Кратные и криволинейные интегралы, страница 10

Итак, имеет место4243теорема (критерий интегрируемости по Риману). Функция интегрируема поРиману тогда и только тогда, когда множество точек разрыва этой функцииимеет меру нуль по Лебегу.1Пример использования этого критерия. Рассмотрим функцию f ( x ) = , где mmесть максимальная длина из длин отрезков периодичности и апериодичностимантиссы (дробной части) разложения аргумента функции x в бесконечнуюдесятичную дробь.Пояснение. Известно, что всякая дробь разлагается в бесконечную десятичную1373периодическую дробь.

Пример.= 0.124(81) = 0.12481818181... . Здесь11000отрезок периодичности – 81, его длина – 2. Отрезок апериодичности – 124, его11⎛ 1373 ⎞длина – 3. Итак, имеем значение функции: f ⎜= . Очевидно,⎟=⎝ 11000 ⎠ max(2,3) 31значение этой функции в иррациональных точках есть = 0 . Нетрудно видеть,∞что эти точки являются точками непрерывности нашей функции. Очевидно,1∫ f (x )dx = 0 как в смысле Римана, так и в смысле Лебега.

К указанной функции0можно применить критерий интегрируемости по Риману, поскольку множествопериодических дробей как множество рациональных чисел счётно (см. примерфункции Дирихле, приведённый выше) и поэтому имеет меру нуль по Лебегу.Это же множество есть множество точек разрыва нашей функции.Доказательство интегрируемости этой функции по Риману повторяетдоказательство самого критерия интегрируемости, поэтому дадим схемудоказательства этого критерия.Необходимость.1Предположим, что интеграл Римана от некоторой функции существует,то есть для любого разбиения области интегрирования разность верхних инижних сумм Дарбу, равная сумме произведений длин элементовразбиения на колебания функции на этих элементах сколь угодно малапри достаточно малой мелкости разбиения.

Назовём его общимколебанием интеграла.2Покрываем точки непрерывности функции окрестностями, внутрикоторых колебания функции не превосходят общего колебанияинтеграла, делённого на длину области интегрирования. Точки разрывапокрываем множеством окрестностей, суммарная мера которыхотличается сколь угодно мало от меры Лебега точек разрыва, то есть отдлины объединения этих окрестностей.3Выделяем из полученного бесконечного покрытия конечноеподпокрытие. Напомним, что это можно сделать в силе предположения отом, что область интегрирования ограничена и замкнута относительнооперации взятия предела. Последнее означает, что если элементыпоследовательности, имеющей предел, принадлежат областиинтегрирования, то и сам предел также принадлежит областиинтегрирования.4Измельчим наше первоначальное разбиение так, чтобы (по лемме Лебега)каждый элемент разбиения целиком лежал внутри какой-либоокрестности подпокрытия.

Каждый элемент разбиения принадлежит или4344окрестности непрерывности (элемент непрерывности) либо окрестностиразрыва (при условии, что элемент не принадлежит одновременно иокрестности непрерывности, назовём его элементом разрыва).5Колебание интеграла есть сумма колебаний по элементам непрерывностии разрыва. Поскольку сумма этих положительных чисел бесконечно –мала, то и каждое их этих чисел бесконечно – мало, в частности, речьидёт о колебании интеграла по элементам разрыва. Отсюда вытекает, чтосумма длин элементов разрыва меньше, чем колебание интеграла,делённое на минимум колебаний на конечном числе элементов разрыва –не бесконечно малое число (иначе речь бы шла об элементенепрерывности).6Отсюда видно, что сумма длин элементов разрыва бесконечно – мала, тоесть множество точек разрыва покрыто элементами разрыва с бесконечно– малой суммарной длиной, то есть имеет меру Лебега, равную нулю, чтои требовалось доказать.Достаточность.1.Разбиваем элементы разбиения области интегрирования на элементынепрерывности и элементы разрыва так, как мы это делали придоказательстве необходимости.2.Колебание по элементам непрерывности бесконечно мало, так какколебание функции на элементах непрерывности бесконечно мало(минимум конечного числа бесконечно – малых колебаний элементовнепрерывности).

Отметим, что термин «бесконечно - малое» следуетпонимать так: «может быть сделано меньше любого наперёд заданногочисла». Колебание по элементам разрыва бесконечно мало, так как суммаэлементов разрыва по условию бесконечно – мала, а колебание наэлементах разрыва ограничено сверху ввиду ограниченностиподинтегральной функции. Колебание интеграла есть сумма колебанийпо элементам непрерывности и разрыва, следовательно, оно такжебесконечно – мало, то есть интеграл Римана существует, и функцияинтегрируема по Риману, что и требовалось доказать.§ 6.Обобщение теории определённого интеграла на кратные интегралы.Описанная выше теория интеграла как площади криволинейной трапеции безособого труда обобщается на кратные интегралы. Однако здесь появляется новыймомент: измеримость контура области интегрирования.Определение.

Характеристическая функция множества точек (в данном случае⎧0 если x ∉ Gточек области интегрирования) G определяется так: μ G ( x ) = ⎨. Значок⎩1 если x ∈ G« ∈ » здесь означает «принадлежит», значок « ∉ » здесь означает «не принадлежит».Можно доказать, что:∫∫ f (x, y )dx ∧ dy = ∫∫ f (x, y ) ⋅ μ (x, y ) ⋅ dx ∧ dy , еслиGf ( x, y )◊непрерывна на G , и G измерима по Риману – Жордану. Здесь ◊ означает какуюнибудь простую фигуру (например, ромб или квадрат), в которой целиком помещаетсяобласть интегрирования G при условии измеримости границы области G . Выборобъемлющей фигуры определяется простотой разбиения этой фигуры на элементыразбиения при построении интегральных сумм. Если G измерима по Жордану, томножество точек разрыва функции f ( x, y ) ⋅ μ ( x, y ) измерима по Риману (то есть это4445множество покрывается сколь угодно малым по площади многоугольником с конечнымчислом сторон).

Следовательно, это множество измеримо также и по Лебегу и покритерию интегрируемости интеграл Римана левой части последнего равенствасуществует. Следовательно, следует ожидать, что на кратных интегралах по области с«хорошей» границей, критерий интегрируемости по Риману должен выполняться. Еслиже характеристическая функция множества есть функция Дирихле (иначе говоря, Gесть множество точек внутри ◊ , одна из координат которых рациональна), то (скажем,при f ( x, y ) = 1 ) любая точка ◊ есть точка разрыва подинтегральной функцииf ( x, y ) ⋅ μ ( x, y ) . Критерий интегрирования здесь не проходит, об интеграле Риманаздесь не может быть и речи. Речь может быть только об интегрировании по Лебегу, кчему мы сейчас и переходим.§ 7.Интеграл Римана в форме Лебега и интеграл Лебега.bРассматривая интеграл Римана∫ f (x )dx как площадь криволинейной трапеции,aможно, очевидно делать разбиение не только по диапазону переменной x , но и подиапазону переменной y .

В этом последнем случае получаем интеграл Римана в формеЛебега. Делаем разбиение по диапазону [c, d ] координаты y , где (c ≤ y ≤ d ) , где cможет иметь нулевое значение, а d - максимальное значение подинтегральнойфункции на области интегрирования [a, b] . Пустьc = y0 < y1 < … < y k < y k +1 < … < y m−1 < y m = d , где y1 , y 2 ,… y m−1 - точки разбиения [c, d ] .Обозначим Gk (k = 0,1,… m − 1) множества координат таких, что x ∈ Gk тогда и толькотогда, когда y k ≤ f ( x ) ≤ y k +1 . ПустьμG ( x ) - характеристическая функция множестваk⎧0 если x ∉ GGk (см.

предыдущий раздел), то есть μ G ( x ) = ⎨. Тогда интегральные⎩1 если x ∈ Gk = m −1суммы по Лебегу определяются как суммы вида:∑(yk =0k +1− y k ) ⋅ m(Gk ) , гдеbm(Gk ) = ∫ μGk ( x ) ⋅ dxaесть мера Римана множества Gk . Интегралы отхарактеристических функций, естественно, понимаются в смысле Римана. Тогда пределуказанных интегральных сумм Лебега называют интегралом Римана в форме Лебега.Если подинтегральная функция f ( x ) непрерывна, то естественно ожидать совпадениеобычного интеграла Римана с интегралом Римана в форме Лебега.

Речь, по существу,⎛ y= f ( x ) ⎞идёт об изменении порядка интегрирования в повторном интеграле ∫ ⎜⎜ ∫ dy ⎟⎟dx .x = a ⎝ y =0⎠x =bЗаметим, что при вычислении интегралов Римана по методу Монте – Карлоболее удобно их вычислять в форме Лебега, а не в форме Римана. Суть метода состоитв том, что датчик случайных чисел выдаёт случайные пары чисел (xi , yi ), i = 1,2,… N ,то есть точки, равномерно распределённые на плоскости (пример: капли дождя нанебольшом участке плоскости).

Для каждого yi ищется k такое, что y k ≤ yi < y k +1 . Вэтом случае направляем соответствующую точку ( xi , yi ) в Gk . Пусть nk есть4546nk⋅ (b − a ) , для достижения точности εN(b − a )(d − c ) . Удобство формы Лебега состоит вследует бросить количество точек N ≈2количество таких точек в Gk . Тогда m(Gk ) ≈εтом, что при (d − c ) < (b − a ) в интегральной сумме при заданной точности надо братьменьшее число слагаемых.Рассмотрим теперь традиционный способ вычисления меры Римана плоскойфигуры, измеримой по Риману. Покроем границу фигуры многоугольником сконечным числом сторон площадью, меньшей любого сколь угодно малого числа ε .При этом предполагаем, что любая точка границы есть центр круга сколь угодномалого радиуса, целиком лежащего внутри нашего многоугольника.

Накладываем нанашу фигуру прямоугольную сетку, нарисованную на прозрачной основе. Суммируемплощади прямоугольников или квадратов сетки (элементов сетки), лежащих внутрифигуры, и не пересекающих границу фигуры. Получаем внутреннюю меру Риманафигуры. Добавляем к внутренней мере суммарную площадь элементов сетки, имеющейс границей фигуры непустое пересечение (меруграницы фигуры).