Учебно-методическое пособие (1021371), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Åñëè ìíîæåñòâîýòèõ çíà÷åíèé íå îãðàíè÷åíî, òî ñîãëàñíî òåîðåìå Àáåëÿ ðÿä ñõîäèòñÿ âñþäó, ïðè÷åì àáñîëþòíî.Ïóñòü ìíîæåñòâî çíà÷åíèé x, ïðè êîòîðûõ ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ, îãðàíè÷åíî, è ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî R òî÷íàÿ âåðõíÿÿãðàíü ýòîãî ìíîæåñòâà. Åñëè |x| < R, òî íàéäåòñÿ çíà÷åíèå x0òàêîå, ÷òî |x| < |x0 | ≤ R, ïðè êîòîðîì ðÿä ñõîäèòñÿ. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå Àáåëÿ ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êå x. Èòàê,ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â èíòåðâàëå (−R, R) è ðàñõîäèòñÿ âíå ýòîãî èíòåðâàëà.
Íà êîíöàõ èíòåðâàëà, ò.å. ïðè x = ±Rìîæåò èìåòü ìåñòî êàê ñõîäèìîñòü, òàê è ðàñõîäèìîñòü ðÿäà.Èíòåðâàë (−R, R) íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà, à ÷èñëî R ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè. Åñëè ñòåïåííîé ðÿäñõîäèòñÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, òî åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = ∞,à åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ òîëüêî â îäíîé òî÷êå x = 0, òî R = 0.àÇàìå÷àíèå 1. Ñòåïåííîé ðÿä âèäà∞Pn=0an (x − x0)n ñõîäèòñÿ èëèÊâ èíòåðâàëå (x0 − R, x0 + R) ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 , èëè íà âñåé÷èñëîâîé îñè, èëè òîëüêî â òî÷êå x = x0 .Çàìå÷àíèå 2. Èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà ìîæåò áûòüíàéäåí ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêîâ Äàëàìáåðà èëè Êîøè.
Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñõîäèìîñòè èëè ðàñõîäèìîñòè íà êîíöàõ èíòåðâàëà òðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå èññëåäîâàíèå ñ ïîìîùüþ äðóãèõ òåîðåì.Ïðèìåð 1. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà∞ (n + 1)Pxn .n2n=077Ïðèìåíèì ïðèçíàê Äàëàìáåðà (n + 2)xn+1 |x|2nn + 2 |x|lim ·lim=<1 ⇔=n→∞2n+1(n + 1)xn2 n→∞ n + 12⇔ |x| < 2 ⇔ −2 < x < 2.(−2, 2) èíòåðâàë ñõîäèìîñòè, R = 2 ðàäèóñ ñõîäèìîñòè.Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü íà êîíöàõ èíòåðâàëà. Îáîçíà÷àÿ îáùèéÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ÷ëåí ðÿäà un (x), âû÷èñëèì åãî çíà÷åíèÿ íà êîíöàõ èíòåðâàëàu2 (−2) = (−1)n(n + 1),un (2) = n + 1.Ïðè x = ±2 íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè,ñëåäîâàòåëüíî, íà êîíöàõ èíòåðâàëà ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Ïðèìåð 2.
Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà∞Pn=2nn (x + 1).(−1) n3 ln nÏðèìåíèì ïðèçíàê Äàëàìáåðà (x + 1)xn+13n ln n |x + 1|ln n=lim n+1·lim=n→∞ 3ln(n + 1) (x + 1)n3 n→∞ ln(n + 1)|x + 1|.=3àln nèñïîëüçóåòñÿ ïðàâèëî Ëîïèòàëÿn→∞ ln(n + 1)ÊÏðè âû÷èñëåíèè lim1t+1ln tlim== lim t = lim=11t→∞t→∞ ln(t + 1)t→∞∞tt+1ln n= 1.⇒ limn→∞ ln(n + 1)∞Èíòåðâàë ñõîäèìîñòè îïðåäåëÿåòñÿ èç íåðàâåíñòâà⇒78|x + 1|< 1 ⇔ |x + 1| < 33⇔ −4 < x < 2.⇔−3 < x + 1 < 3⇔(−4, 2) èíòåðâàë ñõîäèìîñòè, R = 3 ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü íà êîíöàõ èíòåðâàëà. Ïðè x = −4 ïîëó÷èìïîëîæèòåëüíûé ðÿä∞Pn=21.
Ñðàâíèì åãî ñ ãàðìîíè÷åñêèì ðÿäîìln níåðàâåíñòâîÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ∞ 1P. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íîìåðà n = 2, 3, 4, . . . âûïîëíåíîn=1 n11>ln n nln n< 1.nln xÄëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì óíêöèþ f (x) =è âû÷èñëèì åå ïðîx1 − ln xïðè x > e. Òàê êàêèçâîäíóþ f ′ (x) =x2ln 2ln 3f (2) =< 1, f (3) =< 1,23à ïðè x > e f (x) óáûâàåò, òî åå çíà÷åíèÿ ìåíüøå 1 ïðè âñåõ⇔n = 2, 3, 4, .
. .. ×ëåíû ïîëó÷åííîãî ðÿäà áîëüøå, ÷åì ñîîòâåòñòâó-þùèå ÷ëåíû ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà, ò.å. ïðè x = −4 ðÿä ðàñõîäèòñÿ.à∞ (−1)nPÏðè x = 2 ïîëó÷èì ðÿä, êîòîðûé ñõîäèòñÿ óñëîâíî êàên=2 ln nÊçíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä Ëåéáíèöà.Ïðèìåð 3. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà∞ xnP.n=0 n!Ïðèìåíèì ïðèçíàê Äàëàìáåðà xn+1n! 1lim · n = |x| lim= 0 ïðè âñåõ x.n→∞ n + 1n→∞ (n + 1)! xÑëåäîâàòåëüíî, îáëàñòü ñõîäèìîñòè äàííîãî ðÿäà âñÿ ÷èñëîâàÿîñü.797.3àâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ñòåïåííîãî ðÿäà, åãî ïî÷ëåííîå èíòåãðèðîâàíèå è äèåðåíöèðîâàíèåÒåîðåìà.
Ñòåïåííîé ðÿä∞Pan xn ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ëþáîìn=0ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀîòðåçêå, ïðèíàäëåæàùåì èíòåðâàëó ñõîäèìîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (−R, R) èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà è [a, b] ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê, ïðèíàäëåæàùèé ýòîìóèíòåðâàëó. Îáîçíà÷èì x0 ìàêñèìàëüíîå èç ÷èñåë |a|, |b|. Òîãäàäëÿ âñåõ x ∈ [a, b] áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |x| ≤ |x0 |. Ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êå x0 , ò.ê. x0 ∈ (−R, R). Êðîìå òîãî |an xn | ≤ |an xn0 |. Ò.å.
ñòåïåííîé ðÿä ìàæîðèðóåòñÿ íà îòðåçêå [a, b] ñõîäÿùèìñÿ ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîâûì ðÿäîì, à, çíà÷èò,ñîãëàñíî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ñõîäèòñÿ íà ýòîì îòðåçêå ðàâíîìåðíî. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñòåïåííûå ðÿäû îáëàäàþò ñâîéñòâàìè ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ. Íàïðèìåð, ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà íåïðåðûâíà íà ëþáîì îòðåçêå, ïðèíàäëåæàùåì èíòåðâàëó ñõîäèìîñòè,à, çíà÷èò, íåïðåðûâíà íà âñåì èíòåðâàëå.
Èíòåãðàë îò ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà S(x) íà ëþáîì îòðåçêå, ïðèíàäëåæàùåì èíòåðâàëóñõîäèìîñòè, ðàâåí ñóììå ðÿäà, ïîëó÷åííîãî èç äàííîãî ñòåïåííîãîðÿäà ïóòåì ïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íà òîì æå îòðåçêåRbS(x)dx =an xn dx.n=0 aaà∞ RbPÊÅñëè â êà÷åñòâå îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ âçÿòü îòðåçîê [0, x], ãäåx ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó ñõîäèìîñòè, òî ðàâåíñòâî ïðèîáðåòàåòâèäRx0∞P∞ aPann−1 nn+1S(x)dx =x=x .n=0 n + 1n=1 nÒ.å.
â ðåçóëüòàòå ïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñòåïåííîãî ðÿäà íàîòðåçêå [0, x] ïîëó÷àåòñÿ òàêæå ñòåïåííîé ðÿä. Ïîëüçóÿñü, íàïðèìåð, ïðèçíàêîì Äàëàìáåðà, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ïîëó÷åííîãî ðÿäà ñîâïàäàåò ñ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè èñõîäíîãîðÿäà.80∞PÏðè ïî÷ëåííîì äèåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäàan x ïîëó÷èì òàêæå ñòåïåííîé ðÿänn=0=∞P∞Pan n xn−1 =n=1an+1 (n + 1) xn ñ òåì æå ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè. Ýòî îçíà÷àåò,n=0ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ÷òî ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà äèåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè, è ïðîèçâîäíàÿ ñóììû ðàâíà ñóììå ðÿäà èç ïðîèçâîäíûõ.Ïî÷ëåííîå äèåðåíöèðîâàíèå ìîæíî ïðèìåíèòü ïîâòîðíî ê ðÿäó èç ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà, âòîðîãî è ò.ä.
Çíà÷èò, ñóììàñòåïåííîãî ðÿäà èìååò âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ïðîèçâîäíûåâñåõ ïîðÿäêîâ.Çàìå÷àíèå. Ïðè ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè è äèåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ñîõðàíÿåòñÿ. Ñõîäèìîñòü íà êîíöàõ èíòåðâàëà ìîæåò ïîÿâëÿòüñÿ èëè èñ÷åçàòü.xnÏðèìåð 1. Íàéòè ñóììó ðÿäà.(−1)nn=1Äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ íà ïðîìåæóòêå (−1, 1]. Îáîçíà÷èì S(x)∞Pn+1åãî ñóììó è ïðèìåíèì òåîðåìó î ïî÷ëåííîì äèåðåíöèðîâàíèèS ′ (x) =∞P(−1)n+1 xn−1 =∞P(−1)n xn =n=0n=11.1+xÏîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ïî÷ëåííîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ ñòåïåííîé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè è ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå (−1, 1).
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî S(0) = 0, íàéäåìàS(x) = ln(1 + x)ÊÏðèìåð 2. Íàéòè ñóììó ðÿäà∞P(n + 1) xn .n=0Äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå (−1, 1). Îáîçíà÷èì S(x) åãîñóììó è ïðèìåíèì òåîðåìó î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèèRx0S(x)dx =∞Pn=0xn+1=∞Pn=1xnx.1−xÏîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñòåïåííîéðÿä ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè è ñõîäèòñÿ íà81èíòåðâàëå (−1, 1).
x ′1S(x) ==.1−x(1 − x)28 ÿä Òåéëîðà8.1Ïðåäñòàâëåíèå óíêöèé ñòåïåííûìè ðÿäàìèÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ×àñòè÷íûìè ñóììàìè ñòåïåííûõ ðÿäîâ ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû,÷òî äåëàåò ñòåïåííûå ðÿäû óäîáíûì ñðåäñòâîì äëÿ ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé. Ïîýòîìó îñîáîå çíà÷åíèå èìååò âîïðîñ î ïðåäñòàâëåíèè óíêöèé ñòåïåííûìè ðÿäàìè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàííàÿ óíêöèÿ f (x) â íåêîòîðîì èíòåðâàëå ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 èìååò ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ. Òîãäàñîãëàñíî îðìóëå Òåéëîðà äëÿ âñåõ çíà÷åíèé x èç ýòîãî èíòåðâàëàèìååò ìåñòî ðàâåíñòâîf ′ (x0)f ′′ (x0 )f (x) = f (x0) +(x − x0 ) +(x − x0 )2 + . .
. +1!2!(n)f (x0 )+(x − x0 )n + Rn(x),n!ãäå Rn(x) îñòàòî÷íûé ÷ëåí îðìóëû Òåéëîðà è ìîæåò áûòüçàïèñàí ðàçíûìè ñïîñîáàìè, íàïðèìåð, â îðìå Ëàãðàíæàãäåx1 ∈ (x0 , x).Êàf (n+1) (x1)Rn (x) =(x − x0)n+1,(n + 1)!Ïðè ýòîì n ìîæíî âûáðàòü ñêîëü óãîäíî áîëüøèì, ò.å. ó÷èòûâàòüâ ýòîé îðìóëå ñêîëü óãîäíî áîëüøèå ñòåïåíè ïåðåìåííîé (x −x0 ). Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ î âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿóíêöèè f (x) â âèäå áåñêîíå÷íîé ñóììû èëè â âèäå ñòåïåííîãîðÿäàf ′ (x0)f ′′ (x0 )f (x) = f (x0) +(x − x0 ) +(x − x0 )2 + .
. . +1!2!f (n) (x0 )+(x − x0 )n + . . .n!82Òàêîé ðÿä, íåçàâèñèìî îò òîãî, ñõîäèòñÿ îí èëè íå ñõîäèòñÿ êóíêöèè f (x) â íåêîòîðîì èíòåðâàëå, íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðàýòîé óíêöèè, à åãî êîýèöèåíòû êîýèöèåíòàìè Òåéëîðà.Åñëè x0 = 0, òî äàííûé ñòåïåííîé ðÿä íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ìàêëîðåíàf ′ (0)f ′′ (0) 2f (n) (0) nf (x) = f (0) +x+x + ...+x + ...1!2!n!Óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà Òåéëîðà çàäàííîé óíêöèè ê ýòîé óíêöèèÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ8.2Ñîãëàñíî îðìóëå Òåéëîðà ðàçíîñòü ìåæäó çíà÷åíèÿìè óíêöèèf (x) è ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà Òåéëîðà ñ íîìåðîì (n + 1) ýòîéóíêöèè ðàâíà îñòàòî÷íîìó ÷ëåíó îðìóëû Òåéëîðà Rn(x). Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: äëÿ òîãî ÷òîáû ïðèíåêîòîðîì çíà÷åíèè x çíà÷åíèå óíêöèè f (x) ñîâïàäàëî ñ ñóììîéðÿäà Òåéëîðà ýòîé óíêöèè íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îñòàòî÷íûé ÷ëåí îðìóëû Òåéëîðà ïðè ýòîì çíà÷åíèè x ñòðåìèòñÿ êíóëþ ñ âîçðàñòàíèåì nlim Rn (x) = 0.n→∞Êààññìîòðèì óíêöèþf (x) =1e− x2 , x 6= 00 x = 0.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà óíêöèÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè èìååòïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ, è âñå åå ïðîèçâîäíûå ïðè x = 0 ðàâíû0.
ÿä Ìàêëîðåíà ýòîé óíêöèè ñõîäèòñÿ ïðè âñåõ x, è ñóììàåãî òîæäåñòâåííî ðàâíà 0. Òàêèì îáðàçîì, äàííàÿ óíêöèÿ íåïðåäñòàâëÿåòñÿ ñâîèì ðÿäîì Ìàêëîðåíà íè â êàêîé îêðåñòíîñòèòî÷êè x = 0.Äëÿ òîãî ÷òîáû âûÿñíèòü, ñõîäèòñÿ ëè ðÿä Òåéëîðà çàäàííîéóíêöèè ê ýòîé óíêöèè, â ðÿäå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì83ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå åñëè óíêöèÿ f (x) â íåêîòîðîì èíòåðâàëå ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 èìååò ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ è âñåïðîèçâîäíûå äëÿ âñåõ x èç ýòîãî èíòåðâàëà îãðàíè÷åíû îäíèì èòåì æå ÷èñëîì|f (n) (x)| ≤ M,8.3ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀòî ðÿä Òåéëîðà ýòîé óíêöèè ñõîäèòñÿ ê ñàìîé óíêöèè íà äàííîì èíòåðâàëå. Ýòî óòâåðæäåíèå ïðèìåíèìî ê òàêèì ýëåìåíòàðíûì óíêöèÿì êàê ex , cos x, sin x. Íàïðèìåð, óíêöèè sin x ècos x äèåðåíöèðóåìû âñþäó áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç, è âñå èõïðîèçâîäíûå îãðàíè÷åíû ïî ìîäóëþ åäèíèöåé. Çíà÷èò, ýòè óíêöèè ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿäû Òåéëîðà íà ëþáîì èíòåðâàëå ñ öåíòðîì â ëþáîé òî÷êå.Åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ óíêöèè ñòåïåííûìðÿäîìÒåîðåìà.
Åñëè óíêöèÿ f (x) ïðåäñòàâèìà íà íåêîòîðîì èíòåðâàëåñ öåíòðîì â òî÷êå x0 ñòåïåííûì ðÿäîìf (x) =∞Pn=0an (x − x0 )n ,òî ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ýòîé óíêöèè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàÿ x = x0 â îðìóëån=0an (x − x0)n , ïîëó÷èì f (x0 ) = a0 . Ïðèìåíèì ê äàííîìóàf (x) =∞PÊñòåïåííîìó ðÿäó òåîðåìó î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè′f (x) =f ′′ (x) =∞Pn=1∞Pn=2...f (k) (x) =an n (x − x0 )n−1,an n(n − 1) (x − x0 )n−2,∞Pn=1...an n(n − 1) · .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
