85594 (Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма), страница 7
Описание файла
Документ из архива "Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85594"
Текст 7 страницы из документа "85594"
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из
), либо
(из
), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).
Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Условие 1 (продолжение).
Случай 1.
(12)
(13′)
(14)
(15) ,
которые также являются решениями уравнения (11)
.
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
=>
.
Выразим из (17) и (16) :
=>
=>
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель
.
Т.о., имеют вид:
,
, а их сумма
.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то =>
.
Из (15) с учетом (20) выразим :
, т.е.
.
Т.о., ,
, т.е.
,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к.
, т.е.
.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
, т.к. из (20) получается
(20′).
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим
=>
.
Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):
, т.е.
.
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:
,
,
(28),
,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30´), => c =
(30´),
(29´)
(28´), => b =
1 (28´),
(24´), где
- взаимно простые нечетные целые числа.
Случай 3
(12)
(13′)
(14)
(15′) ,
которые также являются решениями уравнения
(11).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
-
=>
.
Выразим из (31) и (16) :
=>
(32)
=>
(33).
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель
.
Т.о., имеют вид:
(34),
(35), а их сумма
.
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то и
.
Из (15´) с учетом (20) выразим :
, т.е.
(24´).
Т.о., ,
,
где , т.е.
,
,
выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е.
.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
,т.к. из (20) получается
.
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´), получим =>
(29´´).
Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):
, т.е.
(30´´).
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:
(30´´),
,
(28),
(24´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
(30´´´), =>
(30´´´),
(29´´´),
(28´), => b =
(28´),
(24),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:
= С
= В
= N
= К.
Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (12) 2. (12´)
(30´)
(13´) (28) (13)
(28´)
(14) (29) (14´)
(29´)
(15) (24) (15´)
(24´)
3. (12) (30´´) 4. (12´)
(30´´´)
(13´) (28) (13)
(28´)
(14) (29´´) (14´)
(29´´´)
(15´) (24´) (15)
(24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = -C
b2 = - B b2 = B b2 = - B b2 = B
= - N
= N
= - N
= N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
(12),
(13´),
(14´),
(15) , которые также являются решениями уравнения
(11)
Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):
(41),
, где
- взаимно простые нечетные целые
(40),
(38´), числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
(32) => b
(32),
(24)
(31) => с =
(31),
(29´) ,
где взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.
(31´),
(29),
(32´),
(24´), где
- взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7
(12),
(13´),
(14´),
(15´), которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):
(40),
(38´´´),
(41´´),
(33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
(31) => с =
(31),
(29´´´) ,
(32´) => b
(32´´),
(24´),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.
(31´),
(29´´),
,
(24), где
- взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
********
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:
а) ; b
;
;
;
б) ;
;
;
.
********
Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом.
Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2):
1. (16) 2. (16´)
(39´)
(17´) (37) (17)
(37´)
(18) (18´)
(38´)
(19) (33) (19´)
(33´)
3. (16) (39´´) 4. (16´)
(39´´´)
(17´) (37) (17)
(37´)
(18) (38´´) (18´)
(38´´´)
(19´) (33´) (19)
(33).
А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2,Часть 2):
1. (12) 2. (12´)
(30´)
(13´) (28) (13)
(28´)
(14) (29) (14´)
(29´)
(15) (24) (15´)
(24´)
3. (12) (30´´) 4. (12´)
(30´´´)
(13´) (28) (13)
(28´)
(14) (29´´) (14´)
(29´´´)
(15´) (24´) (15)
(24).
Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c и b в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)
с2 и b2 в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
********
Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:
либо , либо
, либо c и b не являются целыми числами, либо c и b – четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) (1), где
- четное натуральное число, т.е. либо
, либо
.
*******
Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .- Наука. – 1982. - С. 13), что для четных степеней уравнения (где
, q=2 q
) - показатели четные при
≠ 0 и q
≠ 0 - натуральных, в уравнении
целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:
| | > 2, |
| > 2, | c
| > 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,