Кратные и криволинейные интегралы, страница 11

Получаем внешнюю меру Риманафигуры. Очевидно, при измельчении сеткивнутренние меры монотонно возрастают, внешниемеры монотонно убывают, а мера границы фигурыбесконечно мала, так как соответствующие элементысетки целиком попадают внутрь многоугольника,покрывающего границу.Определение. Мера Римана фигуры, измеримой поРиману, называется общий предел её внешней ивнутренней мер при неограниченном измельчении сетки (мелкость сетки стремится кнулю).Определение. Мера Лебега фигуры, измеримой по Лебегу называется нижний пределмножества мер её покрытий элементарными фигурами (например, квадратами) смелкостью, не превосходящую заданную, то есть суммарных площадей бесконечногомножества элементарных фигур, покрывающей заданную (измеряемую) фигуру.Определение.

Нижний предел множеств точек числовой оси есть предел нижнихграней точек этих множеств.Определение. Нижняя грань множества точек числовой оси есть такая точка, левеекоторой нет точек этого множества, но стоит только нижнюю грань немного сместитьвправо, как левее это смещённой точки появятся точки данного множества.На самом деле, поскольку нижние грани множеств покрытий при нахождениимеры Лебега совпадают, то предел в данном случае тривиален (предел одинаковыхнижних граней), и можно определить меру Лебега просто как нижнюю граньвсевозможных покрытий измеряемого множества элементарными фигурами.

Причинастоль хитрого определения меры Лебега через предел нижних граней выяснится позжепри определении площади поверхности по Лебегу.Очевидно, о внутренней мере, например, множества иррациональных точек наотрезке [0,1] , понимаемой в традиционном смысле Римана, говорить не приходится.Лебег определил внутреннюю меру Лебега через внешнюю меру дополненияизмеряемого множества до любого многоугольника, покрывающего измеряемуюфигуру (то есть через внешнюю мер множества точек, лежащих в многоугольнике, ноне лежащих в фигуре).4647Задача.

Доказать независимость меры Римана от способа наложения сетки наизмеряемую фигуру. Указание: ввести понятие расстояния от границы многоугольникапокрытия границы до самой границы фигуры.Задача. Доказать совпадение мер Римана и Лебега для фигуры, измеримой по Риману.Замечание по стилю изложения. Читатель уже заметил, что вспомогательные понятия,используемые для определения главного понятия, часто определяются послеопределения главного понятия. Телега, так сказать, бежит впереди лошади. Дело в том,что предварительное определение большого количества вспомогательных понятийскрывает цель, ради которой они вводятся.

Поэтому более важное понятие «телега»следует иногда вводить раньше вспомогательного понятия «лошадь». Ибо в данномслучае цель – перевести груз, который вначале кладётся в телегу, а затем к нейприсоединяют лошадь или трактор.§ 8.Длина кривой и площадь поверхности.Определение. Элемент триангуляции есть либо отрезок прямой (в одномерном случае),либо треугольник (в двумерном случае), либо тетраэдр (в трёхмерном случае), то естьнеправильная треугольная пирамида. Можно рассматривать элемент триангуляции какмножество центров тяжести масс, расположенных в вершинах этого элемента.Нетрудно обобщить понятие тетраэдра на многомерный случай. В этом случае можноопределить n − 1 - мерную грань n - мерного тетраэдра как множество центров тяжестимасс в n вершинах тетраэдра в случае, когда ровно одна из этих масс равна нулю.Определение.

Триангуляция n -мерной поверхности есть совокупность n - мерных еёэлементов, пересекающихся либо по n − 1 - мерной грани, либо не пересекающихсявовсе, причём вершины элементов триангуляции должны лежать на этой поверхности.Следуя методу Лебега, определим длину участка кривой или площадь участкаповерхности как нижний предел множества мер триангуляций, равномерноприближающих этот участок, когда мелкость триангуляции не превосходит заданную,причём заданная мелкость стремится к нулю.

Равномерность следует понимать в томсмысле, что если точки участка кривой или поверхности являются центрами круговили шаров сколь угодно малого радиуса, то триангуляция целиком покрывается этимикругами или шарами. Мера триангуляции понимается как суммарная мера всехсоставляющих её элементов. Мелкость триангуляции понимается как максимальноерасстояние между какими-либо двумя точками, лежащими в одном элементетриангуляции.Определение.

Расстояние от триангуляции до измеряемого участка кривой илиповерхности есть максимум из минимумов расстояний от точки элемента триангуляциидо точек измеряемого (триангулируемого) участка кривой или поверхности. Максимумберётся по всем элементам триангуляции.4748§ 9.Контрпример Шварца.Вопрос в данном случае состоит в том, зачем Лебегу понадобилось стольсложное (через нижний предел) определение длины кривой или площади поверхности.Казалось достаточным дать такое «наивное» определение площади поверхности какпредела площади триангуляции поверхности в случае, когда мелкость триангуляциистремится к нулю.

Однако Г. Шварц (немецкий математик, живший во второй половине19 века) дал поучительный пример сколь угодно мелкой триангуляции со сколь угодномалым расстоянием от триангулируемой поверхности.Рассмотрим «гармошку», надетую на прямоугольный параллелепипед или напрямоугольный цилиндр.

На рисунке число звеньев гармошки n = 3 .Очевидно, площадь гофрированной части гармошки равна n ⋅ c ⋅ δ , где c - некотораяконстанта. Считая толщину кожи гармошки сколь угодно малой, мы можем надеть напрямоугольный цилиндр заданных размеров сколько угодно звеньев гармошки. Ввидуэтого площадь гофрированной части гармошки может стать сколь угодно большой иотнюдь не стремится к боковой поверхности прямоугольного цилиндра.

Следует,кстати, отметить, что «наивное» определение длины кривой ещё проходит.Другое дело, если мы начнём минимизировать число звеньев гармошки,натягивая её до предела на заданный участок боковой поверхности прямоугольногоцилиндра. В этом случае боковая поверхность гармошки как триангуляции боковойповерхности цилиндра будет стремиться к минимуму, что и отражает определениеЛебега боковой поверхности цилиндра.Заметим, наконец, сходство и различие определения меры Лебега плоскойфигуры и кривоповерхностной фигуры как участка на кривой поверхности.

Во второмслучае мы имеем нетривиальный пример использования понятия нижнего предела.Если ограничение сверху на мелкость разбиения ослаблено, триангуляция можетсостоять из одного треугольника. Очевидно, нижняя грань множества, состоящего изодного треугольника, явно меньше, чем истинная площадь участка кривойповерхности. При уменьшении ограничителя на мелкость триангуляции (иначе говоря,когда ограничение на мелкость становится более жёстким), мелкость триангуляциивозрастает, и нижняя грань возрастает тоже (во всяком случае, для выпуклойповерхности).

Можно показать, что при измельчении триангуляции множество меропределённых выше вписанных триангуляций (и их нижних граней) не превосходитмеры описанного многогранника, образованного касательными плоскостями кповерхности с точками касания – вершинами вписанной триангуляции (это верно длявыпуклой и гладкой, то есть дифференцируемой поверхности). В следующем разделебудет доказано существование площади поверхности по Лебегу для графика функции∂f∂fz = f (x, y ) , непрерывной вместе со своими частными производнымии.∂y∂x4849§ 10. Вычисление площади поверхности дифференцируемой функции по Лебегу.Теорема.

Пусть z = f (x, y ) , непрерывна вместе со своими частными∂f∂fпроизводнымиина некоторой области G плоскости XOY, задаваемой∂y∂xнеравенствами: (a ≤ x ≤ b ) и (ϕ1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 (x )) , где ϕ1 ( x ) и ϕ 2 (x ) - непрерывныефункции. Тогда интеграл∫∫(G )⎛ ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎛ ∂f ⎞ 2 ⎞⎜1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ dx ∧ dy даёт значение площади⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ⎟⎠⎝участка поверхности по Лебегу. При этом область интегрирования G есть проекцияучастка поверхности S графика функции z = f (x, y ) на плоскость XOY.Доказательство.1.Рассмотрим какую-нибудь триангуляцию области интегрирования G .

Можносчитать, что она состоит из прямоугольных треугольников со сторонами,параллельными осям ОХ и ОY, поскольку любой треугольник можно разбить насумму прямоугольных треугольников. Полученная триангуляция на G естьпроекция некоторой триангуляции на S .2.Вычислим площадь элемента триангуляции на S . Уравнение плоскоститреугольника триангуляции имеет вид f t ( x, y, z ) = A ⋅ x + B ⋅ y + C − z = 0 .

Пусть(x0 , y0 ) , (x1 , y0 ) , (x0 , y1 ) - вершины прямого и двух острых углов элементатриангуляции на G . Тогда по теореме Лагранжа имеем:f ( x1 , y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂f ~(x , y ) , где (~x , y ) - некоторая точка на сторонеA=x1 − x0=∂x0000∂f(x0 , ~y0 ) . Нормаль (вектор - перпендикуляр)∂yк плоскости f t ( x, y, z ) = A ⋅ x + B ⋅ y + C − z = 0 имеет вид:катета.

Аналогично получаем: B =⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞N = ⎜⎜ t , t , t ⎟⎟ = ( A, B,−1) . Поскольку площадь проекции (площадь элемента⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠триангуляции Δ(G ) ) равна площади элемента триангуляции Δ(S ) , умноженнойна косинус угла между плоскостями или между их нормалями – то есть наΔ(G )cos(γ ) , то Δ(S ) =. Посколькуcos(γ )cos(γ ) =3.(N ⋅ k ) =N ⋅k( A, B,−1) ⋅ (0,0,1)2A 2 + B 2 + (− 1)=1A + B +122, то Δ(S ) = A 2 + B 2 + 1 ⋅ Δ(G ) .∂f∂fинепрерывны на замкнутом и∂y∂xограниченном множестве G , поэтому они равномерно непрерывны на нём (см.доказательство теоремы существования определённого интеграла).

Это значит,что можно выбрать столь маленькую мелкость разбиения областиинтегрирования G , что на любом элементе разбиения этой области независимоот расположения элемента внутри области колебание (то есть разница междумаксимумом и минимумом) частных производных будет меньше любой наперёдзаданной величины ε . Это же относится и к сумме их квадратов. Обозначивсумму квадратов частных производных символом a , сделаем оценку колебанияквадратного корня подинтегральной функции предполагаемого выражение дляПо условию, частные производные4950площади поверхности.