ответы на билеты, страница 7

   Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущих выводов, так как всякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую из большого числа сосредоточенных сил.

   Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно, что его можно повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.

   Для случая изгиба нами была получена формула, связывающая величину потенциальной энергии U с изгибающими моментами:

Изгибающий момент является линейной функцией нагрузок , …, , ,..., q, приложенных к балке:

в этом легко убедиться, просмотрев формулы для вычисления изгибающих моментов при построении эпюр. Следовательно, потенциальная энергия является функцией второй степени от независимых внешних нагрузок.

Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, например . Получаем:

   Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определенного интеграла по параметру, так как М(х)— функция и и х, интегрирование производится по х, а дифференцирование по параметру . Как известно, если пределы интеграла постоянны, то следует просто дифференцировать подинтегральную функцию.

Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силы равен:

а угол поворота сечения с парой

Напомним, что знак предела l условно показывает, что интеграл должен охватить всю балку.

2) Рациональные формы поперечных сечений при кручении и изгибе

В этом расчете по заданной нагрузке (Nz) определяются размеры поперечного сечения стержня (F) из заданного материала ( дано). Минимальное значение F получим, если в условии прочности (1) принять знак равенства:

Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции (F и даны) при выполнении условия прочности.

Билет 9

1) Кручение тонкостенных замкнутых профилей (вывод формул для определения углов закручивания

В машиностроении, авиастроении и вообще в технике широко применяются тонкостенные стержни с замкнутыми (рис. 4.7, а) и открытыми профилями (рис. 4.7, б) поперечных сечений. Поэтому расчеты на кручение таких тонкостенных стержней имеет большое практическое значение.

Рис. 4.7

Характерной геометрической особенностью тонкостенных стер­жней является то, что их толщина существенно (на порядок и более) меньше других геометрических раз­меров (длиной сре­динной линии конту­ра поперечного сече­ния и длины стерж­ня).

Характер распре­деления напряжений по толщине тонкостенного стержня открытого профиля близок к равномерному (рис. 4.7, б), а замкнутого профиля меняется по ли­нейному закону, как это показано на рис. 4.7, а. Откуда следует, что напряжения в поперечных сечениях открытого профиля прак­тически не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом.

Обращаясь к формулам (4.14), (4.16) и при предельном пере­ходе , получим:

;      , (4.17)

где   толщина профиля; s  длина контура профиля; l  длина стержня.

В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль является составным (рис. 4.8) и не может быть развернут в вытянутый пря­моугольник, воспользовавшись почленной аналогией, легко опре­делить выражения напряжений на iом произвольном участке:

, (4.18)

где MK(i)  доля крутящего момента, соответствующего iму участку:

,

где   угловое перемещение, единое для всех участков:

. (4.19)

Изложенный подход к определению напряжений является при­ближенным, так как он не позволяет определить напряжения в зонах сопряжения элементов поперечного сечения профиля, кото­рые являются зонами концентрации напряжений.

Рис. 4.8 Рис. 4.9

брус, имеющий поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенного профиля (рис. 4.9).

Выделим на контуре элементарный участок длиной ds и выразим крутящий момент че­рез напряжения , выполняя операцию контурного интегрирования получим:

. (4.20)

Из условия равновесия сил по оси z выделенного элемента дли­ной dz (4.9) легко установить, что по контуру сечения произведение  является постоянной величиной. С учетом данного обстоятель­ства, выражение (4.20) примет вид:

, (4.21)

где  представляет собой удвоенной площадь, ограни­ченную срединной линией контура сечения.

Из (4.21) наибольшее напряжение определяется по формуле:

. (4.22)

Для вывода выражения для угла закручивания воспользуемся энергетическими соображениями. Энергия, накопленная в элемен­тарном объеме с размерами , dz, ds за счет деформаций чистого сдвига, равна:

.

С учетом (4.21), последнее выражение можно представить в виде:

.

С другой стороны, работу внешних сил можно представить в виде:

. (4.24)

Приравнивая оба выражения из (4.22) и (4.23), получим:

, (4.25)

Если  является постоянной по контуру, будем иметь:

, (4.26)

где s  длина замкнутого контура.

Угол закручивания

, GJp — жесткость сечения при кручении.

— относительный угол закручивания.

2) Потенциальная энегрия деформации при изгибе

Билет 10

1)Изменение моментов инерции при повороте осей.

Р ассмотрим изменение моментов инерции при повороте осей координат. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей x и y (не обязательно центральных). Требуется определить J_u, J_v, J_uv- моменты инерции относительно осей u,v, повернутых на угол а. Так проекция ОАВС равна проекции замыкающей:

u=y sin а + x cos a (1)

v=y cos a – x sin a (2)

Исключим u,v в выражениях моментов инерции:

J_u = ∫v²dF; J_v= ∫u²dF; J_uv= ∫uvdF. Подставив в выражения (1) и (2) получим:

J_u=J_xcos²a – J_xysin 2a + J_y sin² a

J_v=J_xsin²a + J_xysin 2a + J_y cos² a (3)

J_uv=J_xycos2a + sin 2a(J_x-J_y)/2

J_u +J_v=J_x +J_y=∫_F(y²+x²)dF => Сумма осевых моментов инерции относительно 2х взаимно перпенд. Осей не зависит от угла а. Заметим, что x²+y²=p². p- расстояние от начала координат до элементарной площадки. Т.о. J_x +J_y=J_p.(4)

J_p=∫_F p²dF –полярный момент, не зависит от поворота х,у

2) Закон Гука при одноосном напряженном состоянии. Связь между продольной и поперечной деформациями.

Закон Гука

В определенных диапазо­нах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам - закон Гука (английский ученый Гук, 1776 г.)

В соответствии с этим законом перемещение произвольно взя­той точки А нагруженного тела по некоторому направ­лению, например, по оси x, может быть выражено следующим образом:

u = x P, (1.8)

где Р  сила, под действием которой происходит перемещение u; x коэффициент пропорциональности между силой и перемещением.

Коэффициент x зависит от физикомеханиче­ских свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей си­стемы.

В современной трактовке закон Гука определяет линейную за­висимость между напряжениями и деформациями. Коэффициенты пропорциональности представляют собой физикомеханические характеристики материала и уже не связаны с геометрическими особенностями си­стемы в целом.

Системы, для которых соблюдается условие пропорционально­сти между перемещениями и внешними силами, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.

В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе прило­жено несколько сил, то можно определить внутренние силы, на­пряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдель­ности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности.

закона парности касательных напряжений.

Т еперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением попереч­ных размеров стержня (рис. 2.7). Если обозначить:

_прод =  ; _попер =  , ,

то, как показывают эксперименты,  = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона

Величина  является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов  принимает значе­ния 0,1  0,45.

При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.8, а), образованный отрез­ками АВ и АС, в недеформированном состоянии.

Рис. 2.8

При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А , B , C  соответственно. Величина _ = ВАС  А B C 

называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.