Матем анализ 3 семестр вероятность (Лекции 1), страница 5

Непрерывная случайная величина имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность распределения задается формулой

, - параметр экспоненциального распределения.

Для случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, , .

Если времена между последовательными наступлениями некоторого события – независимые, экспоненциально распределенные случайные величины с параметром , то число наступлений этого события за время t имеет пуассоновское распределение с параметром . Геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального распределения.

Нормальное распределение (распределение Гаусса).

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение (распределена нормально или по Гауссу), если ее плотность имеет вид

.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины.

.

Вычислите аналогично .

Обозначим плотность стандартного нормального распределения (при ) ,

обозначим функцию распределения стандартного нормального распределения

,

где - интеграл Лапласа. Значения можно найти в стандартных таблицах.

Вычислим вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок [a,b].

. При вычислении вероятности полезно учитывать нечетность функции :

.

Локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа.

Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех m справедлива локальная формула Муавра – Лапласа

.

Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех m справедлива интегральная формула Муавра – Лапласа

.

Это означает, что при большом числе испытаний распределение числа успехов становится нормальным.

Иногда приходится оценивать вероятность отклонения частоты события от вероятности. Покажем, как можно использовать для этого интегральную формулу Муавра – Лапласа.

Заметим, что .

Запишем интегральную формулу Муавра – Лапласа

в виде

.

Поэтому

.

Если интервал симметричен, , то по нечетности

.

Примеры.

1. (3.42) Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность вызова за минуту 0,0005. Какова вероятность, что за минуту поступит не менее двух вызовов? Здесь n = 1000, p = 0,0005, = np =0.5. (по таблице ).

2. (3.43) Известно, что 20% автомобилей нарушают скоростной режим. Какова вероятность того, что из 1000 автомобилей 210 нарушат правила? Здесь надо пользоваться локальной формулой Муавра-Лапласа при n=1000, p=0,2, m=300.

3) (3.44) Монету подбрасывают 10000 раз. Найти вероятность того, что частота выпадения герба будет отличаться от 0,5 не более, чем на 2%. Здесь надо пользоваться интегральной формулой Муавра-Лапласа при n=10000, р=1/2, m₁=400, m₂=600. Тогда

Другие распределения, часто используемые в инженерных расчетах.

Распределение Вейбулла. Это распределение с плотностью

и функцией распределения

.

Если , то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное, а при - в распределение Релея.

Достаточно близкую к распределению Вейбулла плотность имеет гамма – распределение:

.

Здесь - гамма-функция.

Если - целое число, то гамма-распределение превращается в распределение Эрланга порядка k. Если k – нечетное число, , то гамма-распределение превращается в распределение (хи-квадрат) распределение с k степенями свободы. При (так как ) гамма-распределение переходит в экспоненциальное. Для всех рассмотренных распределений составлены таблицы, по которым можно определять значения функций распределения.

Лекция 6.

Двумерные случайные величины

Совокупность двух случайных величин (X,Y), заданных на вероятностном пространстве , называют двумерной случайной величиной или двумерным случайным вектором, X,Y называют координатами случайного вектора.

Это определение можно обобщить и на совокупность n случайных величин.

Функцией распределения случайного вектора (X,Y) или совместной функцией распределения случайных величин X,Y называется

.

Свойства функции распределения.

1. (Это – свойство вероятности, а - вероятность).

2. - неубывающая функция по каждому из своих аргументов. (В самом деле, если , то событие включено в событие , следовательно, его вероятность меньше)

3. (события - невозможные, поэтому их вероятность равна нулю).

4. (событие достоверно).

5. = - - +

Г еометрически, - площадь

полосы левее и ниже точки ,

Вычитая из нее и ,

мы два раза вычтем площадь

полосы левее и ниже точки .

Для того, чтобы получить

площадь прямоугольника –

левую часть равенства, надо

вычитать эту площадь один раз,

п оэтому надо добавить ее, т.е.

в правую часть равенства.

6. непрерывна слева по каждому из аргументов

7. . Так как событие достоверно, то пересечение событий и есть событие . Поэтому первое равенство справедливо. Аналогично доказывается справедливость второго равенства.

Двумерная случайная величина (X,Y) дискретна, если X, Y - дискретные случайные величины. Для нее составляется таблица распределения – аналог ряда распределения для одномерной случайной величины.

Здесь p_nm = , p_Ym = = p_1m+ p_2m +…+p_nm,

p_Xn = p_n1 + p_n2 + … +p_nm.

График функции распределения для двумерной случайной величины напоминает «лестницу», уровень ступеней которой изменяется скачком на p_ij при переходе через точку (x_{i ,} y_j) в положительном направлении по оси OX и по оси OY. Если зафиксировать x = x_i, то при увеличении y эти скачки будут на p_i1, p_i2, … p_im (от нуля до p_Xi ). Если зафиксировать y = y_j, то при увеличении x скачки будут на p_1j, p_2j, … p_nj (от нуля до p_Yj). Нижние ступени (при x x₁ и y y₁) находятся на нулевом уровне, самая верхняя ступень (при x>x_n, y>y_m) находится на уровне 1. Если зафиксировать x > x_n то при увеличении y эти скачки будут на p_Y1, p_Y2, … p_Ym (от нуля до 1). Если зафиксировать y > y_m, то при увеличении x скачки будут на p_X1, p_X2, … p_Xn (от нуля до 1).

Пример. Проводятся два выстрела в мишень. При каждом выстреле вероятность попадания p, вероятность промаха q = 1- p. Случайная величина X_i – число попаданий при i – том выстреле. Найдем закон распределения случайного вектора (X₁, X₂)= .

Построим функцию распределения

. В самом деле, при – событие{X<x,Y<y} - невозможное, при (x>1, y>1) событие {X<x,Y<y} – достоверное.

При событие {X<x,Y<y} представляет собой событие {X=0,Y=0}. Поэтому при F(x) = P{X=0,Y=0}= q².

При событие {X<x,Y<y} представляет собой объединение несовместных событий {X=0,Y=0} и {X=0,Y=1}. Поэтому при F(x) =. P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1}= q² + pq = q(p+q)=q.Аналогично, в случае F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=0}= q² + pq = q(p+q)=q

Двумерная случайная величина непрерывна, если X, Y, непрерывные случайные величины и ее функцию распределения можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла от плотности распределения.

.

Двойной интеграл можно записать в виде повторных (внешний по x, внутренний по y и наоборот). Если предполагать непрерывность плотности по x и y, то, дифференцируя по переменным верхним пределам, получим

.

Свойства плотности.

1. (функция распределения – неубывающая функция).

2. (по свойству 5 функции распределения) Справедливо обобщение .

4. (по свойству 4 функции распределения)

6. , (Свойство 7 функции распределения)

Независимость случайных величин.

Случайные величины X, Y называются независимыми, если , где - функции распределения случайных величин X, Y.

Если случайные величины непрерывны, то, дифференцируя это соотношение по x, y, получим .

Соотношение поэтому можно считать определением независимости непрерывных случайных величин.

Для дискретных случайных величин определение независимости можно записать в виде .

Математическое ожидание.

Математическим ожиданием функции двумерной случайной величины называется

в дискретном случае,

в непрерывном случае.

Свойства математического ожидания

1. ( по условию нормировки)

=

1. для независимых случайных величин.

= .

Ковариация (корреляционный момент).

Ковариацией случайных величин называют .