ответы на билеты

Билет 1

1) Вывод формул для определения напряжений и перемещений при растяжении(сжатии) прямого стержня

Напомним, что под растяжением (сжатием) понимают такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникает лишь один внутренний силовой фактор — продольная сила N_z. Поскольку продольная сила численно равна сумме проекций, приложенных к одной из отсеченных частей внешних сил на ось стержня (для прямолинейного стержня она совпадает в каждом сечении с осью Oz), то растяжение (сжатие) имеет место, если все внешние силы, действующие по одну сторону от данного поперечного сечения, сводятся к равнодействующей, направленной вдоль оси стержня (рис. 1). Одна и та же продольная сила N_z при действии на различные части стержня (левую или правую) имеет противоположные направления. Знак N_z зависит от характера вызываемой ею деформации. Продольная сила считается положительной, если вызывает растяжение элемента (рис. 2, а), и она отрицательна, если вызывает сжатие.

Поскольку поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и перпендикулярными к оси стержня, в процессе деформирования лишь поступательно перемещаются вдоль оси стержня (что приводит к одинаковому удлинению всех продольных волокон), то приходим к уравнению =const, из которого ввиду однозначности связи и (для линейно-упругого материала это—закон Гука: .) вытекает, что

Решая совместно уравнения получим, что или

   Таким образом, при растяжении (сжатии) призматического стержня нормальные напряжения равномерно распределены по поперечному сечению, а касательные напряжения в сечениях отсутствуют, что является следствием гипотезы плоских сечений. Указанное, несмотря на, казалось бы, очевидность и простоту, является фундаментальным результатом, справедливым, строго говоря, лишь для призматического стержня. Однако в инженерной практике его используют и для приближенной оценки нормальных напряжений в стержнях переменного сечения. При этом, чтобы погрешность формулы была невелика, необходимо, чтобы площадь поперечного сечения стержня изменялась достаточно плавно вдоль его оси.

   Условие прочности при растяжении (сжатии) призматического стержня для стержня из пластического материала (т. е. материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие) будет иметь вид:

где —допускаемое напряжение. Напряжение в условии (1) подставляется по модулю, так как знак в этом случае роли не играет. Для стержней из хрупких материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак напряжения имеет принципиальное значение, и условие прочности приходится формулировать отдельно для растяжения и сжатия

где и —напряжения растяжения и сжатия, а и — ответствующие им допускаемые напряжения.

Определим упругие деформации стержня предполагая, что изменение его длины при растяжении , называемое абсолютной продольной деформацией или удлинением, мало по сравнению с его первоначальной длиной . Тогда относительная продольная деформация будет равна

   Учитывая, что согласно закону Гука для одноосного растяжения (сжатия)

,

где Е—;модуль продольной упругости материала стержня, а нормальные напряжения определяются по формуле — (в нашем случае N_z=P), для абсолютной деформации получаем

   Произведение EF принято называть жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии), так как удлинение обратно пропорционально EF.

Рис.6. Модели продольной и поперечной деформаций

   Как показывают эксперименты, при растяжении стержня размеры его поперечного сечения уменьшаются (рис. 6), а при сжатии — увеличиваются. Это явление получило название эффекта Пуассона.

   По аналогии с продольной деформацией изменение размеров поперечного сечения (на рис. 6 ) будем называть абсолютной поперечной деформацией, а — относительной поперечной деформацией. Относительные продольная и поперечная деформации, имеющие противоположные знаки, связаны между собой коэффициентом , являющимся константой материала и называемым коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

Как известно, для изотропного материала .

   Формула (2) для удлинения стержня применима только в случае, когда по длине стержня ни жесткость поперечного сечения, ни продольная сила не изменяются (EF=const, N_z =const). Удлинение стержня со ступенчатым изменением EF и N_z (рис. 7) может быть определено как сумма удлинений ступеней, у которых EF и N_z постоянны:

(индекс k у модуля продольной упругости означает, что участки стержня могут быть изготовлены из различных материалов). В случае, когда N_z и EF меняются по длине стержня l непрерывно и их можно считать постоянными лишь в пределах ступеней длиной dz, обобщая формулу эту, получаем

2)Интеграл Мора для определения перемещений

Если необходимо найти перемещение точки, к ко­торой приложены внешние силы, мы сами прикладываем в этой точке внешнюю силу Ф в интересующем нас направлении. Далее, составляем выражение потенциальной энергии системы с учетом силы Ф. Дифференцируя его по Ф, находим переме­щение рассматриваемой точки по направлению приложенной силы Ф. Теперь остается вспомнить, что на самом деле силы Ф нет, и положить ее равной нулю. Таким образом, можно определить искомое перемещение.

П риложим в точке А по направлению Хl силу Ф. Внутрен­ние силовые факторы в каждом поперечном сечении при этом, вообще говоря, изменятся на величины, зависящие от силы Ф. Например, крутящий момент в некотором поперечном сечении будет иметь вид

где первое слагаемое представляет собой момент, который возникает под действием заданной системы внешних сил, а вто­рое слагаемое - дополнительный момент, который появляет­ся в результате приложения силы Ф. Понятно, что и М_КР, и М_КФ, являются функциями z, т.е. изменяются по длине стержня. Аналогично появляются дополнительные слагаемые и у остальных внутренних силовых факторов: М_Х = М_ХР + М_ХФ, М_У = М_УР + М_УФ и т.д.

Дополнительные силовые факторы Мкф, Мхф,… пропорциональны Ф.

M_k= M_kP+ M_k1Ф; M_x=M_xP+M_x1Ф; My=M_yP+M_y1Ф;

N=N_P+N_1Ф; Q_x=Q_xP+Q_x1Ф; Q_y=Q_yP+Q_y1Ф;

Где M_К1, M_Х1 ... - некоторые коэффициенты пропорциональ­ности, зависящие от положения рассматриваемого сечения, Т.е. переменные по длине стержня.

Если исключить систему внешних сил и заменить силу Ф единичной силой, то M_k = M_k1, M_x = M_x1 и т. д. Следо­вательно, Мк1, Мх1, Му1, N1, Qx1 и Qy1 - внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении под действием единичной силы, приложенной в рас­сматриваемой точке в заданном направлении.

Вернемся к выражению энергии

И заменим внутренние силовые факторы их значениями

Дифференцируя это выражение по Ф и полагая после этого Ф = О, находим перемещение точки А:

Полученные интегралы носят название интегралов Мора.

Билет 2

1)Напряженное состояние "чистый сдвиг": определение, условие парности касательных напряжений, напряжение в наклонных площадках

Чистым сдвигом называют такой вид напряженного состояния, при котором по граням выделенного из материала элемента действуют только касательные напряжения.

Напряжение в наклонных сечениях (площадках)

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состоя­ния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, со­ставляющей угол  с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6

Из условия z = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим:

р F =  F, (2.17)

где F  площадь поперечного сечения стержня, F = F/cos   пло­щадь наклонного сечения. Из (2.17) легко установить:

р =  сos . (2.18)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к на­клонной площадке (рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим:

 = p cos  =  cos2 ;      = p sin  =   sin 2  . (2.19)

П олученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, про­ходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла . При  = 0 из (2.19) следует, что  = ,  = 0. При  =  , т.е. на продольных площадках,  =  = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения  принимают наибольшие зна­чения при  =  , и их величина составляет max= . Важно отме­тить, как это следует из (2.19), что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряже­ния равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит название

закона парности касательных напряжений

Чистый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимно перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения , где Q — сила, действующая вдоль грани, F — площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них — наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: ₁= — ₃ = ; ₂= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45^о.