Матем анализ 3 семестр вероятность (Лекции 1), страница 6

Свойства ковариации.

По свойству 1

1. Если X, Y независимы, то , (обратное неверно).

Если случайные величины независимы, то , тогда по свойству 1 .

Случайные величины называются некоррелированными, если , из некоррелированности не следует независимость, из независимости следует некоррелированность.

По свойству 1

= = =

Рассмотрим случайную величину .

.

Заметим, что отсюда следует свойство дисперсии (при a =1)

.

Так как , то . Это возможно только, если дискриминант этого квадратного трехчлена относительно a меньше или равен нулю. Выпишем это требование к дискриминанту:

. Отсюда следует свойство 5.

1. Для того, чтобы случайные величины были линейно зависимы (Y = aX +b), необходимо и достаточно, чтобы

Необходимость. Пусть Y=aX+b. Тогда

=

Достаточность. Пусть . Тогда (доказательство свойства 5) следовательно, z - детерминированная величина, т.е. , поэтому величины X, Y – линейно зависимы.

Коэффициентом корреляции называется .

Свойства коэффициента корреляции.

2. Если X, Y – независимы, то

5. тогда и только тогда, когда X,Y линейно зависимы.

Двумерное равномерное распределение

Случайный вектор (X, Y) равномерно распределен в области D (площадь D равна S), если его плотность распределения задана так: p(x,y) = 0, если x  D, p(x,y) = 1/S, если xD.

Пример. Случайный вектор (X,Y) равномерно распределен в прямоугольнике 0xa, 0xb.

, аналогично .

, аналогично .

, аналогично .

Следовательно, случайные величины X, Y не коррелированны.

Двумерное нормальное распределение

Двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально со средними значениями m_, m₂, дисперсиями и коэффициентом корреляции , если ее плотность задана:

Задача линейного прогноза.

Заданы характеристики случайного вектора . Вводится случайная величина – оценка - линейный прогноз. Вычислить , чтобы линейный прогноз был наилучшим среднеквадратическим (в смысле минимума погрешности оценки: ).

.

За счет выбора можно лишь минимизировать последнее слагаемое, сделав его нулем: .Теперь остается обеспечить минимум квадратного трехчлена от (найти вершину параболы): . Подставляя это значение, найдем

. Вычислим погрешность оценки при этих значениях параметров

.

При линейной зависимости оценка точна, погрешность равна нулю.

Чем меньше коэффициент корреляции, тем грубее оценка. В крайнем случае, при отсутствии корреляции ( ) .

Лекция 7.

Законы больших чисел и центральная предельная теорема.

Неравенства Чебышева.

Первое неравенство Чебышева. Пусть случайная величина X0 и существует ее математическое ожидание M(X). Тогда для любого >0 выполнено первое неравенство Чебышева

.

Доказательство. В дискретном случае .

В непрерывном случае

.

Второе неравенство Чебышева. Пусть существуют математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда для любого выполнено второе неравенство Чебышева

.

Доказательство проведем для непрерывного случая, для дискретного случая оно доказывается аналогично.

Последовательность случайных величин сходится по вероятности к числу , если

Законы больших чисел.

Законы больших чисел могут быть записаны в разных формах, но суть их состоит в том, что при большом числе случайных явлений их средний результат практически перестает быть случайным.

Теорема Чебышева

(Закон больших чисел в форме Чебышева)

При достаточно большом количестве независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

.

Доказательство. Рассмотрим , .

Тогда по второму неравенству Чебышева .

Если выбрать , ( - целая часть), то при n>N будет , следовательно, при n>N будет выполнено неравенство , поэтому при тех же значениях n будет .

Следовательно, . Теорема Чебышева доказана.

Обобщенная теорема Чебышева.

Пусть X₁, X_n – независимые случайные величины с математическими ожиданиями m₁,…m_n и дисперсиями D₁…, D_n. Пусть дисперсии ограничены в совокупности (D_k < L, k-1,2…n). Тогда среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство. Рассмотрим, как в предыдущей теореме . ,

(случайные величины независимы, следовательно, и не коррелированны)

= . Отсюда по второму неравенству Чебышева следует утверждение теоремы (доказательство сходимости по вероятности проводится как в предыдущей теореме).

Теорема Маркова.

Пусть X₁, X_n – зависимые случайные величины с математическими ожиданиями m₁,…m_n и дисперсиями D₁…, D_n. Пусть . Тогда среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Доказательство. Доказательство сходимости по вероятности проводится как в теореме Чебышева.

Теорема Бернулли.

При неограниченном увеличении числа опытов – независимых испытаний частота события сходится по вероятности к вероятности события.

Доказательство проводится аналогично теореме Чебышева.

Предельные теоремы.

Центральная предельная теорема – это любая теорема, ставящая условия, при которых функция распределения суммы индивидуально малых случайных величин с ростом числа слагаемых сходится к нормальной функции распределения.

Центральная предельная теорема подтверждает следующее: если исход случайного эксперимента определяется большим числом случайных факторов, влияние каждого из которых пренебрежимо мало, то такой эксперимент хорошо аппроксимируется нормальным распределением с параметрами , подобранными соответствующим образом.

Теорема Ляпунова.

Пусть X_k – независимые случайные величины, имеющие математические ожидания M(X_k) = m_k и дисперсии D(X_k) = D_k. Обозначим . Если можно подобрать такое , что , то при равномерно по x.

Теорема Леви – Линдеберга.

Пусть X_k – независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие математические ожидания M(X_k) = m и дисперсии D(X_k) = . Обозначим . Тогда при равномерно по x.

Замечание. В теореме Леви – Линдеберга (ее чаще всего и называют центральной предельной теоремой) , условие выполнено, оно превращается в (проверьте сами) из-за требования «одинаковости распределений», т.е. равенства вкладов случайных величин в случайную величину . Так как всегда можно выбрать , то условие выполнено.

Если рассматривать схему Бернулли, то из теоремы Леви – Линдеберга следует интегральная теорема Муавра – Лапласа.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p может появиться событие А. Обозначим - число появлений события в k –ом испытании ( ). Обозначим - общее число появлений события в n испытаниях ( ). Обозначим . Тогда при равномерно по x.

Отсюда следует практическое правило вычисления

, где

. Так как то заменим на , на , Получим формулу для вероятности нахождения числа успехов в заданном интервале:

= - .

Заменим на , на .

Тогда .

Но .

Поэтому справедлива формула для вычисления отклонения частоты от вероятности

,

Если интервал симметричный, т.е. , то по нечетности функции Лапласа получим

.

Пример. Вероятность появления события p = 0,8. Сделано n = 100 независимых испытаний. Найти вероятность того, что событие произойдет не менее 75 и не более 90 раз.

Пример. Бюффон бросил монету 4040 раз и получил герб 2048 раз. Найти вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности.

Лекция 8

Элементы математической статистики.

Пусть исследуется случайная величина с заранее неизвестной функцией распределения F(x).

Множество всех значений этой случайной величины называется генеральной совокупностью (Г С).

Единичное значение случайной величины называется выборкой объема 1.

Совокупность n значений случайной величины образуют выборку объема n.

Выборка имеет то же распределение, что и генеральная совокупность.

Выборочные значения называются вариантами.

Изучая выборку, делают заключение о вероятностных свойствах Г С.

Основные задачи статистики.

1. Оценка неизвестных параметров распределения:

• точечные оценки параметров распределения, например оценка математического ожидания, дисперсии, моментов распределения,

• интервальные оценки – доверительные интервалы – интервалы, в которых находятся параметры распределения с доверительной вероятностью.

1. Проверка статистических гипотез – предположений о законе распределения ГС

или параметрах распределения.

1. Установление формы и степени связи между несколькими случайными переменными.

Эмпирические законы распределения.

Вариационным рядом называются варианты, расположенные в порядке их возрастания (не убывания, если варианты повторяются).

Будем обозначать x_k – различные варианты вариационного ряда (k = 1, 2, …), n_k – их частоты (число повторений варианты), - относительные частоты.