ñõîäèòñÿ â íåêîòîðîén=0ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀòî÷êå x0 6= 0, òî îí àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â ëþáîé òî÷êå x, òàêîé÷òî |x| < |x0 |.Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç ñõîäèìîñòè ðÿäà∞Pn=0an xn0 ñëåäóåò, ÷òî åãîîáùèé ÷ëåí ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à, çíà÷èò, îãðàíè÷åí, ò.å. ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî M òàêîå, ÷òî|an xn0 | ≤ M,n = 0, 1, 2, 3, . . .Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå x, äëÿ êîòîðîãî |x| < |x0 | è ðàññìîòðèìðÿä∞Pn=0|an xn |.
Îöåíèì åãî îáùèé ÷ëåí x n x n |an xn| = an xn0 = |an xn0 | ≤ M q n,x0 x x0 ãäå q = < 1x0ÊàÎáùèé ÷ëåí ðàññìàòðèâàåìîãî ðÿäà ìåíüøå, ÷åì ñîîòâåòñòâóþùèå ÷ëåíû áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.Çíà÷èò, ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êå x. Òåîðåìà äîêàçàíà.7.2Èíòåðâàë è ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäàÇàìåòèì, ÷òî ëþáîé ñòåïåííîé ðÿäàññìîòðèì ðÿä∞Pn=0∞Pan xn ñõîäèòñÿ ïðè x = 0.n=0n!xn. Ïðèìåíèì äëÿ íàõîæäåíèÿ åãî îáëàñòè76ñõîäèìîñòè ïðèçíàê Äàëàìáåðà (n + 1)! xn+1 lim = |x| lim (n + 1) = ∞,n→∞n→∞n! xnåñëèx 6= 0.ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÇíà÷èò, äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ òîëüêî â îäíîé òî÷êå x0 = 0.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà ñóùåñòâóþò îòëè÷íûåîò íóëÿ çíà÷åíèÿ x, ïðè êîòîðûõ îí ñõîäèòñÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
