Матем анализ 3 семестр вероятность (Лекции 1), страница 4

Для непрерывных случайных величин по условию нормировки для плотности вероятностей.

1. M(CX) = С M(X). В самом деле, константу можно вынести из суммы в дискретном случае и из под интеграла в непрерывном случае.

2. M(X+Y) = M(X) + M(Y). (без доказательства).

3. M(|X|) = |M(X)| (без доказательства).

Математическое ожидание функции случайной величины вычисляют по формулам

для дискретной случайной величины,

для непрерывной случайной величины.

Центрированной случайной величиной называется .

Центральный момент s-го порядка

Для дискретной случайной величины .

Для непрерывной случайной величины .

Дисперсией называется второй центральный момент случайной величины.

По свойствам математического ожидания получим . Эта формула часто применяется. Дисперсия – это характеристика рассеяния, она характеризует концентрацию кривой распределения (графика плотности распределения) около математического ожидания. Если на числовой оси расположить точки x_i с массами p_i, то дисперсия – это момент инерции системы материальных точек относительно центра тяжести m_x.

Для дискретных случайных величин .

Для непрерывных случайных величин .

Свойства дисперсии.

1. (под интегралом стоит квадрат функции).

2. ( .

3. (выведите сами, вынося из под суммы или из под интеграла).

Средним квадратическим отклонением называется .

Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии , эксцесс – мера островершинности распределения , среднее арифметическое отклонение , мода – наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).

Пример. Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х₁ = 0 и х₂ = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х

Функция распределения равна ,

Математическое ожидание равно M(X) = m_x = 0 q + 1 p = p.

Если составить ряд распределения для случайной величины X², то мы получим ту же таблицу (так как 0² = 0 и 1² =1). Поэтому M(X²) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X²) – (m_x)² = p – p² = p(1-p) = pq.

Пример. Пусть плотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка. Такое распределение называется равномерным на отрезке [a,b]. Из условия нормировки для плотности вероятности следует

. Отсюда следует, что - плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна

. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].

,

=

=

Лекция 4

Повторные испытания.

Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д.

Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).

Рассмотрим ситуацию А.

Пусть число исходов равно двум (N = 2). Такая схема испытаний называется схемой Бернулли.

Два исхода соответствуют в приведенном примере попаданию (успеху) или не попаданию в мишень, причем в каждом выстреле вероятность попадания равна p, а вероятность промаха равна q = 1 – p. Обозначим вероятность попасть m раз из n выстрелов P(m,n). , так как в каждом опыте стрелок промахивается. Вероятность попасть один раз равна , так как стрелок может попасть при первом, втором, … n ом выстреле. ,так как два попадания (порядок не важен) должны быть размещены (выборки без возвращения) среди n выстрелов. Аналогично

- формула Бернулли.

Само распределение называют биномиальным.

В самом деле, это – коэффициенты при в разложении по степеням

производящей функции .

Из формулы Бернулли вытекают два следствия:

1. Вероятность появления успеха в n испытаниях не более m₁ раз и не менее m₂ раз равна ,

2. Вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях равна .

Если Х имеет биномиальное распределение, то М_х = np, D_x = npq.

Пусть в ситуации А число исходов равно N, а их вероятности равны p₁…p_N . Вычислим вероятность того, что после n испытаний i – тый исход наступит раз

.

Заметим, что .

так как .

Поэтому . Это – полиномиальное распределение.

Заметим, что - это коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции .

Рассмотрим ситуацию В. Здесь вероятность того или иного исхода зависит от номера испытания, так как условия испытаний различны. - это коэффициенты при в разложении по степеням производящей функции при N исходах.

При двух исходах - это коэффициент при в разложении производящей функции

, где .

Примеры.

1. Какова вероятность с пяти раз вытащить из колоды в 36 карт а)три туза, б)не менее одного туза?

а) , б) .

1. Мишень для опытного стрелка содержит три круговых кольца: 10, 9, пусто. Вероятность попасть при одном выстреле в десятку – 0,2, в девятку – 0,7, в «пусто» – 0,1. Какова вероятность в серии из 10 выстрелов попасть в «пусто» два раза, в девятку 4 раза, в десятку 4 раза?

1. Производится три выстрела в мишень. При первом выстреле вероятность попасть в мишень равна 0,5, не попасть 0.5. При втором выстреле – соответственно 0,4 и 0.6, при третьем выстреле 0,3 и 0,7. Какова вероятность два раза попасть в мишень?

.

Вероятность не попасть ни разу равна 0,21, один раз – 0,44, два раза – 0,29, три раза – 0,06.

Распределения, связанные с повторными испытаниями.

Геометрическое распределение.

Рассмотрим схему Бернулли. Обозначим Х – число испытаний до первого успеха, если вероятность успеха в одном испытании р. Если первое испытание успешно, то Х = 0. Следовательно, . Если Х = 1, т.е. первое испытание неудачно, а второе успешно, то по теореме умножения . Аналогично, если Х = n , то все испытания до n-ого неудачны и . Составим ряд распределения случайной величины Х

Случайная величина с таким рядом распределения имеет геометрическое распределение.

Проверим условие нормировки .

Гипергеометрическое распределение.

Рассмотрим схему испытаний, обобщающую задачу о выборке бракованных деталей и похожую на ситуацию А с N исходами. Пусть имеется n элементов, разделенных на группы: n₁ элементов первого типа, n₂ – второго типа и т.д., n_N – N-ого типа. Какова вероятность, выбрав m элементов, получить среди них m₁ элементов из первой группы, m₂ – из второй и т.д. m_N - из N-ой?

Ее легко вычислить по классическому определению вероятностей с учетом теоремы умножения:

.

В частности, при N=2 (m₂=m-m₁, n₂=n-n₁) (задача о бракованных деталях)

Формула Пуассона и распределение Пуассона.

Пусть число испытаний n велико, вероятность p мала и np мало. Тогда вероятность наступления m успехов в n испытаниях можно приближенно определить по формуле Пуассона:

.

Заметим, что по формуле Пуассона можно считать вероятность неуспеха, если q мало, приняв

Случайная величина с рядом распределения m, имеет распределение Пуассона. Чем больше n, тем формула Пуассона точнее. Для грубых расчетов формулу применяют при n =10, 0 – 2, при n = 100 0 – 3. При инженерных расчетах формулу применяют при n = 20, 0 – 3, n =100, 0 – 7. При точных расчетах формулу применяют при n = 100, 0 – 7, n =1000, 0 – 15.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей распределение Пуассона.

,

Лекция 5

Экспоненциальное и нормальное распределения.

Экспоненциальное распределение.