Кратные и криволинейные интегралы, страница 9

Функция y = непрерывна на интервале (0,1)x(то есть: (0 < x < 1) ), но не является равномерно непрерывной на нём.План доказательства основной леммы (в предположении, что мы временно принимаемна веру лемму 2). Первый частный случай леммы: две интегральные суммы имеют однои то же разбиение. Тогда, очевидно, разность любых двух интегральных сумм непревосходит разности верхней Σ и нижней Σ сумм Дарбу для данного разбиения.()Имеем: Σ − Σ = Σ ω k ⋅ Δx k , где ω k = max ( f (~xk 2 )) − min (~xk1 ) по всем ~x k1 и ~xk 2 ,(k )принадлежащим сегменту (элементу) разбиения [Δx k ] .

Напомним, что ωk есть⎛ ε ⎞колебание f ( x ) на [Δx k ] . По лемме 2 о равномерной непрерывности ∀ε∃δ ⎜⎟⎝b−a⎠(читается: для любого ε существует δ , зависящее отεb−a) такое, что для любого⎛ ε ⎞разбиения мелкости ρ : ρ < δ ⎜⎟ для всех элементов разбиения все колебания⎝b−a⎠будут меньшеεb−a. Следовательно,Σ − Σ = Σ ω k ⋅ Δx k < Σ(k )ε(k ) b − a⋅ Δx k =εb−a⋅ Σ Δx k =(k )εb−a⋅ (b − a ) = ε . Первый случайдоказан.Второй частный случай леммы: точки одного разбиения целиком входят в составдругого разбиения.

В этом случае мелкость разбиения с меньшим числом точек⎛ ε ⎞(«крупного» разбиения) берётся так, как в первом случае: ρ : ρ < δ ⎜⎟ . Несколько⎝b−a⎠слагаемых разбиения с большим числом точек ( «мелкого» разбиения) группируютсяпо принадлежности их элементов разбиения одному элементу «крупного» разбиения.Одно слагаемое «крупного» разбиения разбивается на несколько слагаемых с одним итем же ~x k , но с Δx k , соответствующими элементам «мелкого» разбиения.

В этомслучае модуль разности значений функции с коэффициентом Δx k в разности двух⎛ ε ⎞интегральных сумм не превзойдёт колебания ρ : ρ < δ ⎜⎟ «крупного» разбиения, и⎝b−a⎠оценка разности двух интегральных сумм будет той же, что и в первом случае. Второйслучай доказан.Общий случай леммы. Для двух интегральных сумм берём третью интегральнуюсумму, точки разбиения которой состоят из точек первой и второй сумм. В силувторого частного случая разность между первой и третьей суммами может быть3940сделана меньшеε2и между второй и третьей суммами также меньшеε2.Следовательно, разность между первой и третьей суммами будет меньшеε2+ε2=ε .Итак, основная лемма доказана.Поверив первой и второй леммам, сформулированная выше теорема существованиядоказывается просто. Берём равномерное разбиение сегмента [a, b] , где все длиныb−aэлементов разбиения равны.

Тогда, очевидно, при возрастании натурального n2nнижние суммы Дарбу возрастают и ограничены сверху верхней суммой Дарбу приn = 0 . Ограничивающая константа есть max ( f ( x )) ⋅ (b − a ) . Поэтому эти суммы Дарбучастного вида имеют предел. В силу основной леммы любые другие суммы Дарбуbимеют тот же предел, который и есть∫ak = n −1f (x )dx ≡ lim Σ f (~x k )Δx k .ρ {k }→0 k = 0Доказательство леммы 2 о равномерной непрерывности (точнее, схема доказательства).Лемма 2.1.

Всякое бесконечное покрытие сегмента [a, b] окрестностями точек сегментаимеет конечное подпокрытие.1⎫⎧Пример. Множество точек ⎨ xk = k ⎬ , где k = 1,2,3,…∞ , очевидно, удовлетворяет2 ⎭⎩требованию леммы 1. Пусть, например каждое xk покрыто интервалом11⎞⎛⎜ xk − k , xk + k ⎟ . Покроем x∞ = 0 интервалом (x∞ − ε , x∞ + ε ) , где ε - достаточно88 ⎠⎝малое, но фиксированное число, отличное от нуля. Тогда конечным подпокрытиемнашего бесконечного покрытия будет интервал шириной 2ε , покрывающий x∞ = 0 ипокрытия тех xk , которые превышают ε , то есть xk > ε .Лемма 2.2 (теорема Лебега). Для каждого конечного покрытия сегмента [a, b](существующего по лемме 2.1) найдётся сегмент столь малой длины, что этот сегмент,где бы он не располагался внутри [a, b] , попадёт целиком внутрь какого-либо элементаконечного покрытия.Из этих двух лемм вытекает лемма о равномерной непрерывности следующим образом.⎛ε ⎞Для каждой точки сегмента [a, b] и для любого ε > 0 найдётся δ ⎜ ⎟ такое, что весь⎝2⎠εε⎞⎛сегмент будет иметь бесконечное покрытие интервалами ⎜ x 0 − , x0 + ⎟ с центрами в22⎠⎝εε⎞ε⎛любой точке сегмента x0 ∈ [a, b] .

При этом f ( x ) − f ( x0 ) < при x ∈ ⎜ x0 − , x0 + ⎟ .22⎠2⎝εε⎞⎛Применяем лемму 2.1, получаем конечное число интервалов ⎜ x k − , x k + ⎟ , где22⎠⎝k = 1, 2,… m , покрывающих весь сегмент [a, b] . Применяем лемму 2.2 Лебега, найдёмδ лебега (ε ) > 0 такое, что интервал длины δ лебега (ε ) (где бы он не находился внутри [a, b] )целиком лежит в каком-либо интервале конечного покрытия. Следовательно, длялюбых x1 и x 2 интервала длины δ лебега (ε ) будем иметь:4041f ( x 2 ) − f ( x1 ) < f ( x 2 ) − f ( x0 ) + f ( x1 ) − f ( x0 ) =εε= ε , где x0 - центр интервала2 2конечного покрытия, в котором лежат x1 и x 2 .

Итак равномерная непрерывностьдоказана.Осталось доказать леммы 2.1 и 2.2 . доказываются они обе от противного. А именно:строится сходящаяся последовательность интервалов (в смысле сходимости их центровк предельной точке), причём их длины стремятся к нулю. При этом требуется, чтобыкаждый из этих интервалов либо не допускал конечного покрытия (нарушение леммы2.1) либо не находился целиком в интервале конечного покрытия (нарушение леммы2.2). тогда в любой сколь угодно малой окрестности предельной точки центровнайдется интервал сходящейся последовательности, который с одной стороны (попостроению) нарушает условия одной из этих лемм, а с другой стороны, целиком лежитв одном из элементов покрытия (как нетрудно проверить).

Полученное противоречие идоказывает леммы. Аналогичное доказательство см. [Телеман].§ 4.+Измеримость по Жордану и Лебегу.Если принять концепцию меры Римана – Жордана, то считается, что скажем, токриволинейная трапеция: a ≤ x ≤ b; 0 ≤ y ≤ f ( x ) , ограниченная графиком непрерывнойфункции, измерима, если границу этой области можно покрыть конечным числомпрямоугольников сколь угодно малой суммарной площади. Соответственно, функцияf (x ) , график которой ограничивает эту криволинейную трапецию, называютинтегрируемой по Риману.Для интегрирования функций таких, как функция Дирихле D ( x ) (равная нулю виррациональных точках x и единице, если аргумент x рационален) Анри Лебегразрешил покрытие границы криволинейной трапеции бесконечным числомпрямоугольников сколь годно малой суммарной площади.Заметим, что ввиду этого обстоятельства ряд учёных отнеслись к интегралу Лебега снедоверием, несмотря на хорошо разработанную математическую теорию интегралаЛебега.

Однако, дело с интегрированием по Лебегу на компьютере обстоит не так ужплохо, если выбирать точки ~xk внутри элементов разбиения с помощью случайнойфункции и моделировать компьютерно – иррациональные числа несократимымидробями, знаменатель которых превышает достаточно большое заданное число (речьидёт об интегрировании функции Дирихле).Итак, рассмотрим интегрирование функции Дирихле сначала по Риману, а затем поЛебегу.1.Интегрирование функции Дирихле по Риману.Интегрирование этой функции по Риману выполнить невозможно, посколькуминимальное покрытие границы соответствующей криволинейной трапецииконечным числом прямоугольников можно выполнить только с помощьюединичного квадрата. Заметим, что эта криволинейная трапеция совпадает сосвоей границей и представляет собой множество отрезков вида: x = x рац и0 ≤ y ≤ 1 , причем x рац есть рациональное число (дробь с целым числителем изнаменателем, причём 0 ≤ x рац ≤ 1 ).

Так как минимальное значение площадипокрытия границы есть единица (не бесконечно – малое число), то функцияДирихле не измерима по Риману.41422.Интегрирование функции Дирихле по Лебегу.Поскольку разрешается покрытие границы криволинейной трапециибесконечным числом прямоугольников, то сделаем это покрытие следующимmспособом. Известно, что множество рациональных дробей вида x рац =счётноn(его можно пересчитать), поскольку узлы сетки бесконечной матрицы можнопересчитать вдоль конечных диагоналей (левый низ – правый верх) этойматрицы.Криволинейная трапеция в нашем случае – это множество отрезков x = x рац =и 0 ≤ y ≤ 1. Покроем первое число x = x1 отрезкомдлиныε2mn, то естьεε⎤ε⎡отрезком ⎢ x1 − , x1 + ⎥ , второе число x = x2 отрезком длины , число x = xn44⎦4⎣εε ⎤ε⎡отрезком длины n , то есть отрезком ⎢ xn − n+1 , xn + n+1 ⎥ .

Тогда граница22 ⎦2⎣криволинейной трапеции будет покрыта прямоугольниками вида: Δ n :xn −ε2n +1≤ x ≤ xn +покрытия есть:εε2ε2 n+1+ε4и 0 ≤ y ≤ 1 . Очевидно, суммарная площадь этого+…+ε2n. Сумма этой геометрической прогрессии равна:1= ε , то есть бесконечно-мала. Итак, отсюда видно, что функция Дирихле2 1− 12интегрируема по Лебегу .Поскольку оставшаяся после покрытия частькриволинейной трапеции содержит только иррациональные x , где функцияДирихле равна нулю, то интеграл Лебега от функции Дирихле также равеннулю.§ 5.⋅Критерий интегрируемости по Риману.В данном случае интеграл будет предполагаться собственным, то естьизмеряемая им криволинейная трапеция ограничена (может быть помещенавнутри круга достаточно большого радиуса). Это предполагает ограниченностькак самой функции внутри её области интегрирования, так и самой областиинтегрирования, так что в дальнейшем эти условия специально оговариваться небудут.