Учебно-методическое пособие (1021371), страница 8
Текст из файла (страница 8)
. . · (n − k + 1) (x − x0 )n−k ,84Ïîëàãàÿ â ýòèõ ðàâåíñòâàõ x = x0 , ïîëó÷èìf ′ (x0 ) = a1 · 1,f ′′ (x0 ) = a2 · 2 · 1,...f (k) (x) = ak · k · (k − 1) · . . . · 2 · 1,...ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÇíà÷èò, äëÿ êîýèöèåíòîâ ðÿäà ñïðàâåäëèâû îðìóëûf ′ (x0 )f ′′ (x0 )f (k) (x0)a0 = f (x0), a1 =, a2 =, . .
. , ak =,...1!2!k!ò.å. äàííûé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ýòîé óíêöèè. Òåîðåìàäîêàçàíà.8.4àçëîæåíèå îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèéÂûïèøåì ðàçëîæåíèÿ â ðÿäû Ìàêëîðåíà îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõóíêöèéx2xne = 1+x++ ...++ . . . , x ∈ (−∞, +∞),2!n!2n+1x3 x5n x+− . . . + (−1)+ ...,sin x = x −3!5!(2n + 1)!x ∈ (−∞, +∞),2nx2 x4n xcos x = 1 −+− . . .
+ (−1)+ ...,2!4!(2n)!x ∈ (−∞, +∞),nx2 x3n−1 xln(1 + x) = x −+− . . . + (−1)+ ...,23nx ∈ (−1, 1],α(α − 1) 2(1 + x)α = 1 + αx +x + ...+2!α(α − 1) . . . (α − n + 1) nx + . . . , x ∈ (−1, 1).+n!Êàx85Ïîñëåäíåå ðàçëîæåíèå ïðè α = −1 ïðèíèìàåò âèä1= 1 − x + x2 − . . . + (−1)n xn + .
. . ,1+x8.5x ∈ (−1, 1).àçëîæåíèå óíêöèé â ðÿä Òåéëîðà ñ èñïîëüçîâàíèåì èçâåñòíûõ ðàçëîæåíèéÏðèìåð 1. àçëîæèòü óíêöèþ y = sin2 x â ðÿä Ìàêëîðåíà.Âîñïîëüçóåìñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì òîæäåñòâîì1 − cos 2x,2ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀsin2 x =à çàòåì òàáëè÷íûì ðàçëîæåíèåì óíêöèè cos x, çàìåíÿÿ ïåðåìåííóþ x íà ïåðåìåííóþ 2x2n(2x)2 (2x)41 1n (2x)+− . . . + (−1)+ ... =sin x = − 1 −2 22!4!(2n)!2n−12 2 23 4n+1 2= x + x − . . . + (−1)x2n + . . . , x ∈ (−∞, ∞).2!4!(2n)!Ïðèìåð 2. àçëîæèòü óíêöèþ y = ln(x2 + 5x + 6) â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 = −1, ò.å.
ïî ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé(x + 1).2Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ëîãàðèìè÷åñêîé óíêöèè, âûïîëíèìòîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿÊày = ln(x2 + 5x + 6) = ln (x + 2)(x + 3) == ln(x + 2) + ln(x + 3) == ln 1 + (x + 1) + ln 2 + (x + 1) =x + 1= ln 2 + ln 1 + (x + 1) + ln 1 +2à çàòåì ïðèìåíèì òàáëè÷íîå ðàçëîæåíèå óíêöèè ln(x+1), äåëàÿñîîòâåòñòâóþùèå çàìåíûn∞+ 1)n Pn−1 (x + 1)(−1)(−1)y = ln 2 ++=n2n nn=1n=1∞ (−1)n−1 P11 + n (x + 1)n .= ln 2 +n2n=1∞Pn−1 (x86×òîáû íàéòè çíà÷åíèÿ x, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâà ïîëó÷åííàÿîðìóëà, ðåøèì ñèñòåìó íåðàâåíñòâ(−1 < x + 1 ≤ 1x+1⇔ −1 < x + 1 ≤ 1 ⇔ −2 < x ≤ 0.−1 <≤12ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÏðèìåð 3. àçëîæèòü â ðÿä Ìàêëîðåíà óíêöèþy = arctg x.Âîñïîëüçóåìñÿ òàáëè÷íûì ðàçëîæåíèåì äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿñòåïåííûì ðÿäîì ïðîèçâîäíîé ýòîé óíêöèèy ′ = (arctg x)′ =x ∈ (−1, 1).Òîãäàarctg x =Rx0x ∈ [−1, 1].1= 1 − x2 + x4 − .
. . + (−1)n x2n + . . . ,21+x2n+1x3 x5dxn x=x−+− . . . + (−1)+ ...,1 + x235(2n + 1)Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì íàèíòåðâàëå (−1, 1), à ñàìà óíêöèÿ íà îòðåçêå [−1, 1].Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé óíêöèé èîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâà8.6Êàññìîòðèì ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ðÿäà Òåéëîðà äëÿ ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé.√Ïðèìåð 1.
Âû÷èñëèòü 3 2 ñ òî÷íîñòüþ äî 5 çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ òàáëè÷íûì ðàçëîæåíèåìóíêöèè (1 + x)α ïðè α =131 11 11(−1)(−1)...(− 2)11333332(1 + x) 3 = 1 + x +x +x3 + . . . =32!3!87115 3= 1 + x − x2 +x − ...,3981rr√125553 13128333 1282=·==1+=64125412541255111= 1+−+− ...4125 1252 75 · 1252ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÏîñëåäíåå âûïèñàííîå ñëàãàåìîå ýòîé ñóììû ìåíüøå, ÷åì 10−5 .Êðîìå òîãî, ïîëó÷åííûé ÷èñëîâîé ðÿä ÿâëÿåòñÿ çíàêî÷åðåäóþùèìñÿ ðÿäîì Ëåéáíèöà, ïîýòîìó îøèáêà ïðè çàìåíå ñóììû ðÿäàíà ÷àñòè÷íóþ ñóììó íå ïðåâîñõîäèò ïî ìîäóëþ ïåðâîãî îòáðîøåííîãî ÷ëåíà ðÿäà.
Çíà÷èò, äëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòèäîñòàòî÷íî ó÷åñòü ïåðâûå òðè ÷ëåíà ðÿäà√532 ≈ (1 + 0, 008 − 0, 000064) = 1.25992.4Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ñ òî÷íîñòüþ äî 3 çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé12R arctg xdx.x0Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííûì ðàçëîæåíèåì óíêöèè arctg x âðÿä ÌàêëîðåíàÊà11R2 arctg xR2 x2 x4 x61−dx =+−+ . .
. dx =x35700 1235xxx7= x− 2 + 2 − 2 + ... =35701111= − 3 2 + 5 2 − 7 2 +...2 232527Ïîëó÷åí çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä Ëåéáíèöà, ïîñëåäíåå âûïèñàííîå ñëàãàåìîå ìåíüøå, ÷åì 10−3 . Îòáðàñûâàÿ ýòî ñëàãàåìîå, ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ1R2 arctg xdx ≈ 0, 5 − 0, 0138 + 0, 0012 ≈ 0, 487.x0889 Òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä ÔóðüånÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÏðè ðåøåíèè ìíîãèõ òåõíè÷åñêèõ çàäà÷ ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëîñ ïåðèîäè÷åñêèìè ïðîöåññàìè, äëÿ îïèñàíèÿ êîòîðûõ òðåáóþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå óíêöèè. Ïðîñòåéøåé ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèåéïåðèîäà 2π ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿ sin(x + α). Ïðè ñëîæåíèè ïåðèîäè÷åñêèõ óíêöèé sin(x+α1), sin(2x+α2), .
. . , sin(nx+αn), ïåðèîäûêîòîðûõ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 2π, π, . . . ,π, ïîëó÷èì ïåðèîäè÷åñêóþ óíêöèþ ñ ïåðèîäîì 2π . Åñòåñòâåííîâîçíèêàåò îáðàòíûé âîïðîñ ìîæíî ëè çàäàííóþ ïåðèîäè÷åñêóþóíêöèþ f (x) ñ ïåðèîäîì 2π ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû êîíå÷íîãî èëè áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîñòåéøèõ ïåðèîäè÷åñêèõ óíêöèéâèäà sin(nx + αn )f (x) = A0 +∞PAn sin(nx + αn).n=1ÊàÏîñòîÿííîå ñëàãàåìîå A0 ìîæíî ñ÷èòàòü ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèåéñ ëþáûì ïåðèîäîì, â òîì ÷èñëå è ñ ïåðèîäîì 2π . ìåõàíèêå óíêöèÿ sin(nx+αn) îïèñûâàåò ïðîñòåéøåå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå.
Ïðåäñòàâëåíèå ïåðèîäè÷åñêîéóíêöèè f (x) â âèäå ñóììû ïðîñòåéøèõ ïåðèîäè÷åñêèõ óíêöèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçëîæåíèå ñëîæíîãî êîëåáàíèÿíà îòäåëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Ôóíêöèè âèäà sin(nx +αn ), âõîäÿùèå â ñîñòàâ ðàçëîæåíèÿ ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè f (x),íàçûâàþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè ñîñòàâëÿþùèìè ýòîé óíêöèè èëèïðîñòî ãàðìîíèêàìè. Ïîëüçóÿñü òðèãîíîìåòðè÷åñêèì òîæäåñòâîìsin(nx + αn) = sin αn cos nx + sin nx cos αn .è îáîçíà÷àÿ An sin αn = an , An cos αn = bn , ðàçëîæåíèå ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè f (x) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåf (x) = A0 +∞Pn=1an cos nx + bn sin nx .(1)899.1Òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå. ÊîýèöèåíòûÔóðüåRπ−πÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÏóñòü óíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, ïåðèîäè÷íàñ ïåðèîäîì 2π è ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé èëè êóñî÷íî-íåïðåðûâíîéíà îòðåçêå [π, π] (óíêöèÿ íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íàîòðåçêå, åñëè îíà íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ ýòîãî îòðåçêà çàèñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê, â êîòîðûõ óíêöèÿ òåðïèòðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà, ò.å.
â ýòèõ òî÷êàõ ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû óíêöèè, íå ðàâíûå äðóã äðóãó).Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî f (x) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óíêöèé, íàéäåì êîýèöèåíòû ðÿäà(9.1). Ñ ýòîé öåëüþ ïðîèíòåãðèðóåì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (9.1) íàîòðåçêå [−π, π], ÷òî îïðàâäàíî, íàïðèìåð, â ñëó÷àå ðàâíîìåðíîéñõîäèìîñòè íà ýòîì îòðåçêå óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, ñòîÿùåãî âïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (9.1).
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òîsin nx πcos nxdx = = 0,n −πÒîãäàRπ−πRπ−πcos nx πsin nxdx = − = 0.n−πf (x)dx = A0 · 2π , îòêóäà A0 =1 Rπf (x)dx.2π −πcos kx cos nxdx = 0,åñëèsin kx cos nxdx = 0,äëÿ ëþáûõÊRπàÄëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýèöèåíòîâ an óìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (9.1) íà cos nx è ïðîèíòåãðèðóåì íà îòðåçêå [−π, π]. Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî−πRπ−πRπ−πïîëó÷èìk 6= n,Rπ 1 + cos 2nxdx = π,cos nxdx =2−π2Rπ−πf (x) cos nxdx = π an ,k è n,åñëèn 6= 0,90îòêóäàÀíàëîãè÷íî1 Rπf (x) cos nxdx,an =π −πn ∈ N.1 Rπf (x) sin nxdx,bn =π −πn ∈ N.îáîçíà÷èìÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ×òîáû îðìóëû äëÿ êîýèöèåíòîâ âûãëÿäåëè åäèíîîáðàçíî,1 Rπa0 = 2A0 =f (x)dx.π −πÈòàê, äëÿ ëþáîé óíêöèè f (x), êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå [−π, π], ìîæíî âû÷èñëèòü êîýèöèåíòû1 Rπan =f (x) cos nxdx,π −πn = 0, 1, 2, 3, .
. .1 Rπbn =f (x) sin nxdx,π −π(2)êîòîðûå íàçûâàþòñÿ êîýèöèåíòàìè Ôóðüå ýòîé óíêöèè, è ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ýòîé óíêöèè ðÿäf (x) →∞a0 Pan cos nx + bn sin nx .+2 n=1(3)Êêöèè.àêîòîðûé íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì Ôóðüå ýòîé óíÑèñòåìà óíêöèé1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx . . .íà îñíîâå êîòîðîé ïîñòðîåí òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå, íàçûâàåòñÿ îñíîâíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìîé óíêöèé. Ýòàñèñòåìà íà îòðåçêå [−π, π] îáëàäàåò ñâîéñòâîì îðòîãîíàëüíîñòè:èíòåãðàë îò ïðîèçâåäåíèÿ ëþáûõ äâóõ óíêöèé ýòîé ñèñòåìû íàîòðåçêå [−π, π] ðàâåí íóëþ.919.2Òåîðåìà ÄèðèõëåàÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÏðåäïîëàãàÿ, ÷òî óíêöèÿ f (x) ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîéíà îòðåçêå [−π, π], ìû ïîñòàâèëè ýòîé óíêöèè â ñîîòâåòñòâèå ååòðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî óíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò áîëåå ñåðüåçíûì îãðàíè÷åíèÿì, à èìåííî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-äèåðåíöèðóåìîé íà îòðåçêå [−π, π]. Ýòî îçíà÷àåò, îòðåçîê [−π, π] ìîæíî ðàçäåëèòü íàêîíå÷íîå ÷èñëî îòðåçêîâ, âíóòðè êîòîðûõ óíêöèÿ äèåðåíöèðóåìà, à íà êîíöàõ îòðåçêîâ èìååò íå òîëüêî êîíå÷íûå ïðåäåëüíûåçíà÷åíèÿ, íî è îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå ïðè óñëîâèè çàìåíûíà êîíöàõ ýòèõ îòðåçêîâ çíà÷åíèé óíêöèè íà ñîîòâåòñòâóþùèåïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ.Òåîðåìà Äèðèõëå óñòàíàâëèâàåò óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå è ñâÿçü ìåæäó çíà÷åíèåì ñàìîé óíêöèè è ñóììîé åå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå.
Ñîðìóëèðóåì òåîðåìó Äèðèõëå áåç äîêàçàòåëüñòâà.  îðìóëèðîâêå òåîðåìûèñïîëüçóåì âûðàæåíèÿ f (x0 −0) è f (x0 +0) äëÿ îáîçíà÷åíèÿ îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ óíêöèè f (x) ïðè óñëîâèè, ÷òî x ñòðåìèòñÿê x0 ñëåâà è ñïðàâà ñîîòâåòñòâåííî.Òåîðåìà. Ïóñòü óíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è êóñî÷íî-äèåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [−π, π].
Òîãäà òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿäÔóðüå ýòîé óíêöèè ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå îòðåçêå [−π, π], èñóììà S(x) ýòîãî ðÿäà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì1) S(x0) = f (x0 ) âî âñåõ òî÷êàõ èíòåðâàëà (−π, π), â êîòîðûõf (x) íåïðåðûâíà,Ê1f (x0 − 0) + f (x0 + 0) âî âñåõ òî÷êàõ ðàçðûâà2) S(x0) =2óíêöèè,13) S(π) = S(−π) =f (−π + 0) + f (π − 0) .2Çàìå÷àíèå.
Òåîðåìà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé â ñëó÷àå, êîãäà óíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì 2π è íà îòðåçêå [−π, π] êóñî÷íî-äèåðåíöèðóåìà.Ïðèìåð. àçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå óíêöèþ f (x) ïåðèîäà 2π ,92çàäàííóþ íà îòðåçêå [−π, π] ñëåäóþùèì îáðàçîìf (x) =π,−π ≤ x < 0π − x, 0 ≤ x < π.Âû÷èñëèì êîýèöèåíòû Ôóðüå ýòîé óíêöèèÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ 3Rπ1 R0a03a0 =πdx + (π − x)dx = π,= π,π −π2240Rπ1 R0an =π cos nxdx + (π − x) cos nxdx =π −π011n.1−(−1)(1−cosnπ)==π n2π n2Åñëè n = 2k ÷åòíîå ÷èñëî, òî an = a2k = 0.Åñëè n = 2k + 1 íå÷åòíîå ÷èñëî, òî an = a2k+1 =2.π(2k + 1)2Rπ1 R0π sin nxdx + (π − x) sin nxdx =bn =π −π0ncos nπ(−1)==.nnÒðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå S(x), ñîîòâåòñòâóþùèéäàííîé óíêöèè, èìååò âèäÊà32 cos x cos 3x cos 5xf (x) → S(x) = π ++++ ...
−2224π135sin 2x sin 3x+−... .− sin x −23Ïîñêîëüêó äàííàÿ óíêöèÿ íåïðåðûâíà âî âñåõ âíóòðåííèõ òî÷êàõ îòðåçêà [π, π], òî ñîãëàñíî òåîðåìå Äèðèõëå äëÿ âñåõ x ∈(−π, π) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî f (x) = S(x). Íàïðèìåð, ïîëàãàÿx = 0, ïîëó÷èì32 111π= π++ + + ...èëè4π 12 32 52∞Pk=0π21= .(2k + 1)2893Íà êîíöàõ îòðåçêà [π, π] ñóììà ðÿäà Ôóðüå èìååò ñëåäóþùåå çíà÷åíèå 11S(±π) =2f (−π + 0) + f (π − 0) =2π.Íà ðèñóíêàõ ïîêàçàíû ãðàèêè óíêöèè f (x) è ñóììû S(x) ååðÿäà Ôóðüå.ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀf (x)π−3π −2π −ππ02π3π4π5πx2π3π4π5πxèñ. 2S(x)π−3π −2π −ππ0èñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
