Колебания в механических и электрических системах

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТРАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЧЕСКИХИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХУЧЕБНОЕ ПОСОБИЕМОСКВА 2007ББК 22.336К 60УДК 537.86Рецензенты: А.В. Березин, А.С. Логгинов.К 60 Колачева Н.М., Израилович М.Я., Соломатина Л.В.,Колебания в механических и электрических системах / Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)».- М., 2007.- 72 С.ISBNПособие содержит основные положения теории колебаний.Теоретические сведения дополнены полезными для усвоения материала иллюстрациями и примерами, в которых анализируютсяколебательные процессы в различных физических системах.Теоретический материал, изложенный в пособии, изучается студентами вечернего и заочного отделений, для которых оно предназначено, на разных курсах университета: «Механические колебания» изучаются на первом курсе, а с «Электрическими колебаниями» студенты знакомятся на втором курсе.

Данное пособиеобъединяет в себе теорию как механических, так и электромагнитных колебаний.Пособие предназначено для студентов всех специальностейвечернего и заочного отделений технических вузов.Табл.: нет. Ил.: 29. Библиогр.: 7 назв.Печатается по решению редакционно-издательского советауниверситета.© Н.М.

Колачева, М.Я. ИзраиловичЛ.В. Соломатина, 20073ВВЕДЕНИЕСреди процессов, как свободно протекающих в природе, так ииспользуемых в технике, колебания занимают во многих отношенияхвыдающееся, часто первенствующее место. Не случайно, на символике МИРЭА изображены распространяющиеся от антенны радиоволны, что отражает специфику профиля подготовки университетомспециалистов высокой квалификации в области проектирования иэксплуатации радиотехнических систем, электронно-акустическихустройств и во многих других областях современных средств связи икоммуникации.

А радиоволны, как и волны вообще, представляютсобой колебательный процесс, распространяющийся в пространстве.Из вышесказанного следует особо важная роль колебательных процессов в физике – науке о природе, изучающей наиболее общиесвойства материального мира и являющейся фундаментом современной техники, включая её авангардные направления, такие как: радиоэлектроника, квантовая электроника, космическая техника и т.д.Предлагаемое пособие предназначено для студентов всех специальностей, обучающихся на вечернем и заочном отделенияхМИРЭА, поскольку студенты этих отделений по многим объективным причинам (уменьшенный объем часов аудиторных занятий посравнению с дневным отделением, дефицит личного времени и т.д.)вынуждены овладевать знаниями в большей степени самостоятельно,нежели под непосредственным руководством преподавателей.Необходимость в издании данного учебного пособия вызванатем, что колебательные процессы в соответствии с учебной программой по физике излагаются в различных частях курса – как в I-ой части «Механика и молекулярная физика», так и во II –ой части «Электричество и магнетизм».

При этом к моменту изучения колебаний вэлектрическом контуре студентам приходится тратить дополнительные усилия для возобновления ранее полученных знаний. Данное пособие связывает в единую систему общие закономерности, присущиекак механическим, так и электрическим колебательным системам.Оно содержит также конкретные иллюстративные примеры, полезные для формирования представлений о физической сути рассматриваемых явлений.41.

КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ, ЕГОХАРАКТЕРИСТИКИ И УРАВНЕНИЕКолебаниями называют процессы, точно или приблизительно повторяющиеся во времени. Например, это могут быть:- изменение координаты шарика, подвешенного на нити и отклоненного от вертикали;- изменение силы тока в электрической цепи;- колебания температуры воздуха в течение дня: её повышение всередине дня и понижение ночью;- пульсация крови в сосудах человека, вызванная работой сердца.Физическое тело или совокупность тел, которые при выведении их из состояния устойчивого равновесия совершают колебания, называются колебательной системой. При колебаниях значения физических величин, характеризующих колебательнуюсистему, повторяются через определенные промежутки времени.Наименьший промежуток времени, через который колебательнаясистема возвращается в первоначальное состояние, называетсяпериодом колебаний Т. За период Т система совершает однополное колебание.Колебания характеризуются также частотой ν и циклической частотой ω.

Частотой колебаний ν называется величинаобратная периоду и численно равная числу полных колебаний,совершаемых системой в единицу времени1ν=TЕдиница частоты в СИ – герц (Гц).Циклической или круговой частотой ω называется величина равная произведению 2π и частоты колебанийилиω = 2πν2πTЦиклическая частота измеряется в рад/с.Повторяющиеся изменения величины x при колебанияхω=5удовлетворяют условию:x(t + nT ) = x(t ), где n=0,1,2…То есть она является периодической функцией времени.

Если изменения во времени колеблющейся величины происходят по закону синуса или косинуса, то такие колебания называются гармоническими. Они описываются уравнением типа:x (t ) = A cos (ω t + ϕ )(1.1)Гармонические колебания это наиболее простой тип колебательного движения. Однако важность изучения их вызвана тем,что, во-первых, в природе существует много колебательных процессов, которые с большой точностью можно считать гармоническими и, во-вторых, - различные периодические процессы можнорассматривать как наложение нескольких гармонических колебаний.В зависимости от физической природы повторяющегосяпроцесса рассматривают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д.

Несмотря на различный физический характер, все колебательные процессы обнаруживаютодни и те же физические закономерности, на которых остановимся подробнее.В формуле (1.1) величина x называется смещением. Смещение – это координата колеблющейся точки, которую отсчитывают от положения равновесия. Стоящая в скобках величинаω t + ϕназывается фазой колебаний.Фаза колебаний – это аргумент, функцией которого является состояние колебательной системы в каждый момент времени.Фаза измеряется в угловых единицах – радианах (долях π). Значение фазы в момент t = 0 называется начальной фазой колебаний. Выбор начального момента совершенно произволен. Можновыбрать этот момент так, что начальная фаза будет равна нулю.Тогда уравнение гармонического колебания (1.1) примет вид:x (t ) = A cos ω t(1.2)6Рис 1.1На рис.

1.1 приведен график зависимости x от t, соответствующий уравнению (1.1)На графике отмечена точка О` -другое начало отсчета времени, вэтом случае зависимость x(t ) соответствует уравнению (1.2). Поскольку функция косинус изменяется в пределах от -1 до +1, тосмещение х может принимать значения − A ≤ x ≤ A . Максимальная величина смещения называется амплитудой xmax = A .Определим скорость и ускорение колеблющейся точки, считая, что её смещение меняется со временем по закону (1.2). Дифференцируя это выражение по времени, найдем скорость колеблющейся точки.dxπ(1.3)V == − A ω sin ω t = A ω cos( ω t + )dt2Дифференцируя (1.3) ещё раз по t, найдем ускорение точки.dVd 2x22==−Aωcosωt=Aωcos( ω t + π )a=2dtdt(1.4)В последних равенствах амплитудное значение скоростиV0 = Aω, а амплитудное значение ускорения a0 = Aω2 .

Как видно7из (1.3) и (1.4), скорость и ускорение колеблющейся точки меняются со временем также по гармоническому закону с той же самой угловой частотой ω и периодом Т. Колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2. Колебания ускорения-колебания смещения по фазе на π (рис. 1.2).Рис. 1.28Таким образом, когда смещение х максимально, ускорениеточки тоже максимально, но имеет отрицательное значение.

Следовательно, сдвиг по фазе, равный π, означает, что колебания величин х и а происходят в противофазе.Перепишем уравнение (1.4) в виде:d 2x= −ω 2 Α cos ω t = −ω 2 x2dtС точки зрения математики выражениеd 2x= −ω 2 x2dtили&x& = −ω 2 xпредставляет собой дифференциальное уравнение второго порядка.Его часто записывают в виде:&x& + ω 2 x = 0(1.5)и называют дифференциальным уравнением гармоническихколебаний.Решение этого уравнения имеет вид (1.2)Следует иметь ввиду, что приведенные в этом параграфе сведения по кинематике колебаний полностью применимы к описаниюколебаний любой природы.2.

МЕТОД ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ ИКОМПЛЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯГармонические колебания представляют с помощью векторных диаграмм.Из произвольной точки О на осиr х под углом φ, равным начальной фазе, откладывается вектор A , равный по модулю амплитудеколебаний (рис. 2.1).rВ произвольный момент времени t вектор A повернется отначального положения (t=0) на угол ω t и составит с осью хугол ω t + ϕ равный фазе колебаний в момент времени t.9rТаким образом, если вращать вектор A против часовой стрелкивокруг выбранного начала координат (точка 0) с постоянной угловой скоростью,равной циклической частоте ω, то проекцияrвектора A будет перемещаться по оси х и принимать значения от–А до +А, а в любой момент времени определяться по законуx (t ) = A cos (ω t + ϕ ) ,то есть будет представлять собой изображаемое на векторнойдиаграмме гармоническое колебание.Рис 2.1Представление гармонических колебаний при помощи векторных диаграмм, как увидим в дальнейшем, оказывается оченьполезным при сложении колебаний, имеющих одинаковые частоты.В физике часто применяется еще один метод, в котором колеблющуюся величину представляют комплексным числом.Комплексное число – это число видаz = x + iy,где х и y – вещественные числа;i = − 1 - мнимая единица.Число х называется вещественной частью комплексного числа z.Символически это записывается в видеx = Re zЧисло y называется мнимой частью.