ответы на билеты, страница 5
Описание файла
Документ из архива "Ответы на билеты", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "сопротивление материалов" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "сопротивление материалов" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "ответы на билеты"
Текст 5 страницы из документа "ответы на билеты"
Рис.6. Модель изгиба хрупкого материала
При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие max и наибольшие сжимающие напряжения (рис. 6.), которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение и сжатие . Условие прочности в этом случае будет иметь вид:
.
2) Принцип сохранения начальных размеров, принцип независимости действия сил в сопротивлении материалов. Принцип Сен-Венана
Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а прочие силовые факторы равны нулю.
Если предположить также, что и внутренние волокна работают таким же образом, то можно сделать вывод о том, что поперечные сечения в центрально растянутом стержне смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений, введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские сечения до деформации остаются плоскими и после деформации.
Значит, все продольные волокна стержня находятся в одинаковых условиях, а следовательно, нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть также одинаковы и равны , где F площадь поперечного сечения стержня.
Принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напряженного состояния и формулируемый следующим образом: особенности приложения внешних нагрузок проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня.
Билет 6
1) основные гипотезы и определение напряжений при прямом чистом изгибе
При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент Мх (рис. 1). Так как Qy=dMx/dz=0, то Mx=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент Mх по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики
.
Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон .
Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.
Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряжения
Рис.2. Модель чистого изгиба
Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: , выведем формулы для кривизны нейтрального слоя ( —радиус кривизны) и нормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (Mх=сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а), нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.
Билет 6
При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент Мх (рис. 1). Так как Qy=dMx/dz=0, то Mx=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент Mх по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики
.
Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон .
Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.
Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряжения
Рис.2. Модель чистого изгиба
Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид:
Изгиб прямого стержня.
Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальная силы отсутствуют – чистый изгиб. Если в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами возникают поперечные силы – поперечный изгиб.
Σ Fky = 0
Q – q(z)dz – Q – dQ = 0
dQ/dz = – q(z) (1)
Σ MB = 0
M + Qdz – q(z)dz dz / 2 – M – dM = 0
dM/dz = Q (2)
Основные гипотезы:
Гипотеза Бернулли (плоских сечений)
Не надавливание волокон друг на друга в боковом направлении
Определение напряжений:
σ = ( Mx / Ix ) y
σmax = ( Mx / Ix ) ymax
2) расчет на прочность при кручении. понятие о нормативном коэффициентах запаса, расчёт по допускаемым напряжения
Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальная силы отсутствуют – чистый изгиб. Если в поперечных сечениях наряду с изгибающими моментами возникают поперечные силы – поперечный изгиб.
Σ Fky = 0
Q – q(z)dz – Q – dQ = 0
dQ/dz = – q(z) (1)
Σ MB = 0
M + Qdz – q(z)dz dz / 2 – M – dM = 0
dM/dz = Q (2)
Основные гипотезы:
Гипотеза Бернулли (плоских сечений)
Не надавливание волокон друг на друга в боковом направлении
Определение напряжений:
σ = ( Mx / Ix ) y
σmax = ( Mx / Ix ) ymax
Потенциальная энергия при чистом изгибе:
Wx = Ix / ymax
Частные случаи:
Прямоугольник: Wx = bh2 / 6
Круг: Wx = πd3 / 32
Кольцо: Wx = πD ср2 δ / 4 ,где δ – толщина кольца
Прямоугольник с прямоугольным отверстием: Wx = (BH3 – dh3) / H/2
Расчёт на прочность при изгибе:
σmax ≤ [σ] ≤ στ / nτ ,где σmax = Mx max / Wx
Косой изгиб - такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.27, а). Косой изгиб удобно рассмотреть как одновременный изгиб бруса относительно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М, действующего в поперечном сечении бруса, раскладывается на составляющие момента относительно этих осей (рис. 5.27, б): Mx = Msin; My = Mcos (5.25)
Введем правило знаков для моментов Mx и My момент считается положительным, если в первой четверти координатной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.
По принципу независимости действия сил нормальное напряжение в произвольной точке, принадлежащей поперечному сечению бруса и имеющей координаты x, y, опр-ся суммой напр-й, обусловленных моментами Mx и My , т.е. (5.26)
Подставим выражения Mx и My из (5.25) в (5.26):
Последнее выражение представляет собой уравнение плоскости. Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор напряжения , то концы векторов образуют геометрическое место точек, принадлежащих одной плоскости, как и при поперечном изгибе.
Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, найдем, полагая в (5.26) = 0:
Поскольку свободный член в (5.27) равен нулю нейтральная линия всегда проходит через начало координат. Как видно из выражения (5.26), эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии. В том случае, когда сечение имеет простую форму (прямоугольник, круг), положение наиболее опасных точек легко определяется визуально. Для сечений, имеющих сложную форму, необходимо применить графический подход.
Покажем, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, как это выполнялось при поперечном изгибе. Действительно угловой коэффициент K1 следа момента (рис. 5.27, б) равен: